2025-2026学年北京某校九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025・2026学年北京十五中九年级(上)期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.二次函数产2(x-3)2+1的图象的顶点坐标是()

A.(2,3)B.(2,1)C.(3,-1)D.(3,I)

2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

3.不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别.随机从袋子中摸出3个

球，下列事件中是必然事件的是()

A.3个球都是白球B.至少有1个黑球C.3个球都是黑球D.有1个白球2个黑球

4.若将抛物线y=5『先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为()

A.y=5(x-2)24-1B.y=5(x+2)2+1

C.v=5(x—2)2—ID.y=5(x+2)2—1

5.北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续.某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客

8470人.设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为无根据题意，下面所列方程正确的是()

A.7000(1+x)2=8470B.7000^=8470

C.7000(1+Zv)=8470D.7000(1+x)3=8470

6.在平面直角坐标系人Oy中，若点(4,巾)，(6,”)在抛物线产〃(x-3)(«>0)上，则下列结论

正确的是()

A.I<y\<yzB.IC.y2<y\<ID.y\Vy2V1

7.如图，在等腰△ABC中，乙4=120°,将△ABC绕点。逆时针旋转a(0。<a<

90°)得到△CQE,当点A的对应点。落在8C上时，连接则的度数

是()

E

A.30°

B.45°

C.55°

D.75°

8.如图，抛物线产a/+云+c(aWO)经过点(-1,0).下面有四个结论：①。

>0；②2a+》<0；③4ti+2〃+c>0；④关于x的不等式0¥2+的解集

为・1VXV0.其中所有正确结论的序号是()

A.①②B.②③C.③④D.②③④

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.在平面直角坐标系中，点A(3.-4)关于原点的对称点的坐标为一.

10.若关于x的一元二次方程f+3"c=0有两个相等的实数根，则c的值为_.

11.已知机是关于x的方程x2-2r-3=0的一个根，则2m2-4m+5=____.

12.已知二次函数产F+法，当x>1时，y随x的增大而增大.写出一个满足题意的〃的值为—.

13.如图，在等边△A8C中，A8=6,。是8C的中点，将△4&)绕点A旋转后得到△ACE,那么线段。£

的长度为______________.

14.如图，以点。为中心的量角器与直角三角板A8c按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边

重合，如果点。在量角器上对应的刻度为110°,连接CD那么N8CQ=—.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，△人可以看作是将绕某个点旋

转而得到，则这个点的坐标是______.

16.如图，A3是。。的直径，C为。。上一点，且A氏LOGP为圆上一动

点，M为人P的中点，连接CM.若。。的半径为2,则CM长的最大值

是_.

三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题5分）

解方程：『-641=（）.

18.（本小题5分）

已知：如图，△A/3C为锐角三角形，AB=AC,CD\\AIk

求作：线段8P,使得点P在直线CO上，且乙48P=1KBAC.

作法：①以点4为圆心，AC长为半径画圆，交直线C。于C,P两点;

②连接BP.

线段BP就是所求作的线段.

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明.

证明：•••CQII4B,

:.£ABP=.

•.AB=AC,

.•.点8在《4上.

又•••点C,尸都在。A上，

.•.乙8PC」/BAC(______)(填推理的依据).

1

:.LABP=Z.BAC.

19.(本小题5分)

如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点0为圆心的圆的一部分，如果M是。。中弦CO的中点,

EM经过圆心0交圆弧于点E,并且。£>=4/儿用/=6〃?,求。0的半径.

20.(本小题5分)

己知：在平面直角坐标系中，△44C的三个顶点的坐标分别为A(5,4),B(0,3),C(2,1).

(1)画出△ABC和△八BC关于原点成中心对称的AAIiG，并写出点G的坐标；

(2)画出将△ABC绕点O按顺时针旋转90°所得的&42&Q.

21.（本小题5分）

如图，。是等边三角形ABC内一点，将线段人。绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,连接CQ,BE.

