2024北师大版八年级数学上册第二章《实数》每课时教学设计汇编（含10个教学设计）

第二章实数

1认识实数（第1课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”的第一节第1

课时。从整体课程内容看，属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数

与代数”领域，课标内容要求为：了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理

数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。能用数轴上的点表示实数，能比较实

数的大小。会求实数的相反数和绝对值。能用有理数估计一个无理数的大致范围。

本节内容分2个课时，实数是继有理数之后，在中学阶段学习的数系的又一

次扩充。引入无理数后，有理数的运算法则和运算规律在实数范围内仍然成立。

相关学习活动涉及类比学习及归纳推理，为后续高中阶段学习从实数向复数的数

系扩展再次积累活动经验。第1课时让学生感悟数系的扩充，辩证认识无理数的

存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理，会根据要求画线段；借助计算器

感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是不是有理数。第2课时主要是让

学生知道实数由有理数和无理数组成，并能对实数按要求进行不同的分类，同时

了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和

数轴上的点是一一对应的，结合勾股定理知识，在数轴上确定无理数的位置。

本节课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，

感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数。

二、学生起点分析

学生知识技能基础：数系随着现实生活及数学学习的需求不断扩充，这体现

了新数产生的必要性。代数运算的核心是研究数的性质、运算法则及运算律，学

生已经经历过一次数系扩充，即七年级在引入负数的学习中，将数的研究范围扩

充到有理数。利用数轴探究有理数的运算法则中体现的分类讨论、从特殊到一般、

数形结合等数学思想为实数的学习奠定了基础。在前一章“勾股定理”的学习中，

学生已经掌握勾股数的概念，但在探究过程中发现，并不是所有的直角三角形的

边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是。这为引入“新数”

奠定了必要性，同时，勾股定理的学习也为学生提供了数形结合的思考方法。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生己经经历了一些拼图操

作、网格画线段和借助计算器估算的活动，也具各与同学合作交流的经验。在负

数的引入、意义及有理数加法的学习中，充分结合生活实际，在理解意义的基础

上获取新知；在经历“观察、比较、分析、归纳”的合作交流过程中，积累了用

数学的眼光观察问题、用数学的思维分析问题、用数学的语言表达和解次问题的

经验。尤其是第一章用等积法说明勾股定理，解决了一些简单的现实问题，感受

到了数系扩充的必要性和作用，获得了认识实数所必需的一些数学活动经验。

三、教学目标

1.在有理数认识的基础上，结合图形判断正方形的边长是不是有理数，感受

客观世界中无理数的存在；能用有理数估计一个无理数的大致范围。

2.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景，培养发现问题、提出问题的

能力。同时，借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并利用计算器估算，培

养估算能力，发展抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想。

3.渗透数形结合、分类讨论、特殊与一般的思想，培养代数推理能力。

4.在拼图和网格纸中作出无理数表示线段长度的过程中，发展分析问题和解

决问题的能力，积累从图形的特征思考数学问题的思维经验。

教学重点：对数系扩充合理性的理解，意识到确实存在某些数，既不是整数

也不是分数，它们具有无限不循环的特征。

教学难点：认识到无理数既不是整数也不是分数，是无限不循环小数。

四、教学过程设计

【第一环节】回顾置疑

1.活动内容

思考：(1)一个整数的平方一定是整数吗？

(2)一个分数的平方一定是分数吗？

2.活动目的

进行必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理。

【第二环节】课题引入

1.活动内容

图1中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正

方形。设大正方形的边长为4,。满足什么条件？它是我们学过的数吗？（要求:

不允许有多余部分，所得的正方形不允许有空缺）

图I

尝试-思考

（1）如图2,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

（2）设该正方形的边长为46满足什么条件？它是我们学过的数吗？

2.活动目的

通过动手操作，初步感知客观存在的“无理数”实例，让学生深刻感受“数

不够用了”。

3.注意事项

无理数的学习标志着学生的知识结构从有理数范畴拓展到实数范畴，是一次

重要的数系扩充。由于学生对数的认识是从现实生活需求出发的，遵循“自然数

一整数一有理数一实数”的脉络不断拓展和丰富。学生对有理数的认识是具象可

感的，是可以“数出来”“量出来”的，但无理数是抽象的“想出来”的。以学

生现有经验的有限性去认识无理数概念的“无限性”，存在理解上的困难。因此，

对无理数的认识要从现实需求出发，让学生直观感知其客观存在性，让学生在实

验操作中引发思考，通过思考感知问题中的eb确实存在，但不是有理数。

【第三环节】新知释疑

1.活动内容

思考-交流

面积为2的正方形的边长。究竟是多少呢?

