2025-2026学年上海市浦东新区三校联考九年级（上）期中数学试卷

2025-2026学年上海市浦东新区三校联考九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正

确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.（4分）在中，各边的长度都扩大4倍.那么锐角B的正切值（）

A.扩大4倍B.扩大2倍C.保持不变D.缩小4倍

2.（4分）在Kt△月4c中，ZC=90°,8c=4,那么乙4的三角函数值为%J是（

5

A.sin/1B.cosJC.taivlD.cotA

3.（4分）如果两个相似三角形的周长比为1：4,那么它们的对应角平分线的比为（)

D.1：V2

A.1：4B.1：2C.1：16

4.（4分）已知a，b，c是非零向量,下列条件中不能判定a〃b（)

-1♦

A.a〃c，b〃cB.a=3bC.Ial=|blD.a=±c，b=-2c

2

5.(4分)已知Rt△/中，ZC=90°»AC=2t那么下列各式中正确的是（）

A.sin/l=299

B.cosJ=—C.tanJ="D.cotA=—

3333

6.（4分）如图,D、E分别是的边/8、力。上的点,下列各比例式不一定能推得DE//BC的是

)

C^_=DE

A瑞嗤B瑞嗡*AB-BCD嚼嗡

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.（4分）如果%；），=5：2,那么（xly）；的值为

8.（4分）已知线段月8的长为2厘米，点产是线段的黄金分割点，那么较长线段力2的长是

厘米.

9.（4分）计算：2（a-2b）+3（a+b）=

10.（4分）已知在RtZ\/8C中，ZC=90°,sin力=3,那么48的长足

4

11.（4分）两个相似三角形的面积之比是9：25,其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三

第1页（共25页）

角形对应边上的高为厘米.

12.（4分）在直角坐标平面内有一点4（1,2）,点4与原点。的连线与x轴的正半轴的夹角为a,那么

cota的值为.

13.（4分）如图，AD//EF//BC,AE=2BE,EF=4,那么8C=.

14.（4分）如图，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点力出发，光线刚好照到古城堵CO的顶端C

处.如果48_L8。，CDLBD,8P=1.8米，PO=12米米.

15.（4分）顺次连接三角形三边中点，所得到的三角形与原三角形的周长的比是.

16.（4分）如图，已知在中，N4C8=90°,AC=\,D是AB边上一点、，点、A恰好落在边BC

上的点上处，那么/10=.

17.（4分）如图，长方形OEFG的边律在△48C的边〃。上，顶点。、G分别在48、4C上.已知△"C

的边BC长120cm,且长方形DEFG的长DG是宽OE的2倍，那么DE的长度是cm.

18.（4分）如图，已知△48C中，AB=AC\4DLBC于点点G是△力8C的重心，得到△4'。,

3

且点小在直线4。上，联结CCi，那么lanNCCi8i=.

第2页（共25页）

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.（10分）计算:tan45°+（禽-1）°-弓）

20.（10分）如图，在梯形45co中，AD//BC,CD=BD=8,AB=5.

（I）求8C的长；

（2）设标=Z，BC=b，求向量而（用向量Z，晟示）.

21.（10分）如图，已知在中，N，CB=90°,点/的坐标为（-1,0）,点8在x轴正半轴上

（1）求经过8、。两点的直线的表达式.

（2）求△40。与△8OC的面积之比.

22.（10分）小杰在学习了“特殊锐知的三角比”后，认为30°、45°、60°的三角比不必死记硬背，只

需利用一副三角板就可推导出30°、45°、60。的三角比：小杰在这个认识的基础上，他利用一副特

制的三角板

（1）计算：卫包

tan600+2sin300

<2）小杰的一副特制的三角板，如图1,在和中，Z/i=30°,ZZ）=45°；小杰

的想法是：将Rt△力8c和田△£）■的边力E和4C重合，拼接成如图2所示的四边形44CE请利用图

2

第3页（共25页）

图1图2

23.（12分）如图，在等腰△/18。中，AB=AC,过点C作C£_L6C,交历1的延K线于点E,交于点

F,交力C于点，

求证：(1)BC・BH=CH*EC；

(2)BC1=ADF*DA.

