2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷02【江苏专用测试范围：苏教版选择性必修第一册第1~4章】试卷及解析

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷02

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏教2019版选拦性必修第一册第1章~第4章。直线与圆占40%,圆锥曲线与方程占35%,

数列占25%。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.直线）,=半工+2的倾斜角为（）

A.工B.工C.生D.生

6336

2.已知直线《优+2），-2=0与直线&:5x+（〃?+3）y-5=0,若/他，则机=（）

A.-5B.2C.2或-5D.5

3.在数列｛%｝中，6=1,点04+J在直线），=x+2上，则（）

A.11B.7C.9D.5

4.过点从（5,-1）,C（2,3）的圆的标准方程为（）

A-（收）+G+1）2吟B.卜+斗+（y-2）z吟

C"j+（y-l）2弓D,卜_|1+（>+2）21

5.已知椭圆C：二+工=1的两个焦点分别为K，居，点P在C上，贝卜/匕人的周长为（）

94

A.6+25/5B.4+2石C.6+2>/13D.4+2至

6.若圆(x-2)2+V=/(厂>0)上到直线人」石)，+4=0距离为1的点有且仅有2个，则「的取值范围为()

A.(1,3)B.(2,4)C.(3,5)D.(4,6)

7.已知等轴双曲线的实轴长为2a(a>0),左、右焦点分别为F”过点£的直线/与双曲线的两条渐近

线从左到右依次交于A,8两点，且|耳4|=|阴,则|明=()

A.—ciB.aC.aD.-J2.a

22

8.如图，在平面直角坐标系宜川上，有一系列点6(X，y),6(七,为)，、，田七，片)，每一个点巴(〃eN)

均位于函数)，=丁(.C0)的图象上以点外为圆心的CK都与x轴相切，且P”与匕讨外切.若』二L且

A；+1<x„(neN*),1,=七小+1,｛ZJ的前〃项之和为工，则SI°=()

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知圆C:(x-a>+(y-的半径为2,则下列说法正确的是()

A.67=1B.点(1,4)在圆C的外部

C.圆心C的坐标为(“)D.当直线〃次+)」2=0平分圆C的周长时，相=—1

10.设数列｛q｝是以d为公差的等差数列，s“是其前〃项和，q>0,且S6=Sg,则下列结论正确的是()

A.d<()B.4=。

C.使，>0成立的〃的最大值为14D.邑为S.的唯一最大值

11.已知抛物线Cy2=2px(〃>0)的焦点为/(1,0),过点(2,0)的动直线与。交于M,N两点，则下列说法

正确的是()

A.p=lB.若|MN|=8X/L则|MF|+|NF|=14

c.月一1)为定值D.//A/为钝角三角形

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线y=x+2与圆/+),2=4相交于M、N两点，则|MN|=.

13.已知P(〃7,〃)在直线3x+4y+l5=0上，则府寿的最小值为.

14.已知数列｛an｝满足4=2,%=6,且限-2an+l+/=2,若［x］表示不超过x的最大整数(例如［1.6］=1,

［—1.6］=—2),记〃,=［也卢］,则数列也｝的前2026项和为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

设〃？GR,直线4：2x+y一切=0,直线4：2x+),-5=0.

(1)若直线1与4的距离为拽，求机的值.

5

(2)若直线乙与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4,求〃1的值.

16.(15分)

已知圆C：(x-iy+(y-2)2=25及直线/：(2//?+1)+(/??+1)y=7/w+4(znGR).

⑴求过点(4,6)的圆的切线方程；

(2)找出不论机取什么实数时直线/恒经过的点，并证明：直线/与圆C恒相交；

(3)求直线/被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程.

17.(15分)

实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现.处

理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式.去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以

填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增1。％,同时，通过环

保方式处理的垃圾量每年增加10万吨.已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元4屯，用环保的方式

处理生活垃圾的成本为500元/吨.

(1)为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数〃的表达

式;

(2)求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和.(参考数据：1.1^1.77)

18.（17分）

丫2

已知椭圆C：F■十)3点A(a,l),〃(a,l),O为坐标原点，且O/VO石=一3.

⑴求椭圆C方程;

(2)设M,N是椭圆。上的两个动点，且满足七

(i)求”前「的面积:

PT、

(ii)已知点尸且直线PM与ON交于点S,宜线PN与交于点丁，试探究款+是

AT,

否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由.

19.（17分）

如图，抛物线。：丁=2〃)，(〃>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为3,点打型)，A(知月)是。上的

(2)过线段24的中点作x地的垂线交C于点A,过线段叫的中点作x轴的垂线交C于点&,过

线段的中点//作X轴的垂线交C于点A，L,依此操作〃次，记-HVA的面积为S.

①求△必人的面积;

〃16

②证明：^5,<—.