（1）如图3,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。

图3

（2）边长。的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借

助计算器进行探索。

（3）小明将他的探索过程整理如下：

边长a面积S

\<a<21<5<4

1.4<«<1.5L96Vs<2.25

1.41<^<1.421.988l<S<2.0164

1.414<a<1,4151.999396Vs<2.002225

1.4142<t/<1.41431.99996164<5<2.00024449

还可以继续算下去吗？〃可能是有限小数吗？

（4）面积为5的正方形的边长b的值是多少？h可能是有限小数吗？与同

伴进行交流。

2.活动目的

上一环节的“尝试・思考”让学生感知mb确实存在，但不是有理数，本

环节的“思考一交流”则意在让学生感受b的大小。如何感知？这里借助了

计算器进行逼近和估计，在这一过程中，可以初步感受4,8的大小，同时也让

学生感受到这样的逼近过程可以一直重复下去，进而感知无理数是无限不循环小

数。

3.注意事项

(1)这里采用了“呈现小明的探究”方式进行问题研究，在实际授课中,

教师可以让学生进行类似的操作，然后呈现学生的解答。

(2)活动最后，教师需要明晰:事实上,61=1.41421356-^=2.23606797-,

它们都不是有理数，都是无限不循环小数。

【第四环节】知识巩固

1.活动内容

(1)在图4的正方形网格中，分别画出满足以下条件的两个正方形：

①面积为9,且正方形的顶点在格点上；

②面积为13,且正方形的顶点在格点上。

(2)在图5的正方形网格中分别画出以下四个三拊形

①三边长都是有理数;

②只有两边长是有理数;

③只有一边长是有理数;

I5JS

④三边长都不是有理数。A

(3)如图6,等边三角形48C的边长为2,高为人h

可能是有理数吗?

(4)同一个正方形的边长和对角线的长度可能都是整B

数吗？RAA

2.活动目的

前面2个方格纸画图问题，增添知识的趣味性、关联性和层次性，让学生初

步学会辨别有理数和无理数，进一步感受“新数”的存在，培养灵活运用知识的

能力。后面2个问题，是对本节课开始问题的变式，加深对“新知”的理解。

3.注意事项

(1)问题(2)的答案不唯一。

(2)在解决问题(1)(2)的过程中，需将本章内容与勾股定理的内容进

行联系。

【第五环节】课堂小结

1.活动内容

(1)通过本课学习，你收获了哪些数学知识和能力？

(2)通过本课学习，你提升了哪些数学思维能力？

(3)通过本课学习，你掌握了哪些数学语言的表达方式？

(4)除了本课所认识的非有理数外，你还能找到其他的数吗？

2.活动目的

通过课堂小结，理清本节课的知识脉络，培养学生的核心素养。引导学生用

数学眼光观察现实世界，主要表现为抽象能力和几何直观；帮助学生用数学思维

思考现实世界，主要表现为运算能力和推理能力；实现用数学的语言表达现实世

界，主要表现在应用意识。

3.注意事项

学生总结，教师补充，帮助学生逐步深化对无理数的认识和理解。

【第六环节】布置作业

1.活动内容

基础作业：习题2.1第5、第6题；

拓展作业：利用网格纸设计格点正方形，正方形面积小于100,共有多少种

情况？(注：面积相同的不同画法均视为同一种情况)

实践作业：查阅相关资料，进一步了解数学史上无理数的发现历程。完成数

学小论文“我对数系扩充的再认识”。

2.活动目的

设计不同难度、不同类别的作业，加强对本课时学习内容的理解，为不同层

次学生的发展提供有力支持。

五、教学反思

1.概念是学习新知识的基本内容，每个知识点都是从概念教学开始的。概念教学不是告

知学生结果去记忆就行，而是要让学生体验知识的产生、发展和应用的过程。从认知的过程

来讲，形成概念是从感性认识上升到理性认识的过程，艮J由特殊到一般的总结和归纳；而巩

固概念则是加深理解和灵活运用的过程，即从一般到特殊的应用过程。因此概念教学与应用

是一个有机的整体、一个完美的闭环。

本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生通过估计、计算器进行

探索、讨论等，引导学生用数学的眼光观察现实世界，体会数学学习的乐趣和无限逼近的数

学思想，从而得到无理数的概念；在教学实施过程中，对基础较薄弱的学生，这i探索过程

所需时间较长，可能会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所

必需的，绝对不能淡化。

2.保持以研究的态度看待教学，以谦虚的态度研究教学，紧跟时代要求丰富教学手段。

基于数学课堂做研究，基于对数学、学生、教学的理解寻找切入点，在常态课中将信息技术

与数学适当融合，将抽象的知识形象化，帮助学生加深对知识的理解，丰富体验，促进学生

个性化发展。同时，引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养

学生的分类和归纳思想，为今后的数学学习打卜.坚实基础。

第二章实数

1认识实数（第2课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学（八年级上册）第二章“实数”的第一节第2课时。本节课

主要学习实数由有理数和无理数组成，并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范

围内的相反数、倒数和绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是一一对

应的，结合勾股定理知识，在数轴上确定无理数的位置。

二、学生起点分析

学生知识技能基础:通过七年级数轴的学习，学生已系统学习了有理数的相反数、倒数、

绝对值等概念，会利用数轴上的点表示有理数。在前一章“勾股定理”的学习中，学生积累

了已知两直角边长度均为整数时求斜边平方的运算基础,在本章的第一课时学生也已经初步

感知了无理数（无限不循环小数），这为利用数轴上的点表示无理数奠定了基础。勾股定理

的学习也为学生运用数形结合的思想方法提供了思考路径。

学生活动经验基础：第1课时，构造直角三角形产生无理数是具体的经验，为如何在数

轴上标出无理数提供了一种办法；研究有理数时使用的分类、运算等学习经验，在实数这里

依然可以进行类比学习。

三、教学目标

1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；了解实数和数轴上的点一一对应，能根

据实数在数轴上的位置比较大小。了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数

范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

2.在认识“实数”这一新知识时，运用已有的“有理数”的相关概念及运算律类比解决

“实数”的相关概念及运算律，从而获取解决实数相关问题的基本方法，发展分析问题、解

决问题的能力。

3.在感受实数和数轴上的点一一对应的过程中，进一步体会数形结合思想。

4.感悟类比思想的经验，了解数系扩充对人类认识发展的必要性。

教学重点：实数的意义，实数和数釉上的点••对应。

教学难点：能将实数按要求进行分类。

四、教学过程设计

【第一环节】回顾引入

1.活动内容

（1）什么是有理数？

（2）如果把有理数写成小数，这时的小数有什么特征呢？

⑶把下列各数表示成小数：3,%.

