2025-2026学年北师大版高一数学上学期期末常考题之对数的运算

20252026学年上学期高一数学北师大版期末必刷常考题之对数

的运算

一.选择题（共6小题）

I.2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000P/7（千亿亿

次浮点运算每秒）.截止到2025年，DeepSe或的算力已提升至225OPF,按照技术规划，DeepSeek的算

力将每年增长50%.按此计划,的算力将在年首次突破1X咛尸尸.（参考数据:妒比0.301,

年3%0.477）（）

A.2032B.2033C.2034D.2035

2.计算我+27-5x9+，。必12-log23-5皿56的值为（）

A.1B.2C.3D.25

3.若K,y满足/〃（3x+y）=加+3，则x+3y的最小值为（）

A.10+2V6B.10+2/5C.12D.16

029

4.已知正实数小。满足a，2=e2025和人a,1b_2）=?.则曲的值为（）

A“2029D-2023厂^2027“2026

A.eB.eC.eDn.e

5.对任意实数x,3表示不超过n的最大整数，例如旧=3,⑴=1,[-1.6]=-2.己知S=[⑷]+[02]+

[03]+…+即2024]+[Igl]+[lg|]+[lg1]+—+[lg^4]，则S为（）

A.0B.1C.-2020D.-2021

6.2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为\m）PetaFLOPS

（千亿亿次浮点运算/秒）.根据技术规划，"的算力每年增长50%.截止至2025年，其算力已

提升至2250PetaFLOPS,并计划继续保持这一增长率.问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破

7500PetaFLOPS2（）

（参考数据：々2*0.301,々320.477,/.g5^0.699）

A.2026年B.2027年C.2028年D.2029年

二.多选题（共3小题）

（多选）7.已知小h,。都是实数，下列命题是真命题的是（）

A.若a>0,b=2,则.°+62=4

B.若。=w〃=27,则Iog3〃+log3h=2

C.若&）则G>b

。・若c<0,

（多选）8.若a<b<0,则（）

11

>-3

A.cr<b-B.bC.In(b-a)>0D.cf<b

-

Q1

(多选)9.已知a=log210,b=log3贝U()

A.ab<()B.4a・9"=1

11h—ci

C「尸D-*=E

三,填空题(共4小题)

10.已知等比数列{a〃},41=2,«4=8,则Iog242+log2a3=.

II.若Jog2[log4(x+l)]=1,则X=.

12.已知10g23=k,PMlog129=.(注左表示)

13.已知k2=a,1心=3,贝ijlog62=(结果用a、/?表示).

四.解答题(共2小题)

14.计算：

(1)(05)2+lg2xIgSO+7*2+(-9.8)°；

a+二

虹a

（2）已知遍一急33的值

--

Q12

2--a

Q3A：+Q-

31V

15.(1)设。Zr=5，且。>0,求---二的值；

ax+a-x

⑵若Ig2=a,1—=3,用a和〃表示logi225.

20252026学年上学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之对数

的运算

参考答案与试题解析

一,选择题（共6小题）

题号123456

答案DADACC

二.多选题（共3小题）

题号789

答案BDBDABD

一.选择题（共6小题）

I.2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000P/（千亿亿

次浮点运算每秒）.截止到2025年，OeepSe或的算力已提升至225OPF,按照技术规划，DeepSeek的算

力将每年增长50%.按此计戈ijQeepSe减的算力将在年首次突破1X咛2立（参考数据:妒-0.301,

7^3^0.477）（）

A.2032B.2033C.2034D.2035

【考点】对数运算求值.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】根据已知条件，列出不等式，再结合对数的运算法则，即可求解.

【解答】解：设2025年为第。年，算力为2250PF,

每年增长50%,则2250X（1.5）M>105,即（1.5尸>熏^=等，

精等）_2s2+2仞1。-253〜2x0.301+2-2x0.477〜

以01.5~lg3Tg2~0.477-0.301917,

因此，〃=10,对应年份为2025+10=2035年.

故选：D.

【点评】本题主要考查对数运算求值，属于基础题.

