2025-2026学年八年级数学上学期期中重难点检测卷（培优卷）（考试范围：19~20章 实数+二次根式全部内容）解析版

期中重难点检测卷（培优卷）（沪教版

（满分100分，考试时间120分钟，共25题）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上；

2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；

4.测试范围：19~2。章（实教+二次根式全部内容）；

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第1卷（选择题）

一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）

1.（2025八年级上,上海宝山•模拟预测）据估计我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约1.5亿元，若一年

按365天计算，用科学记数法表示我国土地沙漠化造成的经济损失（）元

A.5.475x10"B.5.475x10'°C.0.5475x10'*D.5.475x10s

【答案】B

【分析】本题考杳了用科学记数法表示绝对值大于10的数，对于绝对值大于10的数，可以用科学记数法

表示为axlO"形式，其中，1V忖V10，〃为整数位数减1•先计算出•年的经济损失为54750000000元，

再根据科学记数法法则表示即可.

【详解】解:1.5亿=150000000,150000000x365=54750000000（元）,

54750000000=5.475xlO10•

故选：B

2.（24-25八年级上•上海松江•期中）计算的值，结果正确的是（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据（孤）2=。（,之0）求解即可.

【详解】解：（VJ/=4,

故选：B.

3.（25-26八年级上•上海长宁•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.斤=-历B.任何数都有算术平方根

C.立方根等于本身的数只有0D.-9的立方根是-3

【答案】A

【分析】本题主要考查立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键.根据立方根和平方根的定义

进行作答即可.

【详解】解：A.问=-3,-叵=-3,故本选项符合题意；

B.负数没有算术平方根，故本选项不符合题意；

C立方根等于本身的数有0、1、-1,故本选项不符合题意：

D.-9的立方根是"，故本选项不符合题意.

故选：A.

4.（25-26八年级上•上海虹口•阶段练习）对于任意实数m和〃,规定加※〃=-3〃.如

^2=12X2-1X2—3X2=—6,则（一2）※力的值为（）

A.一3GB.35/3C.2>/2D.一2加

【答案】B

【分析】本题考查代数式求值，令m=-2,〃=百即可计算出答案.

【详解】解:在m※〃=m2n-mn-3n中,

令阳=-2,〃=G得（-2）※百=（-2），百—（—2）xVJ—3x0=3』，

故选：B.

5.（25-26八年级上•上海奉贤・单元测试）球从空中落到地面所用的时间/（秒）和球的起始高度力（米）之

间有关系式f=若球的起始高度为85米，则球落地所用时间与下列最接近的是（）

A.3秒B.4秒C.5秒D.6秒

【答案】B

【分析】本题考查无理数的估算，掌握估算的方法是解决问题的关键.将人=85代入公式计算，然后用平方

法估算即可.

【详解】解：将〃=85代入”也得：£=痣=历,

•.-4.12<17<4.2\

.­•4.1<717<4.2,

所用时间与4秒最接近.

故选:B.

6.（25-26八年级上•上海金山,单元测试）幻方是古老的数学问题，它是一种将数字安排在正方形格子中,

使每行、每列和每条时角线上的数字和都相等的方法.类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中

横向、纵向及对角线方向上的实数相乘结果都相等，则力+8+C+。的值为（）

n二

□Kn

H10□

A.逐-3B.loVlOC.6&+屈D.*+3

【答案】D

【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得力、8、C、。，然

后代值求解即可.

【详解】解：•.•方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，其值为

V2xVl0x5>/2=10>/i(),

,八咚2石,

5xV2

"10回t

Q--------r=-1，

10x710

_ioVio

r=2,

5^/10

loVio=y/5,

-10x72

二4+"+。+。=2逐+1+2+括=3石+3.

故选：D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）

7.（2025・上海青浦•模拟预测）比较大小:V52.（填“>"<”或“=”）

【答案】>

【分析】本题考查了实数大小比较.由4<5可得2〈石.

【详解】解：；4<5,

•­-2<5/5.

故答案为：>.

8.（24-25八年级上•上海虹口•阶段练习）计算：78+718=—；（逐丁-«^7=——•

【答案】5及2

【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式加减混合运算法则.