(I)求证：△AEBgAAOC；

（2）连接。E,若乙4。。=96°,求Z8ED的度数.

22.（本小题5分）

已知二次函数y=f-2x-3.

（1）将y=x1-2x-3化成产a（x-/?）2+k的形式;

（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象：

（3）当-lVx<2时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围.

23.（本小题6分）

二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第

五大发明”.如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有

“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在

桌面上.

（I）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是一

（2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A,B,C,。表示，小文从

中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰

好是“立春”和“立夏”的概率.

24.（本小题6分）

已知关于x的方程（/n+4）A+2/H+4=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的一个根比另一个根大3,求机的值.

25.（本小题6分）

小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到

第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面

的运动轨迹近似为•条直线，球第•次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为•条抛物线.如图1和

图2分别建立平面直角坐标系xOy.

（1）表格中〃?=

（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；

（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为4，“间发式”模式下球第二次

接触台面时距离出球点的水平距离为必，则4d2（填"二”或“V"）.

26.（本小题6分）

在平面直角坐标系，中，点A,B是抛物线产加（〃W0）上的两个不同点.

⑴当in=-l时，有yi=>2，求a的值；

（2）若〃>0,当〃（n+1）。时，都有求〃的取值范围.

27.（本小题7分）

在△ABC中，AQ18C于点。，「1。♦CD\BC,将线段A3绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连

接。E.

（1）如图1,当4Q=OC=1时，补全图形，并求的长：

（2）如图2,取人E的中点尸，连接。尸，用等式表示线段。口与人C的数量关系，并证明.

图1图2

28.（本小题7分）

在平面直角坐标系中，对于△OA8和点尸（不与点O重合）给出如下定义：若边04,08上分别存在

点M,点N,使得点。与点P关于直线对称，则称点P为△048的“翻折点”.

（1）已知4（3,0）,B（0,3/3）.

①若点M与点A重合，点N与点B重合，直接写出△OAB的“翻折点”的坐标；

②P是线段4B上一动点，当P是△0A8的“翻折点”时，求AP长的取值范围：

（2）直线y♦M&A））与无轴，），轴分别交于4〃两点，若存在以直线A4为对称釉，且斜边长为

2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为△0A8的“翻折点”，直接写出。的取值范围.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】93,4)

q

10.【答案】-

11.【答案】11

12.【答案】-2(答案小唯一)

13.【答案】3V3

14.【答案】55。

15.【答案】(2,2)

16.【答案】JS+1

17.【答案】解：・・/6-1=0,

移项得r-6八=I,

配方得r-6工+9=1。，

即(x-3)2=10,

开方得工-3=±yHI,

则工户3+、1(),^2=3-vHI.

18.【答案】解：(1)如图,即为补全的图形;

(2)乙BPC：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

19.【答案】解：连接C。,

是弦。。的中点，且EM经过圆心0,

D11

.-.EAY1CD,且CM=-CD=-X4=2w

在R/ZXOCM中，令。。的半径为「〃?，

•.0。=。M+。卬，

整理得，12-40,

切幻10

解得后，

即。。的半径为“〃?.

*>

20.【答案】解：(1)由题意得，根据坐标4(5,4),4(0,3),C(2,1)找到A、B、C三点连接

八&BC、AC,即可得到△人8c图象如图所示，根据中心对称的性质：对称中心是对称点连线的中点，找

到4、3、Ci,连接AiB、BC、AiCi,即可得到△4B1G的图象如图所示,

由图象可得C(-2,-I)；

(2)根据旋转的性质：旋转图形形状大小不变知识位置发生改变，顺时针旋转9()。找出人2、&、C2,连

接上&、82c2、A2c2如图所示,

>•

X

21.【答案】(1)证明：•・•△ABC是等边三角形,

：.AB=AC,ZBAC=6O0,

由旋转得AE=4。，z£AQ=60°,

^BAE=z.CAD=60°-Z.BAD,

在AAEB和△AZ)C中，

AB-AC

<ZB.1EACAD,

AO

.•.△AEBdAOC(SAS).