讨论后明晰：无限不循环小数称为无理数。

2.活动目的

整数和分数统称为有理数。现在出现了新的数，它既不是整数也不是分数，上节课指出

这样的数是无限不循环小数。因此，本节课苜先探讨有理数和小数的关系。从研究手法上看，

直接问这样的问题太抽象，F是从特殊的、具体的对象进行研究，设计了将具体有理数转化

成小数的问题。

3.注意事项

这里通过具体的数字转化，让学生积累经验，通过自己的计算发现，有理数总可以用有

限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。那些不

是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数。揭示无理数后，

可以再举一些实例，进一步帮助学生理解和感知无理数。

【第二环节】探究新知

1.活动内容

例下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

3.14,—%0.57,0.1010001000001-（相邻两个I之间0的个数逐次加2）。

教师总结：有理数和无理数统称实数。

尝试-思考

无理数和有理数一样，也有正、负之分。

（1）请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。

（2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？

思考-交流

上节课讨论的两个正方形，边长分别是儿且满足『=2,川=5。

（1）如图，OA=OB,数轴上点力对应a,。中的哪个数？

（2）你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴进行交流。

B

2.活动目的

在第一环节，教材明晰了无理数的概念，这一环节则是进一步加深学生对无理数的理解。

首先，例题让学生判断哪些是有理数，哪些是无理数，这是对无理数概念的进一步辨析。有

了数的概念以后，我们通常会讨论数的运算。其次，设计了“尝试•思考”，一方面类比有

理数，对实数进行分类：另•方面在讨论完分类后，进•步明晰在实数范围内，相反数、倒

数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义一样。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、