24.（12分）在平面直角坐标系中（如图），已知直线/：y=x+4交x轴于点4交），轴于点8,且.OC

=2点。在线段AC上，且/CDB=NABC,交80的延长线于点E,连接力£

（1）求点。的坐标；

（2）求直线CE的函数解析式；

（3）如果点尸是直线CE上的动点，连接。P,当AOE尸与相似时

E

25.（14分）如图1,在梯形48CQ中，AD//BC,W.AE=2ED,连接8f1与对角线4C交于点。，EO」BO,

2

连接。咒

第4页（共25页）

(2)当NB4D=90°时，连接。尸交对角线力。于点G.

①如图2,J?OF2=OG*OC,求此时NQC8的余弦值：

②求/Z)=3,ZXO8尸是等腰三角形时，求4G尸。的面积.

第5页(共25页)

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参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案CBACDC

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正

确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.（4分）在中，各边的长度都扩大4倍.那么锐角B的正切值（）

A.扩大4倍B.扩大2倍C.保持不变D.缩小4倍

【解答】解：如图，在中，则tan8=B2,

BC

..4AC-AC

•嬴记’

・••在Rt△48c中，各边的长度都扩大3倍，

故选：C.

2.（4分）在Rta/BC中，ZC=90°,BC=4,那么N片的三角函数值为当的是（）

5

A.sinJB.co"C.taivlD.cotA

【解答】解：在中,ZC=90°,AC=3,

A^=VAC2+BC3=VS2+62=5>

AB5

故选：B.

3.（4分）如果两个相似三角形的周长比为1：4,那么它们的对应角平分线的比为（）

A.1：4B.1：2C.1：16D.1：V2

【解答】解：•・•两个相似三角形的周长比为1：4,

・•・两个相似三角形的相似比为4：4,

第6页（共25页）

・•・它们的对应角平分线的比为1：4.

故选：A.

4.（4分）已知:，b，3是非零问量，下列条件中不能判定Z〃E（）

-*1

A.a〃c»b〃cB.a=3bC.Ial=|blD.a=­c»b=

2

【解答】解：•；aIIc，bIIc，

•・a”b，

故/能;

,**a=3b，

a//b，

故B能;

•・•|a|=|b|a与b方向是否相同，

故C不能;

-1一**—

•*a--c»b=-2c»

•二一1二

••a”b»

故。能,

故选：C.

5.（4分）已知中，ZC=90°,AC=2,那么下列各式中正确的是（）

999

A.sin力=2B.cosJ=-C.tan/1="D.cot4="

3333

【解答】解：如图:

由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=V32+32=»

由I、I一BC33V13/AC72V13BC3AC2

AB71313AB71313AC2BC3

所以只有选项。正确，选项力、B.

第7页（共25页）

故选：D.

6.(4分)如图，D、E分别是△48C的边48、4C上的点，下列各比例式不一定能推得。七〃8。的是

()

AADMADc坦=亚DABAC

.BD=-CEB.AB-AC'AB-BC-BD-=CE

【解答】解：・・・坦二返

BDEC

：,DE//BC,故/正确；

.•.AID=-A-E-，

ABAC

：,DE//BC,故B正确;

.•.—AB二-A-C-，

DBEC

：,DE//BC,故。正确，

故选：C.

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.(4分)如果x：y=5：2,那么(x+y)：y的值为工.

~2~

【解答】解：♦、：y=5：2,

・••设x=3%,y=2k,

：.(x+y)：y=(5k+5k)：(2k)=(7k)：(6k)=7：2,

，(x+y)：y的值为立，

',2

故答案为：工.