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷02

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏教版2019选拦性必修第一册第1章~第4章。直线与圆占40%,圆锥曲线与方程占35%,

数列占25%。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.直线）,=半工+2的倾斜角为（）

A.工B.工C.生D.9

6336

【答案】A

【解析】直线y=@x+2的斜率为由，设倾斜角为。，则也=31!"。«0,冗），

333

所以e

6

故选:A.

2.已知直线4：〃优+2〉，-2=0与直线（：5x+（〃z+3）y-5=0,若/他，则m=（）

A.-5B.2C.2或-5D.5

【答案】A

【解析】由"4,则有〃八（m+3）-2乂5=0,

化简得（，〃-2）（〃?+5）=0,故）〃=2或加=一5；

当〃?=2时，/,：x+y-l=0./2:.r+y-l=0,此时乙与乙重合，不符；

当〃?=—5时，/1：5x-2y+2=0,f2:5x-2>>-5=0,符合要求；

综上所述：in=-5.

故选：A.

3.在数列｛q｝中，4=1,点尸（耳。,用）在直线），=x+2上，则如二（）

A.11B.7C.9D.5

【答案】D

【解析】因为点尸（见，4向）在直线V=x+2上，所以。川=/+2,即。用一q=2,

所以数列｛凡｝是公差为2的等差数列，又q=1,所以。3=1+（3-1）x2=5,

故选:D.

4.过点A（5,—l）,8（1,1）,C（2,3）的圆的标准方程为（）

C.1。+（）一）2）D.L_3Y+（y+2/=3Z

【答案】C

【解析】由如图，已知砥s=-g,3c=2,所以

故该圆的圆心是AC'的中点M［不,1J；

半径为如C|=»（2-5f+（3+lf=|,

所以圆的标准方程为卜-gJ+（）,_1）2二弓，

故选：C

%

4-

.C

o12x

22

5.已知椭圆C：4上1的两个焦点分别为％,3点。在C上，则./£尸2的周长为（）

A.6+25/5B.4+2石C.6+2x/13D.4+2Vl3

【答案】A

22

【解析】由椭圆C:]+?=l，可得〃=3，b=2,所以C=丁=5

如图所示，则/耳用的周长为|P£|+|P周+|4国=勿+2。=6+2万.

故选:A.

6.若圆（工-2『+9=/（「〉（））上到直线x_6y+4=（）距离为1的点有且仅有2个，则广的取值范围为（）

A.（1,3）B.（2,4）C.（3,5）D.（4,6）

【答案】B

【解析】由圆（工-2『+），2=/任>o）,圆心为（2,0）,半径为，

则圆心（2,0）到直线A--V3.V+4=0的距离为d==3,

因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，所以卜-3|<1,解得2<rv4,

即『的取值范围是（2,4）.

故选：B.

7.已知等轴双曲线的实轴长为2a（〃>0）,左、右焦点分别为F”过点大的直线/与双曲线的两条渐近

线从左到右依次交于A,B两点,且忻左=|明,则|图=（）

A.aB.—ciC♦。D.yf^,u

22

【答案】c

【解析】因为等轴双曲线的实轴长为2a（a>o）,

则双曲线的半焦距仁=V77F=序工1=仇，

所以双曲线方程为1-W=I（a>0）,则渐近线方程为），=士工,

则所以Z/1Q8=],

由低/=|钻|,即A为此的中点，又。为二玛的中点,

所以OA〃B//则/860=/40彳=；,ZOBF2=ZAOB=^,

所以AOB8为等腰直角三角形，所以忸叫=|。周sin：=*c=a.

8.如图，在平面直角坐标系工仍，上，有一系列点《（x，y）,鸟（&，%），L,《（马,”），每一个点修（”N

均位于函数），=f（x20）的图象上.以点匕为圆心的2都与大轴相切，且，，与〔匕x外切.若看=1，且

-vx”（〃eN）。=须占+|,{Z,}的前"项之和为S“，则£o=（）

【答案】D

【解析】•.归-J+（"川_）"=J（%f）2+（片「可

两圆半径之和为＞；+=片+4，

•.・X+Vi=j（%「xj+（W+「R『=（人+「天）瓜瓦荔7'

(11V

整理可得：-----=4,

又，=1,.•.数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

.」=1+2(〃-1)=2〃-1,/.X=_!—,

42〃一1

,T=.11______;_、

"，R--(2/?-1)(2Z7+1)-2(2/7-1-27/+1J*

u1T1111112010

102(3351921J22121

故选:D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知圆C:(x-/+()，-的半径为2,则下列说法正确的是()

A.4=1B.点(1,4)在圆C的外部

C.圆心C的坐标为(LI)D.当直线〃次+y-2=0平分圆。的周长时，〃[=一1

【答案】ABC

【解析】选项A：因为圆。:(工-4+()，-1『=4〃的半径为2,

所以户=4〃=4,解得a=l,则圆C：(x—iy+(y—1)2=4,故A正确；

选项B：将(1,4)代入圆C方程可得(1-1丫+(4-1『=9>4,

所以点(1,4)在圆。的外部，故B正确；

选项C：圆心坐标为(1,1),故C正确：

选项D：因为直线〃氏+丁-2=。平分圆C的周长，

所以直线尔+'-2=。过圆心(15，则m-1=0,解得,〃=1,故D错误.