除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用；最后，“思考•交流”则

是对有理数与数轴上点的关系的补充，揭示实数和数轴上的点是一一对应的。

3.注意事项

（1）关于实数的分类，可以有不同的分类方法，但是每次只能按照同一标准，旦也要

注意不重不漏。

（2）通过与有理数类比的方式，得出实数意义下的相关概念、运算律，不用解释道理，

可以通过具体例子理解和感悟。

【第三环节】知识巩固

1.活动内容

（1）下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

0.4583,3.7»—TC»一；,18。

（2）比较一3.14和一兀的大小。

（3）判断正误：

①所有无限小数都是无理数；（）

②所有无理数都是无限小数；（）

③有理数都是有限小数；（）

④不是有限小数的数不是有理数。（）

（4）回答问题：

①一3的相反数是什么？它的倒数是什么？它的绝对值是什么？

②n的相反数是什么？它的倒数是什么？它的绝对值是什么？

③。是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若。工0,则它的倒数如何表示？

2.活动目的

通过教科书的一些练习题，加深学生对相关概念的理解，检测学生对实数相关知识的

掌握情况。

【第四环节】课堂小结

1.活动内容

（1）通过本节课的学习，你收获了哪些数学知识和能力？

（2）通过本节课的学习，你提升了哪些数学思维能力？

（3）通过本节课的学习，你学会了哪些数学语言表达？

2.活动目的

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获。通过课堂小结，理清本节的知识脉络，培养

学生的核心素养，引导学生用数学眼光观察现实世界，本节课的数学眼光主要表现为抽象能

力、儿何直观；帮助学生用数学思维思考现实世界，本节的数学思维主要表现为运算能力、

推理能力；实现用数学的语言表达现实世界，本节的数学语言主要表现为应用意识。

3.注意事项

学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理。学生对问题解决过程的回顾和反思，实现

知识建构、方法融合、思想领悟和思维的自觉。

【第五环节】布置作业

I.活动内容

（1）基础作业：

（注：根据教材习题2.1第1题改编）

下列各数中，一段，3.97,-234.10101010…（相邻两个1之间有1个0）,

180

0.12345678910111213…（小数部分由相继的正整数组成）。

①写出所有有理数：

②写出所有无理数；

③分别写出这些数的相反数、绝对值；

④把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号连接。

（2）拓展作业：

把下列小数化成分数：①3.25：@0.5：③0.试。

（3）实践作业：课题学习“探索有理数转化成有限小数和无限循环小数的方法”。

课题探索有理数转化成有限小数或无限循环小数的方法

类型主题实践性作业

有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示，你知道它的原理吗？你

内容

能总结有理数转化成有限小数或无限循环小数的•般方法吗？

工具

运用所学知识解释理由，小组合作归纳总结模型，并能发散思维，寻求

要求

一题多解，形成报告。

核心素养运算能力、推理能力

策略

应用知识

过程

反思

C合格:能够利用所学知识解释其中的道理.，并进行证明，对于拓展应用

有一定的难度，需要在教师指导或同学合作下进行设计。

自我评价B良好:能够利用所学知识解释其中的道理，并做出完整的证明，对于拓

展应用活动，nJ■以独立完成设计操作，并可写出一种或一种以上的方法。

A优秀:在良好等级的基础上，思维更敏捷、开阔，更加富有创造力，能

把每一个问题的理由都描述得清楚准确：对于拓展应用活动，能够独立完成

设计操作，并可提供出两种及以上的方法。

2.活动目的

通过作业进一步巩固本节课所学内容；设置不同层次的作业，为不同层次的学生提供不

同的发展空间。

五、教学反思

1.重视类比的数学思想渗透

实数是有理数的扩张，其具体研究内容与有理数完全类似。因此，在本课时的教学设计

中，特别关注前后知识之间的内在联系，关注运用类比的思想学习新的知识，这是本课设计

中一个十分显著的特点。实际上，类似的问题在其他知识学习中同样存在，注意体会。

2.转变教学观念，发展学生核心素养

本节课通过画图操作，让学生经历画图的过程，将“无理数是无限不循环小数”中抽象

的“无限”通过图形来直观展示，并用数轴上的点表示。同时也解决了生活实际与教学内部

发展的需求，化解了生活实际与数学现实的认知冲突，达到概念的同化与运用。同时让学生

掌握概念学习的路径：从生活实际问题中识别、抽象并提取出数学概念，再对数学概念进行

辨析理解，最后升华到概念的应用。让学生经历数学学习过程，即数学对象的获得过程、数

学对象的研究过程、应用数学知识解决问题的过程，从而获得知识，提升能力，养成品质，

发展核心素养。

第二章实数

2平方根与立方根（第1课时）

一、学生任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第二节的第1课时。学习平

方根和算术平方根的概念和性质。在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由

原来的加、减、乘、除、乘方五种犷展到六种，建立起较完善的代数运算体系。本节内容既

是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开

平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。因此，本节课处于非常重要的地位，起着承前

启后的作用。木节课为第1课时，主要研究算术平方根。算术平方根的探究从直角边长为1

的等腰直角三角形出发，以该三角形的斜边为新三角形的直角边，1为新三角形另一条直角

边的长作直角三角形，以此类推，得到一系列直角三角形，引发学生思考这些直角三角形斜

边长的值能否表示出来，进而引出算术平方根的概念。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生已经学习了勾股定理、无理数，并掌握了乘方运算。本节课

将在这些基础上进一步研究算术平方根。

学生的活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经积累了自主探究、合作学习的经

验，具有一定的观察、分析、归纳、概括能力，具备了一定的合作与交流能力。这节课的教

学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情境引入学习主题，在关注现实生活的同时，

更加关注数学知识内部的挑战性。

三、教学目标

1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平

方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方

根的性质。

2.经历动手操作、观察、猜想，培养学习的主动性，发展表达和运算能力。

3.通过积极参与获取新知，从中渗透从特殊到一般及类比的观点，在小组活动中发展独立

思考能力和竞争意识。

4.在概念形成过程中，体会知识的来源与发展，提高思维能力；在合作交流等活动中，培

养合作精神和创新意识。

教学重点：了解算术平方根的概念，知道求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算。

教学难点：会用根号表示一个数的算术平方根。

四、教学过程设计

【第一环节】创设情境，引发思考

1.活动内容

（1）根据图填空：

/=,

r=，

.

