2025-2026学年北师大版九年级数学上学期期末必刷题之相似三角形的判定

2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之相似

三角形的判定

一.选择题（共8小题）

1.（2025秋•碧江区期中）如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定

△AOE的是（)

ABACABBC

A.—=—B.NB=/DC.ZC=ZAEDD.—=—

ADAEADDE

2.（2025秋•兴庆区校级期中）每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△4BC

相似的是（

B

A.B.

3.（2025•河北）如图,在五边形A8CQE中，AE//BC,延长BC,分别交直线。七于点M,N.若添

加下列一个条件后,仍无法判定则这个条件是（）

B.CD//AB

C.Z1=Z4D.Z2=Z3

4.（2025•攀枝花）如图，在四边形中，NA4C=/AOC=9（T,对角线AC与相交于点O,M、

N分别为AC、8。的中点，ZACD=15°,AC=8,OD=OM.以下结论错误的是（）

A.MN上BDB.MN=2C.AB=4V3D.△小Os△co。

5.（2025•芜湖一模）如图，已知N1=N2,那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC-ZXAOE的

ADDC

A.----=—B.NB=NDr—=—D.ZC=ZAED

ADAE一AD~DE

6.（2024秋•牧野区期末）如图,不能判定△AO6和△OOC相似的条件是（）

B.NB=/C

ABDC

C.NA=NOD.—=—

OAOD

7.（2025春•芝景区期末）如图,在△ABC与△AOE中，NB=ND,添加下列一个条件不能使△A8cs△

人OE的是（）

ABADABAE

A.ZBAD=ZCAEC.ZC=ZED.—=—

BC~DEADAC

8.（2025秋•瑶海区校级期中）如图，DE//AB,Z1=Z3,则图中相似三角形共有（）

A.3对B.4对C.5对D.6对

二,填空题（共4小题）

9.（2024秋•郸州区期末）如图，4c中，N/MC=90°,AB=8,AC=6,过点C作4c的垂线CO,

点P在线段BC上运动，点Q在射线。。上运动，始终满足/84~=NC4Q,连结PQ,当△。。。与4

A8C相似时，线段的长是.

10.（2024秋•惠民县期末）如图，在△48C中，44=10cw,BC=20cm,点尸从点A开始沿边A3向点4

以\cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2c〃?/s的速度移动.若点P、Q分别从点A、

8同时出发，问经过秒钟，△PBQ与△ABC相似.

11.（2024秋•丰顺县期末）如图,RtZ\A8C中，ZC=90°,4C=4,BC=3,点、P、。分别为4B、8c上

的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点8们对应点。恰好落在边AC上，当与△ABC相似时，AP

的长为.

12.（2024秋•秦都区期末）如图，已知点分别是△ABC的边人〃、AC上的点，要使得△人BCS2\AEQ,

可添加的一个条件是.（只写一个）

A

E

DR\

L

B-----------------------XC

三,解答题（共3小题）

13.（2025秋•立山区期中）如图，在四边形/WC。中，AD//BC.AB>CD,点、E,尸分别在AC,BC上,

且NE4C=N£QA,ZACD=AADC,AF2=BF*CE.求证：

14.（2024秋•紫金县期末）如图，点区尸分别在正方形4BCZ）的边BC,CO上，BE=3,EC=6,CF=

15.（2024秋•洪雅县期末）如图，在RtZ\AC8中，NC=90°：AC=16antBC=Scm,动点P从点。出

发，沿C4方向运动；动点Q同时从点4出发，沿BC方向运动，如果点。的运动速度为4切心，。点

的运动速度为2c初/s,那么运动几秒时，△A8C和△PCQ相似？

B

2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之相似

三角形的判定

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案DADCCDDB

一.选择题（共8小题）

1.（2025秋•碧江区期中）如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABCs

△AOE的是（）

ABAC

B./B=/DC.ZC=ZAED

AD~AE

【考•点】相似三角形的判定.

【弓题】图形的相似；推埋能力.

【答案】。

【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断.

