2025-2026学年北师大版高一数学第三次月考卷（解析版）

2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.I可答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版必修第一册第一章~第五章（第I章15%,第2章30%,第3章20%,第4章

20%,第5章15%）.

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若集合M={x|T〈xvl},/V=hv^-<ot,则McN等于（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|0<x<ijC.{x|0<x<l}D.{x|-l<x<0}

1.【答案】B

【解析】因为N={x|0Kx<2},M={X|-1<A<1},所以MCN={X[0<X<1}.

x-2

故选:B.

2.下列命题中，真命题是（）

A.若且x+y>2,则x,），至少有一个大于1B.VXGR,2X>X2

C.a+A=0的充要条件是g=-lD.3xeR,x2+2<0

b

2.【答案】A

【解析】当XW1且时，x+y<2,所以当无+）>2时，x,'至少有一个大于1,所以A正确；

当x=7时，2“<（-I））所以B错误；

当。=0/=0时，可知。+。=0无法推导;=-1,所以不具备充分性，C错误；

VXGR,X2>0,所以f+222,所以D错误;

故选：A.

3.已知2<"3,-2<Z?<-1,则俞的取值范围是（）

A.t2,-；,B.C.(-3,-1)

D.(1,3)

3.【答案】D

,,11,

【解析】V-2<£><-1,:A<\b\<2,A2<|bi<

又,2<av3,..1<后<3

故选：D.

4.己知a=log°.826b=2.6°\c=0.8"9,则。也c的大小关系为()

A.ci>b>cB.c>d>bC.b>c>aD.c>b>a

4.【答案】C

【解析】•*'«=log082.6,底数0.8<1,

.•・对数函数/（x）=1O&.8x单调递减，

又2.6>1,a=logos2.6〈logos1=0»

・"=2.6°9,底数2.6>1,

二•指数函数〃"=26,单调递增，

又0.9>0,...6=2.6°9>2.6°=1，

・“=0.809,底数0.8V1,

指数函数““=08单调递减，

又­.0.9>0./,0<c=O.809<0.8°=I.

:.b>\>c>0>a,

故选：C.

5.（新情景）视力检查时通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据.五分记录法的数据L和小数记录法

的数据V满足关系式L=5+lgV.已知某学生视力用五分记录法记录的数据为4.9,则其视力用小数记录法记

录的数据约为（）（参考数据：炖*1.26）

A♦0.4B.0.6C.0.8D.1.0

5.【答案】C

【解析】由题意知：L=5+lgV,

当L=4.9时，可得4.9=5+lgV,解得lgV=-0.1,

则-'=薪=赢"我"叫

所以其视力的小数记录法的数据约为08

故选：C.

6.已知函数/（x）=l+log“（x-2）（4＞0,且a,1）图象经过定点A（柩〃），若正数％,y满足竺+'=1,则

工y

x+y的最小值为（）

A.3+2&B.4+26C.4+2x/3D.5+26

6.【答案】C

【解析】函数/（x）=1+loga（入-2）（。＞0,aH1）,

令彳-2=1,可得x=3,代入函数可得所以定点A的坐标为（3,1）,

代入"+巴=1可得一+—=1，且x＞0,y＞0,

xyxy

M（x+y）|-+-!-|=3+l+^+-＞44-2l^x-=4+2y/3,

y）“yVxv

3vx

当且仅当一=一,即X=3+Gy=l+75时，等号成立，

xy

所以T+N的最小值为4I2G.

故选：C.

7.m知定义域为（。,”）的函数f⑴满足对任意内,/w（O,y）,石工七，都有）1/（、）＞]j⑶=2,

W一再

则不等式/（2x-l）＜2x-2的解集为（）

A.（0,1）CJ：D.（g,3）

7.【答案】C

【解析】由题意知对于任意3，9©（0,+»）,玉工々，不妨设N＜%，则％2-内＞。，

由至④Z至遍＞1得空色上电即-[曾°-以？耳.