M=o

（2）x,y,z,w中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？

2.活动目的

带着问题进入这节课的学习，让学生感受学习用算术平方根表示的必要性。

3.注意事项

在活动中，学生能表示f=2,产=3,i=4,M=5,能求得z=2,但不能求得x,y,w

的值，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算一一开方。

【第二环节】理解概念

1.活动内容

引出新概念。

X2=2,产=3,z?=4,小=5,已知辕和指数，你能求出底数吗？

在上面思考的基础上，明晰概念：

一般地，如果一个正数x的平方等于即/=〃，那么这个正数x就叫作〃的算术平方

根，记作，读作“根号/'。

特别地，我们规定：0的算术平方根是0,即75=0。

例1求下列各数的算术平方根：

(1)900：(2)49：(3)121；(4)225；

(5)0.09；(6)0.64：(7)0.81；(8)2.25；

49（10）祟

(9)64;(11)14；(12)15。

2.活动目的

让学生体验概念的形成过程，感受到概念引入的必要性，对算术平方根概念形成认识，

并通过例题巩固学生对算术平方根概念的认识。体验求一个正数的算术平方根的过程，利用

平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来,

有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是g。

3.注意事项

在探索的过程中，可以提出问题“已知暴和指数，你能求出底数x吗？”通过例题，让

学生感受一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,负数没有算术平方根。

【第三环节】思考交流

L活动内容

思考-交流

(1)在上面例1中，一些数的算术平方根的结果没有“，”了，这些数有什么特点？

(2)在上面例1中，7900=30,也就是屈=30。一般地，当。与0时，病=。成立

吗？

(3)成立吗？这里的。是什么数？你是怎么理解的？与同伴进行交流。

例2由静止自由下落的物体下落的距离s(单位：m)与下落时间/(单位：s)之间的关

系为$=4.9尸。有一个铁球从19.6m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时

问？

2.活动目的

(1)通过“思考・交流”，帮助学生进一步理解平方与开方之间的关系，深入认识算式

平方根的概念，进而得到以下结论：

当时，yfa^=a,=a'当4vo时，，口=一。。

(2)设置例2,用算术平方根的知识解决实际问题。

3.注意事项

对于当。＜0时，必=一。的讨论，可以通过举例、归纳等方式进行，从而明确算术平

方根的双重非负性。

【第四环节】尝试运用，巩固概念

1.活动内容

随堂练习：

1.求下列各数的算术平方根：

(1)36；(2)1盖；(3)15：(4)0.64：(5)10~6；(6)x/225o

2.下列说法正确的是()。

A.5是25的算术平方根B.±4是16的算术平方根

C.-6是(-6)2的算术平方根D.O.OI是().1的算术平方根

3.正数一的平方为皆；（-5）2的算术平方根为。

4.若一个数的算术平方根是石，则这个数是。

5.在△月8C中，ZC=90°,8c=3,AC=5,求48的长。

6.如图，从帐篷支撑杆"的顶部力向地面拉一根绳子4C固定帐篷。若绳子的长度为8m,

地面固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离为6.4m,则帐篷支撑杆的高是多少？

2.活动目的

旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程,

练习的梯度性由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识。同时对学生的回

答，教师要给予评价和点评。

【第五环节】课堂小结，布置作业

1.活动内容

围绕以下内容进行课堂小结：

（1）算术平方根的概念。

（2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负

数没有算术平方根。

（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，可以利用这个互逆运算

关系求非负数的算术平方根。

布置作业

①习题2.2第1题、第3题（1）~（8）、第16~18题。

②查找算术平方根的相关资料，与同伴分享交流。

2.活动目的

依照本节课的教学目标引导学生自己总结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和

性质。通过作业让学生进一步加强对本课知识的理解和掌握。

五、教学设计反思

1.细讲概念、强化训练

要想让学生掌握算术平方根的概念，需要让学生经历由浅入深、不断深化的过程。概念

是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的。

概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，有利于提高学生的思维水平。概

念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化。

“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征。算术平方根的本质特征就

是定义中指出的“如果一个正数X的平方等于即/=〃，那么这个正数X就叫作，的算

术平方根”的“正数X”，即被开方数是正的，由平方的意义可知。也是正数，因此算术平

方根也必须是正的。当然零的算术平方根是零。

“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也

包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平

方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示。

“逐步深化”是指将运用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，

在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用，帮助学生逐步深化概念的理解和运用。

2.发展思维、适度拓展

在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对。的双重非负性的知识

进行适当的拓展。

第二章实数

2平方根与立方根（第2课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第二节的第2课时。平方根

是对算术平方根的深化与拓展。学生已经掌握算术平方根的概念，并且具有强烈的好奇心和

学习热情。但抽象意识不足，缺乏对现有知识的迁移应用意识，还缺乏对知识体系进行整合

和建构的意识。因此，本节课的教学设计在对教学内容的深入理解和对学情的精准把握的基

础上，从学生思维最近发展区类比学习新知，根据教学目标精心设计合理且有效的教学活动，

使学生经历层次清晰的、完整的抽象过程，在学习活动中发现知识、形成技能、发展核心素

养。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础:了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。