【解答】解：NEAC=NDAB,

/.NEAC+NBAE=NDAB+NBAE,

：,ZBAC=ZDAE,

小由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定△ABCs/XAQE,故A不符合题意；

B、C,由有两组角对应相等的两个三角形相似判定△ABCs/SADE,故8、C不符合题意；

。、两三角形的两边对应成比例，但夹角不一定相等，不能判定△ABCS^AOE,故。符合题意.

故选：D.

【点评】本题考杳相似三角形的判定，关键是掌握：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应

边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角时应相等的两个三角形相似.

2.（2025秋•兴庆区校级期中）每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC

相似的是（）

A

BC

【考点】相似三角形的判定.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】A

【分析】根据相似三角形的判定定理，逐项判断，即可求解.

【解答】解：在△48C中，AB=V32+I2=V10,AC=V2,RC=2,

后则亲=¥=焉，与△A8C相似，故本选项符合题意;

A、三边长分别为1,x/2,

B、三边长分别为a，V5,3,则5H工石^，与△A8C不相似，故本选项不符合题意；

C'、二边长分别为1,V5,2y/2,则¥H专工号^，与△A8C不相似，故本选项不符合题意;

。、三边长分别为2,V5,V13,则二工"H4最,与△ABC不相似，故本选项不符合题意;

22V10

故选:A.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握其性质是解题的关键.

3.（2025•河北）如图，在五边形人ACOE中，AE//BC,延长E4,BC,分别交直线QE于点M,N.若添

加下列一个条件后，仍无法判定△MAFS/XQCM则这个条件是（）

A.ZB+Z4=180°B.CD//AB

C.Z1=Z4D.Z2=Z3

【考点】相似三角形的判定.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】先根据平行线的性质得到NAEM=NCNZ),NMAE=NB,当添加/B+N4=180°时，根据等

角的补角相等证明NOCN=NB,所以NOCN=NM4E,则根据相似三角形的判定方法可对A选项进行

判断；当添加CQ〃A8时，根据平行线的性质得到NOCN=N8,所以NQCN=NMAE,则根据相似三

角形的判定方法可对8选项进行判断；当添加N1=N4时，根据等角的补用相等证明NOCN=NAME,

则根据相似三角形的判定方法可对。选项进行判断；当添加/2=/3时，根据等角的补角相等证明/

AEM=NCDN=/CND,于是根据相似三角形的判定方法可对。选项进行判断.

【解答】解：・・・AE〃BC,

：.4AEM=4CND,NM4E=/8,

当添加N8+N4=180°时，

VZZ)C7V+Z4=18O°,

:・/DCN=/B,

:./DCN=/MAE,

「•△MAEs/xocM所以4选项不符合题意；

当添加CQ〃AA时，

・・・NOCN=NB,

：・4DCN=/MAE,

:.丛MAEs丛DCN,所以8选项不符合题意；

当添加N1=N4时，

VZA/AE+Z1=180°,NOCN+N4=180°,

•，NDCN=NAU

:.丛MAESRDCN,所以。选项不符合题意；

当添加N2=N3时，

•・・N4EM+N2=180°,ZCD/V+Z3=180°,

/./AEM=/CDN=ZCND

，不能判断△MAES^QCN,所以。选项符合题意.

败选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.也考查了平行线的性质.

4.（2025•攀枝花）如图，在四边形A8CO中，/ABC=NAOC=90°,对角线AC与8D相交于点。，M、

N分别为AC、4。的中点，NACQ=15°,AC=8,OD=OM.以下结论错误的是（）

A.MN1BDB.MN=2C.AB=4y[3D.^BAD^^COD

【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上

的中线.

【专题】等腰三角形与宜角三角形；圆的有关概念及性质；羽形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】利用直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，含

30°先的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质和相似三角形的判定定理对每个选项的结论

进行逐一判断即可得出结论.

【解答】解：连接M。，M3,如图，

：.BM=^AC,

VZADC=90°,N为BD的中点,

工DM=CM=Y。，

:・DM=BM,

•・・N为8。的中点，

:.MN工BD.