1

-

2.计算通+275x9+log212-log23-51网6的值为()

A.1B.2C.3D.25

【考点】对数的运算性质.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】结合指数、对手的运算法则，即可求解.

【解答】解：原式=2+2乂9+/924-6=2+3+2-6=1.

故选：A.

【点评】本题主要考查指数、对数的运算法则，属于基础题.

3.若X,丁满足/〃(3x+y)=/〃x47〃.y,则x+3y的最小值为()

A.10+2x/6B.10+2百C.12D.16

【考点】对数的运算性质；基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】先利用对数的运算性质进行运算，再利用基本不等式求解即可.

【解答】解：因为x,y满足加(3x+y)=bLx+lny,

所以版+y>0,x>0,y>0,

所以/〃(3x+y)=lnx+lny=bv;y,

所以3x+y=xy^,

31

所以一+-=1,

yx

所以(；+执%+3丫)=竽+9+1+率210+2杼与=16,

当且仅当半=§即x=y=4F寸取等号，

故x+3y的最小值为16.

故选：D.

【点评】本题考查了对数的运算性质，涉及到基本不等式的应用，属于基础题.

4.已知正实数4,〃满足〃/厂2=02025和方(/〃〃-2)=/029.则的值为()

A.*29B.6202sC.次27D.*26

【考•点】对数的运算性质；函数的单调性.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函

数的单调性确定4,〃的关联，最后结合题给条件求解必.

【解答]解：・・“-2=产，

In(aetr2)=lne2(}25,即lna+lne(,2=Me2025=>/««+«=2027,

,：bUnb-2)=J029,

两边同时取对数，可得伍[bUnb-2)]=//ie2029,BPInb+lnUnb-2)=2029,

则(bib-2)+ln(bib-2)=2027,

f(JT)=x+!几丫在(0,+8)上单调递增，

・•・方程f(x)=2027有唯一解,f(a)=fUnb-2)t

:・a=lnb-2,

：.ab=Unb-2)b=e2029.

故选：A.

【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，属于中档题.

5.对任意实数x,[用表示不超过x的最大整数，例如[n]=3,[1]=1,[-1.6]=-2.己知S=[Igl]+[lg2]4-

即3心+由2024]+即1]+呜+端]+-+因启,则5为()

A.0B.1C.-2020D.-2021

【考点】对数运算求值.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类.

【答案】C

【分析】利用取整函数的性质得到/(x)=[x]+「x]的取值情况，即可得到答案.

【解答】解：由题意设/(X)=[AH-A],

若X是整数，则,f(x)=[x]+[-x]=x+(-X)=0,

若x不是整数，则㈤VxV㈤+1,从而-[x]-\<-x<-[x]fift[-x]=-[x]-1,这就得到/(x)=[x]+[-

x]=-I,

因为/”=-*,所以S=/"gl)V<fe2)<fe2024),

在Igl,lg2t•••,/g2024中恰有/gl,IglO,/glOO,/glOOO是整数,所以有2020个不是整数，

故/(如)+/(仅2)+..：/(收2024)=-1X2020=-2020.

故选：c.

【点评】本题考查了函数取整的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.

6.2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为lOOOPesFLOPS

（千亿亿次浮点运算/秒）.根据技术规划，/九队的算力每年增长50%.截止至2025年，其算力已

提升至225（）PetaFLOPS并计划继续保持这一增长率.问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破

7500PeiaFLOPS?（）

（参考数据:<2=0.301,收320.477,欣5=0.699）

A.2026年B.2027年C.2028年D.2029年

【考点】对数运算求值.

【专题】转化思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】利用归纳可知，从2025年起，到第〃（吒N*）年,DeepSeek的算力提升至2250X\.5nPetaFLOPS,

解不等式2250x（5n>7500,即可得出结论.

