2025-2026学年北京某中学九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025・2026学年北京三十五中九年级(上)期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.抛物线产3(x-1)2-2的顶点坐标是()

A.(I,-2)B.(-1,2)C.(1,2)D.(-1,-2)

2.剪纸艺术是最占老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗

产代表作名录.以下剪纸中，既是轴对称又是中心对称的图形是()

3.已知点4(-1,y\),B(2,>»2)在抛物线产-3f上，则yi，/大小关系正确的是()

A.V|>.Y2B._yi=y2C._yi<y2D.不能确定

4.将抛物线产2/向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是()

A.尸2(X+1)2+3B.y=2(x-1)2-3C.y=2(x+1)2-3D.y=2(x-1)2+3

5.某厂家2022年1至5月份的某种产品产量统计如图所示.设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的

平均月增长率为K根据题意可得方程()

某J家2022年1一5月份的某种产品产量统计图

A.180(1-x)2=461B.368(l-.v)2=442

C.180(1+x)2=461D.368(1+x)2=442

6.“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用.已知半径为20c、〃?的正六边形的窗洞如图所

示，那么它的面积是()

A.k7/rB.JiMl\k〃，-C.13—O.Ir>ll\

7.如图，在△A8C中，AB=AC,，H4C=5U°,将△A8C绕点A顺时针方向旋转得

到AAOE,AB与CE相交于点F,下列说法错误的是（）

A.若/WIICE,则人E=30°

B.乙BAE=2乙BCE

C.£B=UEC

D.连接8E及CQ,WJBEWCD

8.如图，抛物线产aF+^+c（〃W0）经过点（I,0）,对称轴为尸-1.下面有四个

结论：①。桢VO；®2a-b<0t③4a+c>2〃：④关于x的不等式aF+（8+c）x>0的

解集为OVxVL其中所有正确结论的序号是（）

A.①②

B.②③

C.③④

D.②③④

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.在平面直角坐标系中，点A（-4,1）关于原点对称的点的坐标是

10.在平面直角坐标系xOy中，00的半径为5,则点。（3,-4）在。O.（填“内”、“上”或

，，外”）

11.已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点（1,0）,写出一个满足上述所有条件的二

次函数的解析式一.

12.二次函数产f+4x+a的图象与A轴没有交点，则整数a的最小值是_.

13.如图，某汽车车门的底边长为1〃?,车门侧开后的最大角度为72°,若将一扇车门

侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是一"R（结果保留兀）

14.如图，PA,P8分别与。。相切于人，B两点.若"P8=60°,OA=2,则P8

的长为_.

15.如图，在圆内接四边形A3C曾中，对角线力。1AO,ZC=I35,,AD=2,则

AB=

16.如图，点C为线段4B的中点，E为直线A8上方的一点，且满足CE=C8,连接AE,以AE为腰，4为

直角顶点作等腰放△AQE,连接CD,当CO最大，且最大值为、2+1时，则A8一.

三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题5分）

解方程：『-6"+2=0.

18.（本小题5分）

已知：A,8是直线/上的两点.

求作：△A6C,使得点。在直线/上方，且乙4c6=150。.

作法：

①分别以A,B为圆心，A8长为半径画弧，在直线/下方交于点0；

②以点0为圆心，。人长为半径面圆；

③在劣弧前上任取一点C（不与A,B重合），连接AC,8cAABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：

（2）完成下面的证明.

证明：在优弧前上任取一点M（不与A,8重合），连接4M,BM,0A,0B.

-0A=0B=AB.

.•.△048是等边三角形.

山08二60°

•M,B,M在。。上.

.•一心/〃Lio/；（_____）（填推理依据）.

.•.”M8=30°,

匹边形ACBM内接于OO.

:.心MB+CB=_____.

:&CB=.

AB

19.（本小题5分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，△0A8的顶点坐标分别为0（0,0）,A（5,0）,8（4,-3）,将

△0/W绕点。顺时针旋转90°得到△04'夕，点A旋转后的对应点为A'.

（1）画出旋转后的图形△OA'跟：

（2）直接写出点夕的坐标：

（3）求点3经过的路径，面的长（结果保留兀）.

20.（本小题5分）

在zXABC中，ZC=9O°,AC=8C将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△4QE,直线DE交BC十点F.

（I）依题意补全图形；

（2）若CF=1,求线段A。的长.

21.（本小题5分）

如图，四边形A8c。内接于。O,OC=4,AC=[V2.

（1）求点。到AC的距离；

（2）直接写出弦AC所对的圆周角的度数.

H

22.（本小题5分）

已知关于x的方程X2-WX+2W-4=0.