先化为最简二次根式，再合并即可.

【详解】解；氓+而

=272+372

=5x/2:

（石）~-，（-3）2

=5-79

=5-3

=2.

故答案为：5近;2.

9.（25-26八年级上•上海长宁•阶段练习）已知x,y是实数反37+/一6）,+9=0,则6x-y的立方根是

【答案】密

【分析】本题考查了算术平方根的非负性、完全平方式的非负性、有理数的乘法、立方根、相反数，利用

非负性正确求出x、y值是解答的关键.

根据非负性求出x、y的值，代入求解即可解答.

【详解】解：J4-3X+_/-6J，+9=0,

••.J——)』,

v^4-3x>0,(y-3)2^0,

.•・j4_3x=0,(y_3)2=0,

即4-3工=0/-3=0,

4

解得：x=§/=3,

4

6x-y=6x-j-3=5,

.•6—的土方根是技

故答案为：为

10.(24-25八年级上•上海徐汇•即中)我们[可用表示不大于〃的最大整数，例如：[1.5]=1,[-2.3]=-3.若

[x]+3=i,则x的取值范围是.

【答案】-2<x<-l

【分析】本题上要考查了新定义，根据题意可得[司=-2,再由新定义可得答案.

【详解】解：•.•国+3=1,

.-.[x]=-2,

—2Kx<-1,

故答案为：-2<x<-l.

11.(25-26八年级上•上海闵行•阶段练习)实数。，人在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：

"(a+l)2-=-------•

r，fn-I

【答案】2a

【分析】本题考查二次根式的化简.结合数轴判断a、力的大小范围，从而判断。+1乃-1,4一力的正负，根据

二次根式的性质化简即可.

【详解】解：由数轴可知-

a+1>O,Z>-1<0,a-Z?<0,

二+-\/(b-1)~-4(a-b)~=|<7+1|-|6_1]一卜_4=(。+1)_(1_%)_(6_4)

=a+\-\+b-b+a=2a,

故答案为：2a.

12.（24-25八年级上•上海嘉定•阶段练习）填空:

（1）般一如之_（精确到0.G01）；

（2）67t+VW--（精确到（）.01）;

（3）为+3后P（精确到0.1）；

（4）而一其亡_（精确到0.01）.

【答案】一0.33420.305.92.76

【分析】（1）先分别估算出各数的值，进行加减，再求出近似值即可；

（2）先分别估算出各数的值，进行加减，再求出近似值即可；

（3）先分别估算出各数的值，进行加减，再求出近似值即可；

（4）先分别估算出各数的值，进行加减，再求出近似值即可；

【详解】（1）&一行=2x|.4142-3.1622=0.334；

（2）67i+V1I2=6X3.141+1.456-20.30；

（3）3aL71+3x].41=59

（4）如一栏之3x1.414-1.48722.76.

【点睛】本题考查无理数的估算及近似数，正确估算出各无理数的值并熟练掌握四舍五入法则是解题关键.

13.（2025八年级上•上海长宁•模拟预测）从一血、指中任意选择两个数，分别填在算式g+of+VI

里面的“口”与“。”中，计算该算式的结果是.（只需写出一种结果）

【答案】|A/2-2V3（或4&-26或?血+6,写出一种结果即可）

【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得.

【详解】解：①选择和百，

则卜+-rV2=^2—2y/6+3^-i-y/2.

=（5-2V6）^V2

=5+>/2—25/6+y/2

=-V2-25/3.

2

②选择-正和G，

则卜&+扃+&=（2-2>/11+6）+企

=卜-2位）+收

=84-72-2712^-72

=4>/2—25/6.

③选择6和C，

则（百+6丫+&=（3+2万+6）・&

=（9+6V2）4-V2

=9+6+66+6

=2&+6.

2

故答案为：|V2-2V3（或4乃—2指或^e+6,写出•种结果即可）.

【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.

14.（25-26八年级上•上海奉贤•课后作业）如图，把半径为0.5的圆放到数轴上，圆上一点4与原点重合,

将圆沿着数轴滚动一周，此时点1与点H重合，则点才表示的数为.