(2)解:.AE=A£>,z.EAD=60°.

.，.△AEO是等边三角形，

."£7)=60°,

vAAEfi^AADC,

.­.^AEB=AADC=960,

=960-60°=36°,

."BE。的度数是36°.

22.【答案】尸(x-1)2-4；

-4<y<0

23.【答案】；

24.【答案】见解答;

±3

25.【答案】解：(1)3.84,2.52；

(2)由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：

“直发式"模式下，抛物线的顶点为(4,4),

，设此抛物线的解析式为yaCx-4)2以(々VO),

把(0,3.84)代入，得3.84=a(0-4)2+4,

解得：a=-O.OI,

••・"直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为产-0.01(x-4)2+4；

(3)=.

26.【答案】解：(I)•.•抛物线的解析式为尸*-2A+c(g0),

抛物线的对称轴为直线石？厂

2(i

•••点A(-a,yi),B(〃?,户)是抛物线产ar2-2a2%+c(aWO)上的两个不同点,且当〃尸-1时，有yi=”,

—a—1

•••=a,

解得：，

”的值为-I;

•5

(2)•••〃>(),

二抛物线的开口向上，

•••抛物线上离对称轴越远的点，函数值越大.

又,•,当〃(〃+1)q时，都有yiV”，

:.若〃>0,则〃a2-a+2[a-(-a)].

解得:心3；

若//VO,则(/?+!)aW-a,

解得：后-2.

•・.〃的取值范围为〃<-2或〃23.

27.【答案】解：(I)如图所示，

取BC的中点M,连接AM、CE、BE,

(1)*li(,,AD=DC=\,

一

.-.BC=2,

：.BMCM1BC2,

2

：.DM=CM-CD=2-\=\,

:AD=DM,

-AD1BC,AD=DC=\,

：.ZAMC=<LACM=Z.CAD=45°,

.♦.4M=AC,NM4C=90°,4EAC+乙DAE=45

."4C+/MAE=90°,

由旋转得：48AE=90°,AB=AE,

.•.48AM+乙MAE=9(T,

：.z.BAM=z.EAC,

.,.Zj\I3M=Z.DAE,

在Z\84M和△EAC中，

(A\f-AC

<ZB.iAZ-ZE.IC,

IAB^AE

.•.△84Mg△E4C(SAS),

：.BM=EC=2,zABM二以EC,

.,.Z.AEC=Z-DAEt

'.ADWCE,

：.CELBC,

-DEXCD-CEV1-2-'\5;

(2)DI：」「，理由如下：

取BC的中点M,连接AM、BE,延长QC至N,使DN=DM,连接EN,延长DF交EN于P,

1

.•.JWm(1)BCt

■*>

'.'AD+CD=।BC,

2

:.AD=DM,

：.AD=DN,BM=AD+CDt

：AD1.BC,

.•.UMN=〃NM=45°,AM=AN,

.•ZMAN=9O0,

•:EN1BC,

；zDNP=乙ADC=90°,ADHEN,

:.乙DAF=^PEF,

由（I）同理可证：BM=EN,

:.BM=EP+PN,

:.AIHCD=EP+PN,

是AE的中点，

:AF=EF,

在△A。/和△£户尸中，

{AF-EF，

IZD.4F-ZPFF

•./\ADF^/\EPF（ASA）,

:AD=EP,DF=PF,

:.CD=PN,DF=:DP,

在小人。。和中，

（AD-DN

I£ADC一O.VQ,

（CD-PS

:.△ADC94DNP（SAS）,

：.AC=DP,

:.DF1AC.

9

28.【答案】解：（1）①“（3,0）,B（0,3，S）,

.•.0.4=3,08=3、'3,贝ijAB=6,

CMJ

.,.tanz.08A二

OB3V3

•••4。必=30°