【解答】解：根据技术规划，OeepSe或的算力每年增长50%,

截止至2025年，其算力已提升至2250。々"1。户S,并计划继续保持这一增长率，

由题意可知，截止至2025年，QeepSe或的算力已提升至2250尸々。儿。尸S,

到2026年，其算力提升至225OX\.5PetaFLOPS,

到2027年，其算力提升至2250X1.52/VS/2OPS,…，

以此类推可知,

从2025年起，到第〃（〃EN*）年，DeepSe或的算力提升至2250X1.5"PeS尸LOPS,

由2250x（5">7500,可得《尸>学,

.10切竽Ig31-0.477

«2.972,

0.477-0.301

：.DeepSeek的算力预计在202B年首次突破IS^PetaFLOPS.

故选：C.

【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

二,多选题（共3小题）

（多选）7.已知小b,c都是实数，下列命题是真命题的是（）

A.若a>0,b=2,则J+庐=4

1

B.若。=弓，b=27,则Iog3a+log30=2

C.若则人

D.若a>〃>0,cVO,则£>£

ab

【考点】对数运算求值；等式与不等式的性质.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】BD

【分析】利用指数第的定义计算求解判断选项A，根据对数的运算法则计算判断选项B,根据指数函数

性质结合特殊值验证判断选项C,利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项D.

【解答】解：对A,若。>0,6=2时，则/+必=1+4=5>4,故A错误；

对8,若a=|,b=27时，Iog3a+log3b=1。。31+1。9327=-1+3=2,故8正确；

对C,若（扔>（加，当a=〃=l时，但〃=力，命题不成立，故C错误；

11cC

对。，当a>Z?>0时，-V工，又cVO,所以一〉一，故。正确.

abab

故选：BD.

【点评】本题考查对数的运算及性质，不等式的性质，属于基础题.

（多选）8.若〃〈力V0,则（）

A.a2Vb2B.->-C.In（b-a）>0D./<后

ab

【考点】对数运算求值；等式与不等式的性质.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解.

【答案】BD

【分析】对于48可用作差比较法比较大小即可判断，对于C,根据对数函数性质，易知当0〈人-

时，bi（b-a）V0从而排除C项；对于。，可用不等式的性质直接推得.

【解答】解：对于A,由a<Z?V0,则a-Z?VO,a+b<0,

由/■庐=（〃-力）（a+b）>0,

可得J>庐，

故4错误；

对于B,由aV〃<0,

则h-a>0,ab>0,

11

将。-a>0两边同时除以A8可得：一〉二，

故8正确；

对于C,因。V2V0,当OVb・aVl时，InCb-a)<0,

故C错误；

对于D,由a<b<0,可得-心-b>0,利用不等式的性质可得(-«)3>(-8)3,

即・43>・说故《3y少3,

故D正确.

故选：BD.

【点评】本题考查了不等式的性质，重点考查了对数函数的性质，属基础题.

(多选)9.已知a=log2l0,b=log3^,贝U()

A.ab<()B.4a・9"=l

11b—a

C丁/1D.logs6=^

【考点】对数运算求值.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】ABD

【分析】对数函数的单调性判断小人符号可判断A.利用点数的运算计算可判断4,根据换底公式及

对数的运算可判断CD.

【解答】解：对于4,a=log210>log2l=0,b=log3^<log3l=0,所以R?V0,故A正确；

对于8,因为。=log210,b=log?心,

所以4。・9b=小31。.9’孙名=⑵。出】。.3。温)2=a。x需产=1,故B正确；

对于C,因为4=log210,b=log3JQ,

11

所以一一：=句2-(Tg3)=lg6VlglO=1,故C错误；

ab

对于。，因为a=log2l0,b=log3^

所以［［=乙!=~~~=的=log6,故D正确.

ab-b1——］一，。2lg55

a

故选：ABD.

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.

三,填空题(共4小题)

10.已知等比数列{4〃},41=2,04=8,则log2a2+1033=4.

【考点】对数运算求值；等比数列的性质.

【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解.

【答案】4.

【分析】结合等比数列的性质，以及对数的运算法则，即可求解.

【解答】解：•・•{〃”}为等比数列；

.••4144=4243；

，log2a2+10g2a3=log2«l«4=log216=4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题.

11.若Iog2[log4(x+l)]=1,则X=15

【考点】对数运算求值.

【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】15.

【分析】利用对数的运算性质计算即可.

【解答】解：由题意得，log4(x+1)=2,所以X+1=42,解得X=15.