能在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力。学生还具备了乘方运算的基础,

并能熟练计算任何一个非负数的平方根。

学生的活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经枳累了自主探究、合作学习的经

验，具有一定的观察、分折、归纳、概括能力，具备了一定的合作与交流能力。这节课的教

学，力求从学生.实际出发，以他们熟悉的问题情境引入学习士题，在关注现实生活的同时，

更加关注数学知识内部的挑战性。

三、教学目标

1.了解数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；会求一个正数的平方根；了

解平方根的性质。

2.经历动手操作、观察、猜想，培养学习的主动性，发展表达和运算能力。

3.通过积极参与获取新知，从中渗透从特殊到一般及类比的观点，在小组活动中发展独

立思考的能力。

4.通过主动参与，勇于面对困难并能够解决困难，发展合作交流意识。

教学重点：了解数的平方根的概念，会求一个正数的平方根，了解平方根的性质。

教学难点：会求一个正数的平方根。

四、教学过程设计

【第一环节】复习旧知，引入新知

1.活动内容

（1）3的平方是9,还有其他数的平方也是9吗？

4

（2）平方等于去的数有几个？平方等于（）.64的数呢？

一般地，如果一个数x的平方等于m即那么这个数X就叫作。的平方根（也

叫作二次方根）。

2.活动目的

让学生形成“平方根”的概念。在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反

推出平方根的概念和定义，并让学生熟练地进行平方运算和平方根运算之间的互化，并明白

它们之间的互逆关系。

3.注意事项

这里也可以借助上一课时中的例子，抛开实际情境，问i=4,除了2以外，还有其他数

的平方也是4吗？

【第二环节】形成概念，辨析概念

1.活动内容

尝试•思考

（1）平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？

（2）一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？

一个正数有两个平方根；。只有一个平方根，它是（）本身；负数没有平方根。

相同点：

1.只有非负数才有平方根和算术平方根。

2.0的平方根是。，算术平方根也是0o

不同点：个数不同。一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根。

明晰概念

正数。有两个平方根，一个是。的算术平方根右，另一个是-G，他们互为相反数。

这两个平方根合起来可以记作土读作“正、负根号。

求一个数。的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数。

2.活动目的

“尝试•思考”辨析“平方根”与“算术平方根”概念的区别与联系，使之与上一课时

紧密联系，同时也为明晰概念奠定了基础。

3.注意事项

这里从具体问题入手，遵循了从具体到抽象的过程，并和原有的概念进行了比较与辨析,

帮助学生厘清算术平方根和平方根之间的关系。

【第三环节】尝试运用，巩固概念

L活动内容

例题示范

例1求下列各数的平方根：

(1)64：(2)—；(3)0.0004；(4)(-25)-；(5)11。

解：（1）因为（±8）2=64,所以64的平方根是±8,即±病二±8；

<7Y494971~49~7

（2）因为土'=—,所以一的平方根是土一，即±』;丁=±—；

（\\）12112111V12111

（3）因为（±0.02）2=0.0004,所以0.0004的平方根是士0.02,即±J0.0004=±0.02:

（4）因为（±25（-25『，所以（-25『的平方根是±25,即±J（-25『=±25；

（5）11的平方根是±JTT。

例2求下列各式的值：

（1）V225-：⑵；⑶7（-8）2。

解：（1）V225=715?=15：

⑵狎Yf冶；

（3）7（-S）2=8o

随堂练习

1.求下列各数的平方根：

1.44,0,8,—,441,196,1CT4。

49

2.25的平方根是,1的平方根是,病的平方根是；

3.7^5?=____，厨=，（-石］二。

巩固练习

1.下列说法正确的是o

①-3是病的平方根

②25的平方根是5

③-36的平方根是-6

④平方根等于0的数是0

⑤6的算术平方根是8

2.下列说法不正确的是o

A.0的平方根是0

B.-22的平方根是2

C.非负数的平方根互为相反数

D.一个正整数的算术平方根一定大于这个数的相反数

3.已知一个自然数的算术平方根是Q,则该自然数的下一个自然数的算术平

方根是（）。

A.Q+1B.y/a+\

C.a2+lD.J1+1

2.活动目的课本上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达。

能熟练地求出一个非负数的平方根，然后由题中的数探索出正数、0、负数的平方根的个数。

围绕本节课的重点知识（平方根）做适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的

理解。

3.注意事项

通过对例题的详解，希望学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的

符号化语言。

【第四环节】课堂小结，布置作业

1.活动内容

课堂小结

引导学生总结本课时的知识、方法。

布置作业

习题2.2知识技能：第2,4,5题。问题解决：第19,20,21,22题。

2.活动目的

让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰。既巩固了有关知识，又培养了学生良好

的数学学习习惯。

五、教学设计反思

1.情境教学，经历知识形成的过程

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，教学活动应引导学生在真实情境中发

现问题和提出问题，利用观察、猜测等方法分析问题和解决问题。本课时设计了一个课前热

身环节，是在学生已有的乘方运算的基础上，让学生感受到新运算和平方运算是互逆运算。

同时尊重教材，在求直角三角形斜边长的问题基础上，增加了两个实际问题。在解决实际问

题中,创设信息化的学习环境，提升学生的探究热情，激发学生的想象力。本节课，我们要

教的不仅仅是开平方运算，更要让学生经历从实际问题中抽象出来的过程，感悟数学思想方

法，学会用数学的思维思考现实世界，这有助于培养学生数学学科核心素养。

2.树土整体观念，明确知识的来龙去脉

章建跃博士认为，数学是一个整体，思维是一个系统。课堂教学应注重整体性设计，提

升学生的系统思维水平。“看似简单”的课，绝不是独立的，它一定是后续深入学习的起点。

在本节课的概念建构时，引导学生对平方根的命名进行解读，引发学生思考，为后续学习立

方根的命名作铺垫。小结仄节采用类比学习，为后续概念课的学习提供范式，整体性的学习，

有助于为学生建立前后一致、逻辑连贯的数学认知建构。

3.立意深远，关注学生的发展

本课的核心目标是育人。从情境中抽象出数学问题，让学生经历情境数学化的过程；从

情境中建立方程模型，让学生感受数学模型的魅力；从探究概念的过程中，挖掘出背后隐藏

的“生长点”和“延伸点”，提升了学生的思维力。本节课基于情境，始终围绕着发现问题、

提出问题、分析问题和解决问题的过程展开，不仅培养了学生的创新意识，还提高了学生的

综合应用能力。

从平方根的概念、性质到应用可以看出，教材编写遵循“三会”的过程。学生建构新知

的过程也遵循“三会”的过程，学生解决问题的过程也遵循“三会”的过程。因此，教师在

教学设计时，应依据“观察一思考一表达”的基本流程和主要环节，为学生设计活动，注重

培养学生的思维品质。将简单的课上出满满的数学味道，有效实现过程与结果的有机统一。

第二章实数

2平方根与立方根（第3课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第二节的第3

课时。立方根是数与式中重要的知识点之一，立方根的计算有着广泛的应用，儿

何体的计算经常涉及开立方。学习立方根，学生可以更加深入地了解无理数，为

后面学习实数奠定基础。

以求小立方块的棱长问题为情境，引导学生观察其空间结构，引出立方根的

概念。通过对立方根与平方根的类比，探索两者之间的联系和区别。因此，除了

具体的知识技能（如知道一个数的立方根的意义，会用根号表示一个数的立方根,

掌握立方根的运算等）学习以外，还要引导学生尝试运用类比等数学方法，并在

过程中不断发展学生的空间观念。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生己经学习了平方根，并较为熟练地掌握了平方根