【答案】兀

【分析】本题考查了数轴和圆的周长，关键理解沿着数轴正方向数值增大，根据圆在数轴上4。）沿着数轴

正方向滚动一周，因此，到达4的值为0+冗=兀.

【详解】解：根据题意可知，力点所对数值为0，

:/到/的距离是直径为1的圆周长，

对应的数值为0+岭1=兀.

故答案为：兀.

15.（2025・上海•模拟预测）定义：如果一个四位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足千位上的数

字与个位上的数字的2倍的差等于百位上的数字与十位上的数字的2倍的差，则称这个四位数为差倍数.设

彳为•个差倍数，将4的千位数字与百位数字交换位置，十位和个位交换位置后得到的新数再与力相加的

和与11的商记为中（力）.四位数/是一个差倍数，且千位数字4•满足中（⑷是7的整数倍，则满

足条件的A的最人值为.

【答案】3974

【分析】本题考查了整式的加减与阅读理解，设差倍数千位上的数字为。，百位上的数字为从十位上的数

字为c,个位上的数字为力根据差倍数的概念得Q-b=2(d-c),根据/差倍数，且4为最大数时，

a=3,b=9,c=9,d=6,然后根据是否能被7整除进行验证，从而可得力的最大数

【详解】解：设差倍数千位上的数字为〃，百位上的数字为人，十位上的数字为C,个位上的数字为力且

a#0,6w0,c#0,i/#0,

根据题意得，a-2d=b-2c,

a-h=2(d-c),

•••四位数4是一个差倍数，且千位数字。满足14a43,lWAW9,lWcW9,lWdW9,

当”=3/=9时，3-9=2(t/-c),

3996+936912154

当d=6时,c=9,所以，①(3996)=^—产-=1215,竿=173^,不是整数，故不符合题意;

当d=5时,c=8,所以，①(3985)='[=1213,%=不是整数，故不符合题意；

4974+93471911

当d=4时,c=7,所以，0(3974)=^—=1211,宁=173,是整数：

二力的最大值为3974.

故答案为：3974.

16.(2025八年级上•上海奉贤・专题练习)观察下列等式：士=，1+1+上=3=1+—匚

1VI22221x2

根据以上规律，计算X1+X2+X3+…+々023-2021=

2023

【答案】2

2024

【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由已知等式可得、引L勺1+而I尸1+而1可J*〔厂1在11〉

进而利用规律逐个转化进行计算即可求解，找出等式的规律是解题的关键.

【详解】解：•.•1=w!=g=i+1=1+04

1x2

X,=1+3+------7=1+-7-^-r=1+11

V/r(w+1)-〃(〃+1)</7〃+1/

:.X|+.V-,+Xj+,•,+x，o,3-2021

=1+1彳11

+1++1++…+1+-2021

2-3>3~4>20232024

1

-14-1——4-1d------+1-4-------+…+1+-——2021

2233420232024

=20245——2021

2024

=3———

2024

.2023

=2,

2024

故答案为：2氟202・3

17.（2025•上海长宁•模拟预测）已知。工0且。工1,我们定义工（。）=丁匚，记为可；力（。）=二二，记为

i-a]_q

，记为见.若将数组中的各数分别作，的变换，得到的数组记为

（q，4，cj；将（q，A，q）作力的变奏，得到的数组记为（,也,。2）；…….则

“I+C]+%+4+J+....+“202,+^2025+0202s的值为

……8325

【答案]—

【分析】要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果.

本题考查了数字类规律探索，准确计算、发现规律是解题的关键.