（1）求证：无论加取任何实数时，该方程总有两个实数根；

（2）如果该方程的两个实数根均为正数，求〃?的最小整数值.

23.（本小题5分）

已知二次函数产加+&+c（“WO）自变量x的部分取值及对应的函数值），如下表所示:

•••••♦

.V-2-1012

•••323611•••

（1）写出此二次函数图象的对称轴；

（2）求此二次函数的表达式；

（3）当-3Vx<3时，直接写出y的取值范围.

24.（本小题6分）

如图，人8为。。的直径，点。在。。上，Z/1C8的平分线。。交。。于点。，过点D作。EIMB.交的延

长线于点E.

（1）求证：直线。E是。。的切线：

/

（2）若,BC-2v2>求。。的长.

A

25.（本小题6分）

如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线M和下方拱线N的最高点均为点C,拱门的跨径间

对称分布有8根立柱.他搜集到两条拱线的相关数据，拱线N的跨径AB长为14/〃,高，。为6.125加4C右侧

的四根立柱在拱线N上的端点。，E,F,/?的相关数据如下表所示.

点。点E点尸点8

距HC的水平距离（〃力4567

距A3的竖直距离（〃?）4.1253.0001.6250

所查阅的资料显示：拱线M为某个圆的一部分，拱线N为某条抛物线的一部分.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）选取拱线M上的任意三点，通过尺规作图作出拱线M所在的圆;

（2）建立适当的平面直角坐标系，选取拱线N上的点，求出拱线N所在的抛物线对应的函数蟀析式，并

验证拱线N上的其他已知点都在抛物线匕写出验证过程（不添加新的字母）.

26.（本小题7分）

在平面直角坐标系xOy中，点（孙〃?），（4-1,〃），是抛物线）=加2&上的点，Xo^a-l.

（1）当xo=2,m=n时，求。和〃的值;

（2）若-4Wxo<-3时，求〃的取值范围.

27.（本小题7分）

已知△A8C是等边三角形，点。在△ABC内部，月.ZBOC=I20°.

图2

（1）如图1,设乙48Z>a,求乙ACO的度数（用含a的式子表示）；

（2）如图2,点E是8C的中点，连接A。，DE,用等式表示线段A。与。£之间的数量关系，并证明.

28.（本小题7分）

在平面直角坐标系xQ，中，已知人（/-2,0）,R（/+2,0）.

对于点P给出如下定义：若乙4P445°,则称P为线段/W的“等直点”.

（1）当片0时,

z

①在点A阳,2•2v2l,Pi(-4,0),P3(2V2.2l,PA(2,5)中，线段A4的“等直点”是.

②点。在直线产x上，若点Q为线段A8的“等直点”，直接写出点。的横坐标.

（2）当直线产x+f上存在线段的两个“等直点”时，直接写出/的取值范围.

1.【答案】4

2.【答案】D

3.【答案】4

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】（4,-1）

10.【答案】上

11.【答案】严『-2x+l（答案不唯一）

12.【答案】5

13.【答案】:

14.【答案】2V3

15.【答案】2V2

16.【答案】=2

17.【答案】解：・.*6x+2=0,

••/6¥=-2,

H+9=-2+9,即（x-3）2=7,

.,.x-3=±7,

•••川=3+、7,%2=3-\7.

18.【答案】根据题意补全图形，如图即为所作;

在同圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；180。，150°

19.【答案】解：(I)△04,ZT即为所求，如图.

点A'(0,-5)：

(2)由图知，B(3,4)；

(3),3=5,MOA1=90°,

IM卜M52*T

•••点A在旋转过程中所走过的路径长8)

I7一

2。【答案】解：(1)如图所示.

(2)设直线OE交4B于点G,连接CE,过点E作EHtBC于点H,

由旋转得，AE-AC,AD-AB,£AED-^ACB-^°,^CAE-60°,

.•.△ACE为等边三角形，

.-.zACE=60°,AC=CE,

MECF=30°.

vzC=90°,AC=BC,

.zlAC"E4C=45°,

:.乙EAG=LCAE-乙BAC=15°,

.­.^AGE=Z«GF=I8O°-15°-90°=75°,

.•zBFG=180°-45°-75°=60°,

••zBFG=cECF+cCEF,

.-.zCEF=30°,

：.乙ECF=^CEF,

：,EF=CF=\.

在RlAEFH中,z.EFH=60Q,

^EH=EF*sin60(,=以，

2

在取△CE”中，乙ECH=30°,

:.CE=2EH=\

:.AC=\3,

.'.AB=\2AC=\6,

：.AD=y(».

21.【答案】解：(1)过点。作。EL4C于点E,

则CE=1AC.