故答案为：15.

【点评】本题考杳了对数的定义与运算，是基础题.

2k

12.已知log23=k,则1OR29==7.(用攵表不)

-ZTR-

【考点】对数运算求值.

【专题】转化思想：定义法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】三.

乙IK

【分析】利用换底公式即可求解.

【解答】解：因为10仄3=耨=鼠所以/g3=&/g2,

mi、iInlg921g32klg22k

所以】ogi29=研=炉竹=21g2车klg2=2+fc-

故答案为：~~

2+k

【点评】本题考杳了对数的定义与运算，是基础题.

13.已知，g2=a,10"=3,则1。的2=—^7（结果用〃、力表示）.

"TTFD-

【考点】对数运算求值.

【专题】转化思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解,

【答案】U

【分析】利用指数与对数的互化求出江再利用换底公式及对数运算法则计算作答.

【解答】解：由已知可得6=依3,又lg2=a,

则由对数的换底公式可得：嗅62=磊=僚族-正方a

a

故答案为:

a+b

【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题.

四.解答题（共2小题）

14.计算：

（I）（Zg5）2+lg2x—50+7io^2+（-9.8）°；

1c+-

（2）已知调一示二3,求303的值・

a2-a2

【考点】对数运算求值；有理数指数塞及根式化简运算求值.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】（1）4；

⑵—.

36

【分析】（1）通过对数运算性质化简各项后求和；

（2）利用完全平方公式和立方差公式，结合已知条件逐步推导求解.

【解答】解：（1）（IgSy+IgZxLg50+7l°^2+（-9.8）°

=（伙5）2+lg2X（/g5+/gl0）+2+1

=（/g5）2+/g2/g5+/g2+3

=3（3+/g2）+/g2+3

=/g5Xl+/g2+3

=/g(5X2)+3

=1+3

=4.

（2）由迎一击=3,两边平方得。-2+：=9,BPa+i=ll.

33-I1

乂—Q2=(VQ—?=)((z+1+-)=3x(11+1)=36.

a+-11

=

El密

【点评】本题主要考查对数运算、根式和指数运算，属于基础题.

a3x+a-3x

15.(1)设a2r=5,且“>(),求，的值;

ax+a-x

(2)若/g2=m10)=3,用。和方表示logi225.

【考点】对数运算求值；有理数指数哥及根式化简运算求值.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

21

【答案】（1）

5

2-2a

(2)----

2a+b

【分析】（1）由已知结合立方和公式求解:

（2）化指数式为对数式可得从再由对数的运算性质求解.

【解答】解：（1）-a2x=5,且。＞0,

.a3x+a-3x(ax+a-x)(a2x-l+a-2x)121

..--------=----------------------=5-1+—=—

谈+Lax+a-x55

(2)V10/;=3,.：b=Ig3,又g2=〃,

..xlg2521g52(1一丸2)_2-2a

••log,225=W=2W^3=2lg2+lg3~2a+h'

【点评】本题考查有理指数辕与对数的运算性质，是基础题.

考点卡片

1.等式与不等式的性质

【知识点的认识】

1.不等式的基本性质

(I)对于任意两个实数小b,有且只有以下三种情况之一成立：

①4~/?>0；

②a〈boa-/?<0；

®a=b<=>a-b=0.

<2)不等式的基本性质

①对称性：4bob<a；

②传递性:a>b,b>c=a>c；

③可加性：a>b=>a+c>b+c.

④司向可加性：a>b,c>d=a+c>b+d；

⑤可积性：a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；

⑥司向整数可乘性：。>力>0,c>d>0=4c>Z?d；

⑦平方法则:a>b>O=>an>lf(nEN,且QI)；

⑧开方法则：a>b>O=>tVa>Vb(«GN,且〃>1).

2.基本不等式及其应用

【知识点的认识】

基本不等式主要应用r求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或

等于它们的算术平均数.公式为：号之风(。20,力20),变形为(等)2或者。+心2病.常

常用于求最值和值域.

实例解析

例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是.