的概念和性质，了解了平方运算与开平方互为逆运算，学会了求一个非负数的平

方根和算术平方根的计算方法。学生在七年级上册已经学过数的立方的计算，并

通过类比平方根的学习，能够更好地进行立方根的探究。

学生的活动经验基础：学生已经经历了平方根知识的学习探索，体验了用根

号表示非负数的算术平方根和平方根。运用类比的思想，可以为立方根的探究提

供•定的学习路径。

三、教学目标

1.了解立方根的概念，能用根号表示一个数的立方根；能用立方运算求某些

数的立方根，体会一个数的立方根的唯一性;理解立方根与平方根的区别和联系。

2.经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根问题的一些基本方法

和策略，培养逆向思维能力和分类讨论的意识。

3.利用类比思想，学习立方根。在开立方与立方互为逆运算的探究过程中，

渗透从特殊到一般的思想，并培养运用逆向思维解决问题的能力。

教学重点：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。

教学难点：能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方互为逆运算。

四、教学过程设计

【第一环节】情境引入，提出问题

1.活动内容

图1是由大小相同的小立方块搭成的几何体，如果这个儿

何体的体积为216cm3,那么每个小立方块的棱长是多少？

提问：这个几何体是由几个小立方块搭成的？每个小立方

块的体积是多少？怎样求出小立方块的棱长呢？

让我们通过解决这些问题来学习新知识。

2.活动目的

通过问题情境引入，让学生感受学习新知的必要性，激发学生的求知欲望。

3.注意事项

设置上述几个问题，引导学生思考：这个几何体的边长可能是多少？引导学

生通过猜想得到几何体棱长为6cm,进而得到小立方块棱长为2cm。另外也可

以发现几何体由27个小立方块组成，每个小立方块的体积是8cm3'从而得到小

立方块棱长是2cm。

【第二环节】理解概念，汲取新知

1.活动内容

提问：什么数的立方等于8?

追问：你能类比平方根的定义给出立方根的定义吗？

概念归纳：

一般地，如果一个数x的立方等于。，即/二小那么这个数x就叫作。狗立

方根（也叫作三次方根）。如2是8的立方根，是-白的立方根，0是0的立

327

方根。

2.活动目的

通过情境问题的解决，引出立方根的概念，为后面研究立方根的性质做好铺

垫。

【第三环节】初步探究

1.活动内容

尝试-思考

怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？

(1)()3=8；(2)()3=0；(3)()3=-27O

(2)一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？

(3)正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？

2.活动目的

通过具体的计算练习，让学生进一步了解求一个数的立方与求一个数的立方

根互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性，算式中对。的取值分别选为正数、

负数、Oo这样的设计可以帮助学生渗透分类讨论的思想方法。

设计问题串是为了方便平方根与立方根的对比，帮助学生弄清两者的区别和

联系。

3.注意事项

在上面的基础上明晰下列内容，对所学知识进行梳理。

(1)每个数。都有一个立方根,记作“会”，读作“三次根号0”。例如:

当炉=7时，x是7的立方根，记作x="。与数的平方根的表示比较，数的立方

根中根号前没有“土”符号，但根指数3不能省略。

(2)正数的立方艰是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数。

(3)求一个数。的立方根的运算叫作开立方，。叫作被开方数。开立方与

立方互为逆运算。

【第四环节】尝试反馈，巩固练习

1.活动内容

例1求下列各数的立方根：

Q

(1)-27；(2)—；(3)0.216；(4)-5。

解：(1)因为J)』-27,所以-27的立方根是-3,即乎方=-3；

（2）因为UY=_L所以专的立方根是，即德得

⑸125

(3)因为(0.6)3=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即抽记=0.6;

(4)-5的立方根是行。

2.活动目的

本例让学生根据定义求立方根，巩固对立方根概念的理解。通过按照立方根

的定义表述解题过程，促进学生理解立方根的概念。

3.注意事项

教师可以先行示范，规范书写要求，学生在熟练以后可以简化写法。

【第五环节】思考交流，深入探究

1.活动内容

思考-交流

(1)在例1中，一些数的立方根的结果没有“丁”了，这些数有什么特点？

(2)在例1中，尸7=—3,也就是"二方=一3。一般地，江=。成立吗？

(3)(必)3=4成立吗？与同伴进行交流。

例2求下列各式的值：

(1)(2)《0.064;(3)；(4)的丫。

解：(1)"二((—2)3=—2；(2)V0.064=\/047=0.4;