故选：ABC

10.设数列｛4｝是以d为公差的等差数列，S”是其前〃项和，4>0,且$6=$9,则下列结论正确的是()

A.d<0B.4=0

C.使S.>0成立的〃的最大值为14D.邑为S,,的唯一最大值

【答案】ABC

【解析】根据题意可得6q+二尸4=9q+二广1,即4+7d=%=0.

乙乙

因为4>0,4=(),所以“<0,所以数列也｝是递减数列，所以A,B正确；

对于C,因为d<0,%=0,2a8=4+q5=°，•.・S|5=°，a7>°，47+a8=6+q4>0・'•S|4>。，故C正确；

对于D,因为4=0,所以*=*,又｛4｝为递减数列，

所以S,或，为S.的最大值,故D不正确.

故选：ABC

11.已知抛物线cV=2冲(〃>0)的焦点为*1,0),过点(2,0)的动直线与。交于M,N两点,则下列说法

正确的是()

A.〃=lB.若|MN|=8G,则|ME|+|N/]=14

C.(|91-。(|W周-1)为定值D.MNF为钝角三角形

【答案】BCD

【解析】对于A,因为抛物线)，2=2px(p>0)的焦点为F(l,0),

所以5二1，所以P=2,A错误；

对于B,因为〃=2,所以抛物线。的方程为)，2=4%，

若直线的斜率为0,直线的方程为产。，

直线丁=。与抛物线只有一个交点，交点坐标为((),())，与已知矛盾，

故可设过点(2,0)的动直线MN的方程为x=ty+2,

代入V=4x得，y2-4/>?-8=0,

方程V-4)一8=0的判别式△=(-4/f+32=16r+32>0,

设例%(.,%)，则y+%=41，)1%=-8,

2

则MM=•Iy-y2\=•716r+32=4VI+7•Jr+2,

由得，4d'.7^=86,解得『=2,

所以|MF\+1=内+1+9+1=。[+2+O5+2+2=/(y+J])+6=4/+6=14,B正确；

22

对干C.(|MF|-1)(|/VF|-1)=x,x2=(ry,+2)(rv,+2)=tyxy2+2/(,v(+y2)+4=-8/+2/x4/+4=4.

所以（|M周一。（|所|-1）为定值，C正确;

对于D,因为7W,FN=(%-1,凹)•(占-1,%)=(%T)(w-1)+y泗=(第+1)(%+1)+y%，

2

所以EW/N=ry1y2+t(y\+y2)+\+y\y2=-4r-7<0,

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线y=x+2与圆/+炉=4相交于M、N两点，则|MN|=.

【答案】2夜

2

【解析】圆/+产=4的圆心为（0,0）,半径r=2,则圆心到直线），=4+2的距离”=“十(T)

所以|MN|=2j产-屋=2&.

故答案为：20

13.已知夕（利〃）在直线3%+今+15=0上，则府W的最小值为.

【答案】3

【解析】因为表示点月到原点（0，0）的距离，而点〜在直线3工+4），+15=0上,

力|3x0+4x0+15|

所以而不7的最小值即为原点（°，°）到直线31+4），+15=°的距离,

出2十4三

所以，m2+M的最小值为3.

故答案为：3.

14.已知数列｛a„｝满足q=2,4=6,且«,t+2-2/川+/=2,若[：(]表示不超过x的最大整数(例如[1.6]=1,

[-1.6]=-2),记a=空上,则数列出｝的前2026项和为.

【答案】2027

【解析】因为。“+2-2a川+巴=2,所以(q+2一q+J一(％一%)=2.

因为q=2,4=6,所以%-4=4,所以数列｛4“-1,,｝是首项为4,公差为2的等差数列，故

a

见+~n=4+2(w-l)=2w+2,

由累加法可知当〃之2H寸，(/-%)+(4_「%)+...+3-q)="竽网=(〃+2)(〃-1),

所以4=(〃+2乂〃-1)+4=”(〃+1)(〃22),乂4=2也符合该式，所以4=/?(//+1)(/7eN+),

所以"£=噌工=丝1=1+_1,

ann(n+\)nn

当〃=1时，b]=1+；=2,

当〃22时，1<1+1<1,此时勿=1+-=1,

n2n

所以出｝的前2026项和为…+&026=2+1+：；沪=2+1x2025=2027

故答案为：2027.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

设〃1GR,直线4：2x+y-m=0,直线4：2x+y-5=0.