A：a,b均为负数,则改+—>2.B：XrZ^->2.C：sinx+-^->4.D：aGR+,(3-a)(l<0.

b2aVx2+1a7

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知4、8、。均满足条件.

对于C选项中sinvW土2,

不满足“相等”的条件，

再者sinx可以取到负值.

故选：c.

A卷项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；8分子其实可以写成

『+1+1,然后除以分母就可换成基本不等式.这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求y=/立的最值？当OVxVl时，如何求、=五当的最大值.

解：当人=0时，>=0>

当,时—=品=亲’

用基本不等式

若%>0时，0V)S?，

若xVO时，一乎WyVO,

综上得，可以得出一辛0£?，

•・4=高的最值是一¥与亨・

这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0,没有明确表示的话就需要讨

论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素(函数)相加，而他们的特点是相乘后为常数；

最后套用基本不等式定理直接求的结果.

【辩题方法点拨】

基本不等式的应用

1、求最值

例1：求下列函数的值域.

⑴)=3x2+*(2)y=x+1

解:⑴y=3x?+看22y3x2•亲=戊值域为[加，内)

⑵当x>0时，v=x+；>2\/x-J=2;

AyA

当x<0时，y=x+：=-(-)工-2yxl=-2

J值域为(-oo,-21U[2,2)

2、利用基本不等式证明不等式

例2：已知a、b、ceR~,且a+b+c=l。求证：；--1^^-1jj--1J>8

分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又

二1=史上2巫,可由此变形入手。

aaaa

•一u-.11.1,\~ab-¥c2-jbc闩,困1,l^Jac1«、24sl

:.a、b、ccRfa+bL+c=lo.———1=-----=------2--------«同土里一一12-------->——12--------。

aaaabbcc

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

_1卜手■半.2^.8。当且仅当a=b=c=；时取等号。

3、基本不等式与恒成立问题

10

例3：已知x>0,y>0且一+-=1,求使不等式x+yN机恒成立的实数根的取值范围。

*y

MA19,x+v9x+9v1IOv9x,

解：令x+y=£;x>OA：y>OA：-+-=l,:.——-+-----=l.—4--=l

xykxkykkxky

in3

:A-—>2-o>we(-a)16]

kks

4、均值定理在比较大小中的应用

例4：若a>6>LP=Jlga/gb，2=g(lga+lgb),&=lg(等),则尸，。小的大小关系是

分析：a>b>1/.lga>0,1g6>0

Q=~(1ga।1g6)>Jiga」gb=p

R=lg("；0)>lg4ab-gigab=Q:.R>Q>Po

【命题方向】

技巧一：凑项

例1：已知x<H求函数v=4x-2+―!—的最大值。

4"4x-5

解：因44-5<0,所以首先要•调智符号，又(以-2)・二一不是常初，所以对44-2要进行拆、凑项,

4x-5

vx<7，.\5-4x>0>/.v=4x-2+—--=-(5-4x+—--)+3工-2+3=1

4J4x-5I5-4x)

当且仅当5-4x=」一,即x=l时，上式等号成立，故当x=l时，vaas=1。

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其枳为定值.

技巧二：凑系数

例2：当0VxV4时，求y=x(8・2t)的最大值.

解析：由0VxV4知，8-2x>0,利用基本不等式求最值，必找和为定值或积为定值，此题为两个式子积

的形式，但其和不是定值.注意到2叶(8-2K)=8为定值，故只需将y=x(8-22凑上一个系数即可.

1、12x+8-2x)

y=x(8-2x)=夕2x・(8-2.r)J<*(——-——)2=8

当2r=8-2x,即x=2时取等号，当x=2时，y=x(8-x2)的最大值为8.

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.

技巧三：分离

例3：求■=:普：1°(%>一1)的值域.

解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有G-+1)的项，再将其分离.

X2+7X+10_(X+1)2+5(X+1)+4_4

尸m--市-+申+5,

当人>-1,即人+1>0时，,三2，。十1)X击十5=9(当且仅当人=1时取“=”号)

技巧四：换元

对于上面例3,可先换元，令，="1,化简原式在分离求最值.

技巧五：结合函数/(x)=x+E的单调性.