故A选项正确，不符合题意；

,:DM-CM=^AC,

：.ZDMC=ZACD=\5°,

AZAMD=ZDMC+ZACD=3Qa,

，NOOM=NAM/）=30°,

VAC=8,

.・.DM=1AC=4,

•；MN工BD,

・・・NONM=90°,

:・MN=』DM=2,

故B选项正确，不符合题意；

•.*NBDC=NODM+NMDC=45°,

AZADB=ZBDC=45°,

,/MA=MD=MC=MB=1AC=4,

・••点A,B,C,。四点在以点M为圆心，半径为4的圆上，

・・・N3cA=N4D4=45°,

•••△A4C为等腰直角三角形，

；.AB=BC=芋AC=4V2,

・・・C选项错误，符合题意；

VZABD=ZACD,NADB=NBDC=45°,

・・・力选项正确，不符合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰直角三角形的性

质，含30。角的直角三角形的性质，等腰三角形判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，相似三角

形的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键.

5.（2025•芜湖一模）如图，己知NI=N2,那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△回€>>△人。E的

是（）

ABACABBC

A.----=—B.ZB=ZDp----=------D.ZC=ZAED

ADAE"ADDE

【考点】相似三角形的判定.

【专题】图形的相似;推理能力.

【答案】C

【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案.

【解答】解：=

工/\+ZBAE=N2+NB4E,

：・NDAE=/BAC,

，选项B、。根据两角对应相等判定8cs△AQE,

选项4根据两边成比例夹角相等判定8cs△AQ£,

选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，

故选：C.

【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形

相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三

角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似.

6.（2024秋•牧野区期末）如图，不能判定△AOB和△OOC相似的条件是（）

A.OA*OC=OD*OBB.ZB=ZC

ABDC

C.ZA=ZDD.—=—

OAOD

【考点】相似三角形的判定.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】本题中已知/AO8=NOOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断.

【解答】解：A、能判定，利用两边成比例夹角相等；

以能判定，两角对应相等的两个三角形相似；

C、能判定，两角对应相等的两个三角形相似；

Q、不能判定.

故选：D.

【点评】此题考查了相似三角形的判定:①有两个对应角相等的三角形相似;②有两个对应边的比相等，

且其夹角相等，则两个三角形相似：③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.

7.（2025春•芝果区期末）如图，在△A8C与△ADE中，NB=ND,添加下列一个条件不能使△ABCs4

AQE的是（）

ABADABAE

A.ZBAD=ZCAEB.—=—C.ZC=ZED.—=—

BCDEADAC

【考点】相似三角形的判定.

【专题】图形的相似：推理能力.

【答案】D

【分析】分别根据相似三角形的判定方法判断得出答案.

【解答］解：ZBAD=ZCAE,

：.ZBAC=^DAE,

又,：4B=4D,

不合题意；

ABAD

B、—=—,/B=/D,

BCDE

：./\ADE^^ABC,不合题意；

C、VZB=ZD,NE=/C,

••.△AO£S2\A8C,不合题意：

4BAE

。、—==无法得出△ABC与△AQE相似，符合题意.

ADAC

败选：D.

【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运川相似三角形的判定.

8.（2025秋•瑶海区校级期中）如图，DE//AB,Z1=Z3,则组中相似三角形共有（）

A.3对B.4对C.5对D.6对

【考点】相似三角形的判定.

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；推理能力.

【答案】B

【分析】由。得△OECs^ABC,/AED=/BAE,ZCED=Z3,而N1=N3,则NCEO=N

1,可证明ADEC^AEAC,AEAC^AABC,所以图中相似三角形共有4对，于是得

到问题的答案.

【解答】解：*：DE//AB,

:△DECsRABC,ZAED=^BAE,NCED=N3,

VZ1=Z3,

.\ZCED=Z1,

VZ1=Z3,ZAED=ZBAE.

:.XAEDsXBAE,

'：NCED=/1,ZC=ZC,

VZI=Z3,ZC=ZC,

•••△EACsaABC,

・•・图中相似三角形共有4对，

故选:B.

【点评】此题重点考查相似三角形的判定，适当选择相似三角形的判定定理，不重复无遗漏地找出图中

的相似三角形是解题的关键.