4==7=2

11

【详解】解：根据题意，得4=匚而=5,7"r=_T»故数组

I--1—32

2

121

(q，4，q)=

\上A7

b、=--

故数组（生也勺）=（2,-1,|

故数组血也，。3）=（-，3）,

_]_]b,=--=2I1

「rpn，i-i,品=二=一5’

故数组3&q）=d）,

故每3次变换一个循环，

口,1cle,,.25,,1,5

'<7,++q--+2---2,6T24-P2+C2-2-1+J--,a3+Z>3+c3--1+—+3--,

LLL55、37

q+4+C]+a、+/?.+g+%+4+q=-+—+2=—

2369

由2025+3=675,

378325

故4]+4+C|+a+b+^2+-，*+6,202J+4025+。2025的值为丁x675=——

22o2

故答案为：詈

18.（25-26八年级上•上海奉贤•课后作业）某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长是10m

的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形.

（1）若面积扩大为原来的9倍，则边长扩大为原来的倍.

（2）若扩大后的绿化带面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长是m,边长扩大为原来

的倍.

【答案】3202

【分析】此题考查了算术平方根，根据题意求出扩大后绿化带的面积是解题的关键.

（1）先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案:

（2）先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案.

【详解】解：（1）原绿化带的面积为102=]（）（）m2,

面积扩大为原来的9倍为900m?,

边长为师=30m,即长扩大为原来的3倍,

故答案为：3：

（2）面积扩大为原来的4倍为400m2,

二边长为V^=20m,即长扩大为原来的2倍,

故答案为：20,2.

三、解答题（7小题，共64分）

19.（2025八年级上•上海奉贤•专题练习）求下列方程中x的值:

（l）（2-x），=64；

⑵64(X+1)'-I25=0

【答案】（l）x=—2；

【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值.

（1）利用立方根的定义求解即可;

（2）利用立方根的定义求解即可.

【详解】（1）解：（2—X）3=64,

2-x=4,

x=-2；

(2)解：64(X+1)3-125=0,

Z1\3125

Q+i)=/，

,5

x+1=—,

4

解得：x=1.

4

20.(25-26八年级上上海崇明•阶段练习)计算:

⑴石

(2)|V3+V2)(V3-V2).

（3）后后屈;

⑷13&-|）（1+3挺）-（2五-l『.

【答案】（l）g

（2）1

（3）72

（4）8+4&

【分析】本题考查二次根式的运算：

（1）根据二次根式乘法运算法则计算即可；

（2）根据二次根式乘法运算法则计算即可；

（3）将各个二次根式化为最简二次根式后进行合并即可；

（4）利用二次根式的乘法运算法则计算即可.

【详解】（1）解：原式=

（2）解：原式=（百『一（正丫=3-2=1；

（3）解：原式=2a+4后-5及=&;

（4）解：原式=（3立『-产一（8-4&+1）=18-1-9+4应=8+4&.

21.（24-25八年级上•上海闵行•课后作业）根据材料解答：

石＜囱，即2＜逐＜3，.•.后的整数部分为2,小数部分为遂-2.

（1）而的整数部分是;

（2）若的小数部分为“,JFT-1的整数部分为明求〃?+的值.

【答案】（1）3

（2）-2

【分析】（I）利用例题结合囱＜JTT＜J记，进而得出答案；（2）利用而＜/万＜后再求出小数部分和

整数部分即可解得.

【详解】（1）解：•.•囱＜而＜而，

加的整数部分是3.

（2）解：二•屈＜历＜底即4＜心＜5,

:.万的小数部分/n=Vu-4,

•••3＜而＜4，

.•.2＜而-1＜3,得整数部分〃=2,

.-./n+zz-Vi7=717-4+2-717=-2

【点睛】本题考查了用“夹逼法”求算术平方根的整数部分和小数部分，并进行算术平方根的运算，掌握求无

理数的整数部分和小数部分是解题的关键.

22.(25-26八年级上•上海普陀•阶段练习)现有一组有规律的数：1,-1,0,-y/3……，其

中I,-1,五,-叵,6，-石这六个数按此规律重复出现.

(1)第10个数是，第50个数是.

(2)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520,那么共有多少个数的平方相加？

【答案】(1)一&,-1

(2)和为520,共有261个数的平方相加得到

【分析】(1)根据每六个数一循环解答即可；

(2)根据每六个数的平方和等于12,利用循环规律解答即可.