X-XyX,_X------------=---------------------＞0

2毛一玉

结合”―＞。得以业-辿！＞0,即以巫,®1,

左Mx2xt

设g(x)=ndi!,“〉o),则该函数在(o,s)上单调递增，且葭3)=%11=1,

x3

则/(21-1)<2%—2即1<1,即g(2x-1)<g⑶，

2,V-1

故Ov2x—lv3,解得g<x<2,即不等式/(2x-l)v2x-2的解集为

故选：C.

8.已知函数〃x)=[史々若有另一函数g(.r)=52⑴-2/3)+1-2〃有且仅有3个不同零点，则

e+2,x<0

常数。的取值范围为()

(\5、(23、八(23](\5'

A.—B.—C.—D.—

(21)(34)(34J{27」

8.【答案】D

的图象:

函数g(x)=af2(x)-2f(x)+\-2a的零点等价于方程af2(x)-z/(x)+I-2«=0,

当a=0时，此时方程化为-2/⑴+1=。可得"X)=g,

由〃力=3,结合图象，可得方程仅有2个解，此时不满足题意；故〃工0；

当时，此时方程化为:/。)-2/0)=0可得〃x)=0或/(力=4,

由f(x)=0可得方程有一个解为X=1,

由/(x)=4,结合图象，可得方程有3个解，此时不满足题意；故。工；；

所以要使得函数有且仅有3个不同零点，则满足/(X)23,

27

由于△二4一44(1-24)=4(2〃—+1)=4+—>0

8

所以二次方程at2-2t+\-2a=0的根仅有一个满足壮3,另一个根/<0,

«>0”0

则满足（9。-6+1-2〃w0或<9d-6+l-2«>0,解得，〈。吟,

1一2”01-2a>0

综上〃的取值范围为品，

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知集合A={MaT2+2x+l=0,aeR,xeR},()

A.若IwA,则。=一3B.若。=0,则4有两个子集

C.A不可能为0D.若A中至多有一个元素，则a=0或a之1

9.【答案】ABD

【解析】对于A,若1wA,贝！|x=1是方程渥+2%+2=0的根，所以有。+2+1=0,即。+3=0,解得a=-3,

故A正确；

对于B,若。=0,则方程ad+2x+l=0变为2x+l=0,解程所以A斗界

2I

此时A的子集个数为)=2,子集为卜；}、0，故B正确；

对于C,当awO时，方程加+2x+l=0是一元二次方程，其判别式△=22—4axl=4—4a,当△<(),即

4-4«<0,解得。>1,此时方程无实数根，A=0,故C错误；

对于D,若A中至多有一个元素，分两种情况，

当a=0时，原方程变为2x+l=0,有一个实数根，满足A中至多有一个元素；

当时，原方程是一元二次方程，要使A中至多有一个元素，则AKO,即4-4〃工0,解得

综上，a=0或。之1,故D正确.

故选：ABD.

10.下列选项中正确的是()

A.已知函数/(f+l)=x、2/-1,则函数“力的解析式为/•(%)=--2

B.己知一次函数/a)满足/(/*))=85+80,则/。)的解析式为/(x)=9x+8

C.已知函数/(X)满足/(X)+3/(T)=X2-2X,则“X)的解析式为/(X)=32+X

二,x<0

G,x>oA-

D.已知函数/(x)=，间加3<0,则第(，))=,x,0^x<1

2x-1,x>1

2y[x-\,X>1

10.【答案】CD

【解析】对于A,/(^+1)=(^+1)2-2,且耐+IHI,所以f(%)=%2-2(%21),故A错误;

对于B，设/■(%)=kx+b(k声0)，则/(/(x))=々(履+力)+6=〃x+奶+〃=81x+8O,

m解利k=9:二;0,则/(x)=9x+8或/(x)=—9x—10,故B错误;

所以《nV4

kb+/?=80b=8，

时于C,因为/(力+3/(-力二/一2]，所以/(_X)+3/(X)=(T『+2X,

/(x)+3/(-x)=x2-2x1

即《)、，：，、，，解得了(丫)=；，+丫，故C正确:

U(r)+3/(x)=(-x)-+2x4

对于D,当xvO时，g(x)=g,此时g(x)<0,则/(g(x))=/2)=('J

X-

当0GW1时，g(x)=4x,此时OVg(x)〈l,则/(g(x))=f(«)=4~=x,

当4>1时,g(x)=«,g(-r)>l,则f(g(x))=/'(五)=2五一1,

~2,X<0

X，

综上所述，f(g(H)=«,故DiE确.