二,填空题（共4小题）

9.（2024秋•邺州区期末）如图，△ABC中，ZBAC=90°,AB=8,AC=6,过点。作AC的垂线CO,

点P在线段8c上运动，点。在射线CQ上运动，始终满足/BAP=NC4Q,连结PQ,当△尸。。与4

ABC相似时，线段8尸的长是5或6.4.

【考点】相似三角形的判定；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形：图形的相似；几何直观；推理能力.

【答案】5或6.4.

【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可知N4+NAC4=90°,根据C£>_L5。可知NACD+N4C4=

90°,所以可得NACO=NABC,可证△ABPs^ACQ,设BP=X,则有PC=10・X、QC=1X,当X

PCQ与△A4C相似时，分两种情况：一种是△"CQs^bAC；另一种是△产CQS/XCA从再根据相似

三角形对应边成比例得到关于x的方程，解方程求出x的值即为线段BP的长度.

【解答】解：在△4BC中，NB4C=90°,A8=8,AC=6,

由勾股定理得：BC=>/AB2+AC2=V82+62=10,NB+N4C8=90°,

VCD1BC,

/.ZBCD=90°,

AZACD+ZACB=90a,

I.ZACD=ZABCt

*：ZBAP=ZCAQ,

•••△ABPS&CQ,

.QC_AC_6_3

••f

BPAB84

设BP=x,则有PC=10-x,

.Q£_3

••—，

X4

QC=.%；

•・•过点C作BC的垂线C。，

：,CD1BC,NBCD=90°,

当△PCQ与△ABC相似时，分两种情况讨论：

当△尸CQs/\84C时,

PCQC

•t'=,

ABAC

.10-x也

••™~，

86

解得：x=5；

当△PCQs^CAB时，

.PC_QC

••9

ACAB

3

,10-X尸

••~——~，

68

解得：x=6.4；

综上所述，线段8P的长是5或6.4.

故答案为：5或6.4.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性

质.

10.(2024秋•惠民县期末)如图，在△ABC中，人B=10c"i,BC=20(.w,点户从点人开始沿边A8向点B

以\cmk的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点、C以2cMs的速度移动.若点P、Q分别从点A、

8同时出发，问经过2或5秒钟,△PBQ与aABC相似.

【考点】相似三角形的判定.

【专题】三角形；图形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】2或5.

【分析】分△PBQS/XABC和△QBPs/X"。两种情况解答即可.

【解答】解：设P、。运动时间为，秒，

根据题意，AP=tcm,BQ=2tcm,则8P=(10-r)an,

当△尸8c时，则处=丝，

ABBC

解得：/=5；

BPBQ

当AQB尸时，则一=—,

BCAB

解得：f=2,

综上，当经过2或5秒钟，Z\P8Q与△ABC相似.

故答案为：2或5.

【点评】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键.

11.（2024秋•丰顺县期末）如图,RtAABC中,NC=90：AC=4,BC=3,点、P、Q分别为A破BC±

的动点，将△PQ8沿PQ折叠，使点B们对应点。恰好落在边AC上，当△人P。与相似时，AP

2520

的长为二7或二-

87~~

【考点】相似三角形的判定；翻折变换（折直问题）.

【专题】图形的相似；运算能力.

2520

【答案】g或彳.

【分析】根据直角三角形的性质可得AB=5,当与△ABC相似时，设AP=x,则PB=PD=5-x,

分两种情况：①△APDs^ABC,②△APOS^ACB,分别列方程求解即可.

【解答】解：・・・RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

：.AB=V324-42=5,

当△APO与△A6C相似时，

•・•点。始终在边AC上，

根据折叠PB=PD,

设贝ljP8=PO=5-x,

，分两种情况：

此时NAOP=NAC8=9（r,

PDAP5-XX

--=—,即n----=—

BCAB35

解得》=第

25

：.AP

此时NAP/）=NACB=90°,

.PDAP5-xx

••=—,即---=—,

BCAC34

解得X=写，

•MP=3

2520

综上，AP的长为云或亏~,

2520

故答案为：木或

87

【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的

关键，注意△APO与△AAC相似要分情况讨论.