(1)若直线4与4的距离为拽，求机的值.

5

(2)若直线乙与两坐标轴的正半轴所围成的一:角形的面积为4,求，"的值.

【解析】(1)当加工5时，直线4：2工+)，一机=。与直线/2：21+)，-5=()平行，

则辱"=芈，解得m=3或〃=7,

V22+l25

所以〃?=3或，〃=7.(6分)

(2)依题意，加>(),直线4交X轴于(1,0),交y轴于(0,〃。，

则L'•m=4.所以m=4.113分)

22

16.（15分）

已知圆C：（x-l）2+（y—2『=25及直线/：（2"?+l）x+（"7+l）y=7〃7+4（〃zwR）.

⑴求过点(4,6)的圆的切线方程；

⑵找出不论加取什么实数时直线/恒经过的点，并证明：直线/与圆。恒相交;

(3)求直线/被圆。截得的最短弦的长及此时的直线方程.

【解析】(I)由题意可得圆心(1，2),

由点(4,6)在圆上，所以设切线斜率为人，

....6—2113

则kx----=-1=>女=——，

4-14

3

所以直线方程为)，一6二—；“一4),即3x+4y-36=0.(4分)

(2)(2〃z+l)x+(〃z+l)y=7加+4("?wR)变形为(2x+y-7)〃+x+y-4=0,

(2x+y-7=0

令(二八，解得了=34=1,(6分)

所以直线/恒经过点(3,1),

因为(3-1)2+(1-2『＜25,所以点(3,1)在圆内部，

所以直线/与圆C恒相交.(9分)

(3)当直线/被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点(3,1)所在的直线垂直，

设弦的斜率为4,贝114g=-1=&=2,

弦方程为y-l=2(x-3),即2x—)，-5=0,

所以圆心到直线的距离为d=1全5|=75,

所以弦长为2图二5=46.35分)

17.(15分)

实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现.处

理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式.去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以

填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%,同时，通过环

保方式处理的垃圾量每年增加10万吨.已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元"屯，用环保的方式

处理生活垃圾的成本为500元/吨.

（1）为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数〃的表达

式；

（2）求从今年起，该地6年内处埋生活垃圾的预算总和.（参考数据：

【解析】（I）由题可得从今年起每年生活垃圾的总量（单位:万吨）构成公比为1.1的等比数列｛〃“｝,

今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量（单位:万吨）构成公差为10的等差数列｛2｝,

今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量（单位:万吨）构成数列｛5｝,满足％=.“一仇.

则=100（1+0.1）"=10011”,bn=20+10〃，％=an-bt=100•1.1"-20-10〃.（7分）

（2）设6年内处理生活垃圾的预算之和为W,数列｛a｝的前〃项和为S”，

数列在〃｝的前〃项和为

则§=30+80x6=330,

62

110(1-1.I6)/£、

7；=—1]])-Ss=11OO(L16-1)-33O»517

所以W«330X500x104+517x100x104=2.167x109（元）（15分）

18.（17分）

2

已知椭圆。：0+），2=1（〃>0）,点人（&1）,。为坐标原点，且。AO8=-3.

（1）求椭圆C方程：

（2）设M,N是椭圆C上的两个动点，且满足•儿

（i）求工颇「的面积；

（ii）已知点尸且直线PM与ON交于点S,直线PN与OM交于点T,试探究

否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由.

【解析】（1）由题。4。分=1一々2=一3,

2

解得。=2,故椭圆C方程：—+y2=1；（4分）

当MN的斜率/不存在时,设MN：x=/,M（f,），M）,N（“A）yN=-加，

与椭圆方程联立得《+4=1,二+其=1，

44

2L।

k4—%%.—%一4_一」，

82/一/一4

所以/=±应,加=±争则5即=9小2］）%昌&x2x*=I,（6分）

当用N的斜率攵存在时，设MMy=《+〃?，

与椭圆方程联立得（4公+1卜2+8初1+4"/一4=0,产16（4公一〉+1）,

△之（）时，方程两根即为X”，加，

8km一._-4

由韦达定理,必申'”"j―4公+1

加%=(您/+⑼化J+M=>-4/=_\_得加2=4&2+|

XMX「XMXN4m--44,""-2

\MN\=Jl+公闻T,v|=Jl+/xJ(%+xj-4Xw4=2闻卷+1

点。到MN的距离d=

因此5°WN=；/|MM=1，

综上，S°MY=1；（I。分）

(ii)由题直线PM：>+1=西山,。N：y=^-x

XMXN

x4一

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由5八2八解得f

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