&,1

•MC=ls2,

-2，

在2/XOCE中，OC=4,

-OE=y/OC^-CP-\1-20)‘-275•

.••点。到AC的距离为2、2.

(2)连接04.

•.由(1)知，在R/z^OCE中，CE-OE,

.•.乙OCE=^EOC=450.

-OA=OC,

.•20AC=N0CA=45°.

山。C=90°.

."=45°,

.,.〃OC=18()°-z^=180°-45°=135°,

.••弦AC所对的圆周角的度数为45。或135°.

22.【答案】(1)证明：b=-m,c=2m-4.

,•^=b2-4ac=(-in)2-4X1X(2/n-4)=m2Sm+16=(m-4)2>0,

.•.无论机取任何实数时，该方程总有两个实数根.

(2)解：•.,/-"3+2相-4=0,

即(x-2)[x-(m-2)]=0>

解得：xi=2,X2=fn-2.

,••该方程的两个根均为正数，

2,

〃可以取的最小整数值为3.

23.【答案】解：(1)由表格可知当x=-2时，k3；当x=0时，尸3,

-2+0

•••对称轴为直线「二，1：

(2)当x=-2时,>'=3；当x=-\时，y=2，当A-0时，产3,分别代入y=ax2+bx+c得:

a=l

解得：{力一2

,c=3

.,-}>=x2+2x+3；

(3)-：y=x2+2x+3=(x+1)2+2,

•••开口向上.

•••对称轴为直线x=-l,

.•.些-3VxV-l时，)，随工的增大而减小，当-IWxV3时，y随x的增大而增大,

...些.v=-1时，y有最小值，

由表格可知加in=2.

vx=3到对称轴4-1的距离比x=-3到对称轴x=-\的距离大，

当户3时，)=9+6+3=18,

.-3VxV3时，），V18,

24.【答案】（1）证明：连接0。，如图,

•••CD是乙4C4的平分线，

:.心CD=LBCD,

:.5()D=LB0D,

“B为。。的直径，

.'./j\OD=^BOD=\x180°=90°,

：.ODLAB,

-DEWAB,

：.OD上DE,

•••OD为。。的半径，

•••直线。?是。。的切线；

(2)解：•••A4为。。的直径，

.-.Z/ACB=90°,"。8=9()°,

•・zBAC=30°,HC2\2

..AB-26C-4Vz.

9cB的平分线CD交。。于点D,

心CDNBCD,

-ADBDf

:.AD=BD='2AB=4,

2

过点B作BF1.CD于点F,

•2CO8=NC48=30°,

:.BF='BD=2,

9

:.DF=、BD:川=2、J,

.；乙B0D=2乙BCD=9G0,

：ZBCD=45°,

.•・△8/。为等腰直角三角形，

:.CF=BF=2,

..CD=CF+DF=2，3+2.

25.【答案】见解析函数解析式为：（『7）（户7）,点。、E、F、8都在拱线N所在的抛物线上

O

26.【答案】解：（1）•.・抛物线y=ax2-2a\

•••抛物线的对称轴为直线A-=--=0

2a

vxo=2,m=n,

.••点（2,加），（67-1,/?）关于抛物线的对称轴对称，

••・抛物线的对称轴为直线-2'：La,

.••4=1,

二抛物线为y=x2-2x,

把点（0,n）代入得〃=0.

（2）•.•抛物线产

.•.抛物线的对称轴为直线-？「二〃，

2a

当尸0时，3=0,

.•・抛物线经过原点，

・•・抛物线过点<2«,0）,

当抛物线开口向下时，则。<0,

「4WxoW-3时，〃〃?V0,

0,〃V0,

J2a>-3

•（a1>2a

解得-'VaV-1：

当抛物线开口向上时，则〃>o,

••,-4WxoW-3时,/nn<0,

，"〉0,〃V0,

>0,

解得。>1;

故<7的取值范围是一；V“V-1或〃>I.

27.【答案】60°-a证明见解析

28.【答案】解：（1）①点Pi,尸3；

②由点。在直线产x上，设，

•・•点Q为线段44的''等直点”，

.'.CQ=2\2,

⑴♦“〃-2r2、勺，

解得〃H—I\3»ni2-Iv3（不合题意舍去），

利用对称性可求第三象限也存在符合题意的点Q,它们关于原点对称，

.•.此时的点。的横坐标为-1-、3.

•••点Q的横坐标为1+\X或-1-\

（2）（/-2,0）,B（什2,0）,

.•.48=4,48的中点的横坐标为

由（1）知：线段43的“等直点”在以A8为弦的优弧上，即圆心在直线尸2或尸-2上，2V’2为半径的圆

的优弧11上.

①当z>0时，设直线尸x+f与x相交于点N,与），轴交于点“，如图,

则F(0,r),