【详解】(1)-.10+6=1……4,

・•・第10个数在这六个数中排在第4,即一夜，

•••50+6=8……2,

•••第50个数是这六个数中排在第2,即T,

故答案为：-收，-1;

(2);I,-1,五,-五,百，-V5这六个数的平方加起来是12,

且520+12=43……4,

丁•和为520是由前43个循环组的平方和再加上4得到，

而4=12+(-1)2+(＞/2)2,由3个数平方相加得到，

和为520,共有6x43+3=261个数的平方相加得到.

【点睛】本题考查数字变化类规律探究，解答时涉及平方根的性质，解题的关键是探究出循环规律，利用

规律解答问题.

23.(24-25八年级上•上海虹口,阶段练习)观察下列等式，解答下列问题.

第I个等式:

第2个等式:

第3个等式:

第4个等式:

（1）卜+$=（填写运算结果）；

V35

（2）写出第〃个等式：（用含〃的代数式表示）；

（3）口|是满足上述规律的代数式，若=（①均为正整数），则疝的值为

【答案】（1）6,修

（3）21

【分析】本题考查了数字的变化规律，算术平方根，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题.

（1）模仿题干中的等式写出第5个等式即可得出答案；

（2）根据各式计算得到结果，得出的规律写出即可；

（3）根据⑵得出的规律，可求出，的值，。、6之间的关系，代入而计算即可.

(3)解:是满足上述规律的代数式,（a,b均为正整数）,

.-.8=«+1,b=a(a+2),

a=7,

:.4ab=yja-a（a+2）=yja2（«+2）=y/71x9=21,

故答案为：21.

24.（25・26八年级上•上海闵行•阶段练习）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的

红绫，能随主人心意改变长度.哪吒在镇压妖兽时，伸长"混天绫’’围成一圈形成一个面积为400平方分米的

正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为

5:3.

（I）围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？

（2）围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由.

【答案】（1）80分米

（2）不需要继续伸长，理由见解析

【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键.

（1）根据算术平力根的意义即可求解；

（2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案.

【详解】（1）解：•・•“混天绫’’围成一个面积为400平方分米的正方形，

•.•正方形的边长为20分米，

“混天绫”的总长度20x4=80分米.

答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是80分米.

（2）解:能,理由如下:

设长方形的长为5x分米，宽为3x分米，

依题意得5x-3x=285,

解得尸M或x=

•/x>0,

/.x=»

长方形的长为5M分米，宽为3M分米，

•,.长方形的周长为2X（5Vi?+3炳=]6加，

.\64<16>/19<80，

目成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长.

25.（25-26八年级上•上海静安•阶段练习）阅读与思考：下面是小美的阅读笔记，请认真阅读，并完成相应

任务.

关于二次根式的化简

概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的

目的.

概念2：有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两

个代数式互为有理化因式.

例如：75x75=5,（73+72）（73-V2）=l.

我们称行的一个有理化因式是百（G+五）的一个有理化因式是（G-&）.

概念3：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式,

使分母中不含根号，这种变形叫价分母有理化，也称“有理化分母”

1也也22（百一1）r

例如：—f==；一=J=,厂J」、=V？T.

25/326xyfi6-1（6+1）（6-1）

1_I_73-1_if,I）

典例I：前=可6+1）=6®1）曲1户一耳J

IIV5-V3Ip1]

典例2：5存36=乐心+木丫画忑二丽1肉=八耳一/1

请完成以下任务：

（1）写出77的一个有理化因式：；将京分母有理化的结果是.

1

Q）猜想:（2〃+1）仿工（2〃-1）拉/?+1--------（〃为正整数）.

⑶计算：（力+…十；^^卜（匹+]）=——•

2+2+_2+____________2__________=

（）计算：3+G++37+76++…+2025e02§+2023&025一--------

【答案】（1）J7+指；立

2

(3)2025

2025-V2025

2025

【分析】本题考查了有理化因式和分母有理化的概念，熟练掌握有理化因式和分母有理化的概念是解决本

题的关键.

(1)根据有理化因式与分母有理化的概念求解即可.

(2)将分母变为J(2〃+1)(2〃-1)(V^TT+V^T),再结合分母有理化的概念，求解