12.（2024秋•秦都区期末）如图，已知点。、石分别是△ABC的边4A、AC上的点，要使得△ABCSAAE。，

可添加的一个条件是（答案不唯一）.（只写一个）

【考点】相似三角形的判定.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】NADE=/C（答案不唯一）.

【分析】由于△A8C和△4EO有一个公共角，所以利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三

角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件.

【解答】解：根据题意,

•；NDAE=/BAC,

・••当NAQE=NC时，

所以可添加的一个条件是（答案不唯一）.

故答案为：NAOE=/C（答案不唯一）.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用.

三,解答题（共3小题）

13.（2025秋•立山区期中）如图，在四边形/WCO中，AD//BC,AB>CD,点E,尸分别在AC,8c上,

且/以C=NEDA,ZACD=ZADC,AF2=BF*CE.求证：AABF^ACDE.

【考点】相似三角形的判定.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】证明：VZACD=ZADC,

：.AD=ACt

*：AD//BC,

AZDAE=NACF,

在△AOE和△C4F中，

(/EDA=ZFAC

\AD=CA,

Vz.DAE=Z.ACF

AAADE^^,CAF(ASA),

：.DE=AF,

,:A^=BF・CE,

AFBF

••—，

CEDE

VZAFB=ZACF+ZFAC.ZCED=ZDAE+ZEDA,

1^ZACF=^DAE,ZFAC=^EDA,

，/AFB=/CED,

,AFBF

inj—=—，

CEDE

•••△川■△COE.

【分析】先由/4CQ=N4。。得到AO=AC,根据平行线的性质得到/D4E=NAC凡再证明△4QE也

ApBF

△C4F得至ljQE=A"，接着根据比例的性质得到=二=,然后证明NAb8=NC£Q,从而根据相似三

CEDE

角形的判定方法得到结论.

【解答】证明：vZACD=ZADC,

：.AD=AC,

'JAD//BC,

：.ZDAE=ZACF,

在△4/)£：和△C4尸中，

(ZEDA=ZFAC

\AD=CA，

[^DAE=Z.ACF

AAADE^ACAF(ASA),

:・DE=AF,

•;AF2=BF・CE,

AFBF

•••__=__,

CEDE

VZAFB=ZACF+ZFAC,NCED=NDAE+NEDA,

而NAC尸=NOA,ZMC=ZEDA,

，/AFB=/CED,

AFBF

IHJ-=，

CEDE

:•△ABFsACDE.

【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.也考

查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质.

14.(2024秋•紫金县期末)如图，点E,尸分别在正方形A3。的边AC,CO上，BE=3,EC=6,CF=

2.求证：XABEsXECF.

【考点】相似三角形的判定；正方形的性质.

【专•题】图形的相似；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据正方形的性质，得出/8=NC=90°,AB=CB=9,进而得出二=），根据两边成比

ECCF

例且夹角相等的两个三角形相似即可证明.

【解答】证明：・・・BE=3,EC=6,

:,BC=9,

•・•四边形A3c。是正方形，

；・AB=CB=9,NB=NC=90°，

♦•AB93BE3

'EC~6~2CF~2

•_AB__B_E

•♦，

ECCF

又•••/8=NC=90°,

・•・AABESAECF.

【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

15.（2024秋•洪雅县期末）如图，在RlZXACB中，ZC=90°；AC=\6cm,BC=Scm,动点尸从点C出

发，沿C4方向运动；动点。同时从点8出发，沿8c方向运动，如果点P的运动速度为4c〃?/s,。点

的运动速度为2。山s,那么运动几秒时，△A8C和△PCQ相似？

【考点】相似三角形的判定.

【答案】见试题解答内容

【分析】设同时运动ts时两个三角形相似，再分△PCQS^BCA或XPCQs4ACB两种情况进行讨论

即可.

【解答】解；设同时运动rs时两个三角形相似，

1r,PCCQ4t8-2t

当△PCQs/XBGA,则一二一,—=----,1=0.8：

BCAC816

,mlCQPC8-2t4t

当△PCQS/XACB,则”=