2G-l,x>1

故选：CD.

11.已知定义在R上的函数满足：①/(X)是偶函数；②当x>0时，/(x)>l；③当X20,)90时,

/(x+)，)=/(x)/(.y).则()

A./(0)=1B.“X)在［0,技)上单调递减

C.不等式〃工)<瑞的解集为(-2,2)D.

“X)的值域为［，3)

11.【答案】ACD

【解析】方法一:对于A,由条件③当记0,)亚0时，/(x+y)=/(x)/(y),

令x=0,y=\,得：/(1)=/(0)/(1),

又由条件②得/⑴>1，・../(O)=l,故A正确；

对于B,取V.rpx2G［0,+oo)，且占<%,

则/($)-/(&)=/(%)-/(内+&f)=/(X)-/(N)/(占-%)

=/(百)口f(x2N)］，

,.10<<x2,,x2-xt>0,.,./(x,-x))>l,

.J。)-/㈤<。即/&)</仁)，•・J(x)在［0，+8)上单调递增，B不正确;

对于c,v/(4)=/(2+2)=/(2)/(2),/(2)>1,

・•.不等式fWv瑞等价于</(2).

又/(力在［0,+8)上单调递增，且由条件①得y=/(x)是偶函数，

•..国<2,・••解集为(-2,2),C正确；

对于D,由x>0时,f(x)>l,/(0)=1,且f(x)是偶函数,

故/(%)的值域为［1,e),D正确.

故选：ACD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知4=1。832,〃=1。835,则32°"=.

4

12.【答案】y

2uh

［解析】由题设2〃一)=2log,2-log35=Iog31,则3~=3"行=

55

4

故答案为：

13.已知函数/3=4£-4%+2的定义域为咳则函数g("?)=4"「华的值域为

13.【答案】U5,+oo)

【解析】由题设知，在R上丁=〃7-4x+2N0恒成立,

所以Liro/c，则〃2,2，故f=4"'NI6，

A=16-8/?z<0

所以g(m)=力⑴=r-3在口6,*o)上单调递增,故g(⑼e|15,-KO).

t

故答案为：口5,+oo).

14.设/为实数，已知函数/。)=1。1+>/7币),式x)=4'+/2,若存在实数m方同时满足〃a)+/S)=0

和g(G+gS)=0,则实数t的取信范围是.

14.【答案】(-oo,f

【解析】/(x)="“+&+”,所以/(—X)=ln(-X+Vx2+1),

所以/(・©+/*)=。，

所以/*)为奇函数，所以a+b=0.

g(a)+g(b)=4"+入2“+4-“+八2-"=0,即4“+4~0+*2"+2-”)=0,

令5=2"+2-"22，

4a+4'a?-22

I=-------=------=-5+—,

2a+2-ass

2

/=-S+—在[2,一)上为减函数，所以

s

故答案为：(F,T].

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

(1)计算e』3-iog43.1og32+(0.125)；的值;

(2)已知，_fg=2,求〃：+［的值.

15.(13分)

【解析】⑴原式=e'C—蚂.蚂十］丫=［111

lg41g3⑻32'4=12

(2)因为T_2，所以a2-a2+2=6.

16.（15分）

已知/（%）=log“x+log/4-x）（。>0,月.awl）,且/⑵=一2.

⑴求。的值及/⑴的定义域；

（2）求73在［1,3］上的最小值.

16.（15分）

【解析】（1）/（2）=log,2Mcgw2=2,即1。民,2=-1,则"会

由题意得,・・・0<x<4,的定义域为（0,4）.