例4:求函数)=\=的值域。

&+4

解：令一储+4=?“22),则、一尸=、标二'_^——

百十4yfx，+41

因=但”;解得"±1不在区间［2+8),故等号不成立，考虑单调性。

因为y=在区间［L+8)单调递增，所以在其子区间［2+8)为单调递熠函数，故y之：c

所以，所求函数的值域为

技巧六：整体代换

19

例5：已知x>0,y>0,且±+'=1,求x+y的最小值。

xy

错好：x>0,y>0,且工+2=1,x+j,=j1.+2：（x+7）之=12故（x+J'ZtjUl?o

错因：解法中两次连用基本不等式，在x+N22历等号成立条件是x=y,在］，+222区等号成立条

xyN盯

19

件是4=3即「=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等

%y

号成立条件是解题的必要步骤，而且是检蛉转换是否有误的一种方法。

1G，［9、I，9x

正鳏：,.,x>0,v>0-+—=B.•.x+j=（x+>,）-+—=—+——+10>6+10=16

“5xyyjx<y

niQY19

当且仅当士=*,时，上式等号成立，又一+—=1,可得x=4j=12时，（x+）K=16。

xyXyaa

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.

技巧七：取平方

例6：求函数丁=在二1+后石d<x<|）的最大值。

解析：注意到2X一1与5-2x的和为定值。

y2=（J21+j5-2x）?=4+25/（2%-1）（5-2x）<4+（2x-l）+（5-2x）=8

Xy>0,所以O<y«20

当且仅当2X—1=5-2X,即x=j时取等号。故以注=2点。

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件.

总之，我们利用基本不等式求最道时，一定要注意“一正二定三相等"，同时还要注意一些变形技巧，积

极创造条件利用基本不等式.

3.函数的单调性

【知识点的认识】

一般地，设函数/（x）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量用，也，

当川<X2时，都有了（XI）</（X2）,那么就说函数/（外在区间。上是增函数；当X1V.V2时，都有了（用）

>f（X2），那么就说函数/（X）在区间。上是减函数.

若函数/（X）在区间。上是增函数或减函数，则称函数/（工）在这一区间具有（严格的）单调性，区间。

叫做），=/（、）的单调区间.【解题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵

循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法.

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”

联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结.

设任意xi,X2日a,且xiW.v2,那么

①人孙）一/（%2）

>0«/（x）在他，句上是增函数;

Xl-X2

/(4)一/。2)

<0<=><（X）在m，用上是减函数.

X1-X2

②（XI-X2）［/■（XI）-f（X2）］>0«/（X）在［。，句上是增函数;

(XI-X2)[f(xi)-f(X2)]<0<=>/(x)在[a,b]上是减函数.

函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间.

【命题方向】

函数的单调性及单调区间.是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调

性定义证明考查大题的可能性比较小.从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最

值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单

调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、

等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调

性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

4.有理数指数寡及根式化简运算求值

【知识点的认识】

根式与分数指数辕

规定：an=（a>0,〃WN*,〃>1）

11*

an==7j^=（a>0，〃?，«EN,n>1）

0的正分数指数事等于0,0的负分数指数累没有意义

有理数指数暴

（1）幕的有关概念：

①正分数指数鼎：an=（«>0»〃WN*,且〃>1）；

mi1

②负分数指数暴：Q一万=F=而前（a>0,〃?，nGN,且〃>l）；

③0的正分数指数辕等于0,0的负分数指数显无意义.

<2）有理数指数案的性质：

①“=。心（a>0,r,sEQ）；

②(/)s=ars(a>0,r,sWQ)；

③(ab)r=arbr(«>0,b>0,/€Q).

【解题方法点拨】

miiA

-利用。一元=-m=n^=(«>0,in,nEN,且n>1)进行互化.

•利用指数运算法则,如。力3=叱入(〃”)进行化笥.

-利用根式运算法则，如=筹=进行化简.

-检证化简和运算结果的正确性.

【命题方向】

题目通常涉及有理数指数第及根式;的化简和求值，结合具体问题进行运算和应用.

计算：(2^)°-5-0.752+6-2