⑶-儡=-崎=5⑷㈣'=9。

巩固练习

(1)求下列各式的值：

W.008；7^64；-病方；(5/16)\

(2)一个正方体，它的体积是棱长为3cm的正方体体积的8倍，这个

正方体的棱长是多少？

2.活动目的

“思考•交流”环节进一步讨论如何对各式进行化简，求立方根。例2则根

据“思考・交流”的所学内容求立方根，进一步巩固立方根的求法。

3.注意事项

学生通过练习掌握立方根的概念和计算方法，并通过对计算结果的分析得出

立方根的性质，若学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子，引导学生观察

被开方数、根指数及运算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排

学生分小组讨论，通过交流，展示学生发现的规律，若学生的讨论不够深入，可

由教师补充得出结论。

【第六环节】课堂小结，反思归纳

1.活动内容

通过本节课的学习你学到了哪些内容？

归纳、总结学生的回答，得出下列内容：

（1）了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运

算求一个数的立方根；

（2）在学习中应注意以下5点：

①符号折中根指数“3”不能省略；

②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根，即

一个数的立方根是唯一的；

③平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；

负数没有平方根，但却有一个立方根；

④灵活运用公式：（筋）3=m值=〃，­加；

⑤立方与开立方互为逆运算。可以用立方运算求一个数的立方根，或检验

一个数是不是另一个数的立方根。

2.活动目的

引导学生自己总结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化。

3.注意事项

通过小结，对所学知识进行了梳理，学生进一步巩固了立方根的概念和求解

方法，加深了类比等学习方法，有助于学生理解、掌握数学的基本知识和基本技

能，形成数学基本思想，积累数学活动经验。

如有时间，学生学有余力，还可以安排学生探究下列问题：

求下列各式中的X。

(1)64=0；(2)8X3+27=0O

【第七环节】布置作业

L活动内容

基础作业：

1.求下列各数的立方根：

18

0.001,-1，—示，8000,石，-512。

2.求下列各式的值：

(1)也了；⑵(V125)3;(3)-历。

3.一个人每天平均要饮用大约().()015m3的各种液体，按70岁计算，他所饮

用的液体总量大约为40m3。如果用一圆柱形的容器(底面直径等于高)来装这

些液体，这个容器大约有多高(月取3.14,结果精确到1m)?

4.一个正方体的体积变为原来的8倍，它的梭长变为原来的多少倍？体积变

为原来的27倍，它的梭长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍呢？体积

变为原来的〃倍呢？

拓展作业：

1.求下列各式中的北

(1)9+125=0；(2)64(X-2)3-216=0O

2.已知：V374»7.205,V374-3,344,则0.000374仁。

3.若5x+9的立方根是4,求2r+3的平方根。

2.活动目的

通过对作业进行分层安排，让不同层次的学生根据自己的水平进行选择，使

每个学生

都能得到不同的提升。

五、教学设计反思

1.关注类比思想的渗透以及学习方法的指导

类比是在两类不同的事物之间进行的对比，在找出若干相同或相似点之后，

推测在这两类事物的其他方面也可能存在相同或相似之处的i种思维方式。当然,

类比的结果是猜测的，不一定可靠，但它作为一种思考问题的方法，可以发现数

学结论，沟通数学知识，进而解决生活中的一些实际问题，有助于培养学生的创

新能力。因此，学习过程中要注意类比思想的渗透。实际上，类比学习法可以让

学生省时省力，在学习新知的同时巩固已学的知识，通过新旧对比更好地掌握知

识。为此，本节课通过类比的方法让学生自然、顺畅地建构立方根的概念、性质

与运算。

2.关注学生的个体差异，构建学生探究过程

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的评价理念，教师在课堂教

学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式

和解题方法多样化。在教学活动中，教师关注的是学生的参与程度和表现出来的

思维水平，关注的是学生对“尝试•思考”“思考♦交流”的探究情况和学生反

馈练习的完成情况。教师要关注学生是否能够理解立方和开立方互为逆运算，是

否会用根号正确地表示一个数的立方根。在教学过程中，教师应给足学生思考和

计算的时间，使学生用原有知识进行新知识建构。这一过程以学生自主探究为主

线，让他们在亲历发现与建构知识的同时，既张扬了个性，又切实提升了探究能

力。课堂教学中，教师要充分发挥评价的教育功能，对于学生的回答应给予恰当

的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立学习数学的自信心。

3.需要说明的几个问题

在第四环节中的例1中可以补充带分数的立方根求法。在教学中只要讲明将

带分数转化为假分数，再求立方根，学生就容易掌握相关知识；例2则为第五环

节探究立方根性质的3个公式（（设）3=a,注7=-h）打下了基础，

若学生基础较差，教师也可删去这3个公式；第六环节中的探究与思考，将平方

根、立方根的求法拓展到求四次方根、五次方根的学习中，教师在教学过程中可

以根据学生的学习情况确定是否补充这部分内容，也可以留给学生课后思考，进

行分层要求，调动不同学生的学习热情。在第七环节的作业安排中，布置不同层

次的作业，目的是让不同层次的学生都能得到不同的提升。

第二章实数

3二次根式（第1课时）

一、学习任务分析

本节是北师大版初中数学第二章“实数”的第三节，主要是通过对二次根式概念、性质

和运算的学习，培养学生的抽象思维能力和提升学生的运算能力。本节共设计3个课时，旨

在引导学生通过归纳不同类型二次根式问题的解题方法，掌握二次根式运算中的解题技巧。

本节课是第1课时，主要是让学生初步认识二次根式的概念，探索二次根式的乘法法则和除

法法则，利用运算法则进行二次根式的简单运算。

二、学生起点分析

学生知识技能基础：学生在七年级上学期已学习了有理数的运算，本学期又

认识了实数，并学习了如何求某个有理数的平方根和立方根。这些都为本课时学

习二次根式的运算提供了知识基础。

学生活动经验基础：不论是几何学习，还是代数学习，学生都己经积累了从

特殊到一般、从具体到抽象的活动经验，这为本课时学习二次根式的