（2）f（X）=log1x+log,（4-x）=log।（4x-x2）

222

令，力=一/+4.一则）'=bgj,

O的对称轴：x=-《=^=2,

・•・，（”在［1,2）上单调递增，/⑴在（2,3］上单调递减：

•・・gvl,・・・>印08『在（0,+8）单调递减，

由复合函数可知：x«l,2）时，“X）单调递减，xe（2,3］时，/（力单调递增,

・.—）7

17.（15分）

（新情景）为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，

又有效地解决了农产品销售困难的问题.为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会

员进行购物和交流.已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：

建立平台年数X123

会员人数,（千人）142029

为了描述建立平台年数x（xeN'）与该平台会员人数y（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择:

①y=~+/?（«>0）；@y=dlogcx+e（d>0,c>1）；③y=lai'+rn（k>0,a>1）.

.X

⑴根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；

⑵根据第（I）问选择的函数模型，预计平台建立f年的会员人数将超过2002千人，求/的最小值.

参考数据：In2«0.693,hi3«1.099,山5yl.609.

17.（15分）

【解析】(I)从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快.

因为模型①为减函数，模型②漕长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所

以选择模型③.

14=版+m女二8

切，解得.

将数据代入y二储'十rn{k>()M>1)可得20=kJ।m=2

29=ka'+m3

a=—

2

所以，函数为y=8(白)+2,xeN'.

（2）由（1）知/（x）=8（|）+2,xeN「

则8c+2>2002.得（1"。,

ln25031n5+In23x1.609+0.693

t>log250=«13.60

3i,3In3-ln21.099-0.693

Ifl一

2

故f的最小值为14.

18.（17分）

已知函数/（x）=e'+eT.

⑴若方程/(力=3的两根为演与与，求西+七的值；

(2)设函数g(x)=f(2力-珂(力+12,若g(x)的最小值为1,求实数。的值;

⑶设函数尸(力=/("一e\记尸(x)为F(x)的反函数，设函数〃("=，蛾(尸(x)-1)+-(心)，当

x«e,+8)时，/i(x)>2,求实数刑的取值范围.

18.（17分）

【解析】（1）因为e'+eT=3,所以e2'-3e*+l=0,

令$=/,则4应为d一3$+1=0的两根，

X1X2Xl+Xz

所以S]•s2=ee=e=1,

所以为+占=0.

(2)g(x)=e2v+e-2x-2〃(eF尸)+12,

令/=e*+e-x,所以/=e'+e-"N2Je*xe-=2，

当且仅当e'=e-x，即x=0时等号成立，

又因为/2_2=e2'+eH,

所以了=/一2-为/+12=产-Z7/+10(/22)的最小值为I,对称轴为，=a,

13

当时，14・4。=1,解得“=与，不符合题意，

当。＞2时，-a2+10=i.解得。=3或。=一3(舍)，

综上所述。=3.

(3)因为尸(力=力所以尸(x)=lnx,

所以〃(力="aI+ln(/nv)=ckl(/,u--|+ln(wtv),

令〃=ln("iv),所以)，=e"T+〃22,

因为),=e"T+〃在R上是增函数，且当〃=1时，y=2,

所以〃21,即〃=In(/?it)=lnw4-lnx＞l,

所以Inx在x£(e,+cc)上恒成立，

所以1一In〃2W1,得〃?21,

故机的取值范围为[1,+8).

19.(17分)

(新情景)已知函数y=/(x)的定义域为D,对于任意4/£。(内＜与)，均有‘孕＜，字，则称

X]x2

y=〃x)为定义在D上“p阶增函数”.

⑴若/(x)=2x+K,函数y=〃x)为定义在区间(0,y)上的“1阶增函数”，求：实数5的取值范围；

⑵若y=/(X)为定义在区间(0,+8)上的T阶增函数"，且/("?)=〃J(〃)=4J(S)=二/(〃?+〃+S)=383,

其中0v〃7V〃<s,求证：p+g+r<383；

⑶如果存在常数对于任意都有“力<5,则称)=〃刈在D上有上界，问：是否存在常数

历，使得对于所有定义在区间(。,+8)