4

8.(4分)已知线段48的长为2厘米，点P是线段48的黄金分割点，那么较长线段NP的长是_

-1)厘米.

【解答】解：由于P为线段力8的黄金分割点，

且力尸是较长线段，

则力P=2X返W=(V5.

2

第8页(共25页)

故答案为：（我-1）.

9.（4分）计算：2（a-2b）+3（l+b）.

【解答】解：2（a_2ba+b）=6ab+3ab=5a-b»

故答案为7n.

1（）.（4分）已知在RtZ\4"?中，ZC=90°,sinj=3,那么48的长是8.

4

【解答】解：・・・siiL4=3=里，BC=3,

4AB

，4?=8.

故答案为：8.

11.（4分）两个相似三角形的面积之比是9：25,其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三

角形对应边上的高为3厘米.

【解答】解：设另一个三角形对应边上的高为x厘米，

•・•两个相似三角形的面积之比是9：25,其中较大的三角形•边上的高是5厘米，

・•,另一个三角形对应边上的高为8厘米，

故答案为：3.

12.（4分）在直角坐标平面内有一点力（1,2）,点力与原点。的连线与x轴的正半轴的夹角为a,那么

cota的值为_工_.

2

【解答】解：作/IMLr轴于点M,

则cola=X.

AM2

故答案为：1.

13.（4分）如图，AD//EF//BC,AE=2BE,EF=4,那么BC=5

第9页（共25页）

AD

y------------------y

BZ-----------------------xc

【解答】解：如图，作4W〃CO交8c于M.

・•・四边形4QCM是平行四边形，四边形力。"N是平行四边形，

:・AD=NF=CM=2,

•；EF=4,

:.EN=EF・FN=4・2=2,

YEN//BM,

/.AAENs^ABM,

・典=妪=0

••前ABT

・2=工

**BM3,

・・・8W=3,

BC=BM+CM=2+2=5.

故答案为：3.

14.（4分）如图，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点力出发，光线刚好照到古城墙C。的顶端C

处.如果48180,CDLBD,8P=1.8米，-Q=12米10米.

/APB=/CPD,/ABP=/CDP,

△ABPsMDP,

第10页（共25页）

•.•AB।=BPy

CDDP

•・Z8=1.5米，8P=7.8米,

•....1.....4=---1--.-8-，

CD12

解得CO=10,

即该古城墙的高度是10米，

故答案为：10.

15.（4分）顺次连接三角形三边中点，所得到的三角形与原三角形的周长的比是.

2

【解答】解：如图,•:D、E、BC,

：,DE=^AC^-BC^AB,

223

,DE+DF+EF=LC+^k4B，

223

・：ADEFsRABC,

工所得到的AOM与4ABC的周长之比是工.

2

故答案为：1.

2

16.（4分）如图，已知在Rt△力BC中，ZACB=90°,AC=\,。是48边上一点，点4恰好落在边BC

上的点E处，那么AD=Vg-I.

・・・乙4=60°,

•••△/CO沿CO翻折，力点恰好落在8C边上的E点处,

：,ZCED=ZA=60Q,AD=ED,

•:/CED=/BDE+/B,

:・/BDE=60"-300=30

第11页（共25页）

:,EB=ED,

在RtZ\/18。中，ZACB=90°,

•・・N4=30°,AC=l,

・・・4C=V§,

：.EB=CB-C£=V§-1,

:.AD=ED=EB=6-7.

故答案为：V3-I.

17.（4分）如图，氏方形OE尸G的边EE在△48。的边8C上，顶点。、G分别在48、ACk.已知△48C

的边BC长\20cm,且长方形DEFG的长DG是宽。£的2倍，那么DE的长度是24cm.

•・•长方形。EFG的边月产在△.44C的边8c上，顶点。、力C上,

：.DG//BC,NDEC=NEDG=90°,

・・・力”是△/8C的高，

:.AHLBC,

；・N4LD=NAHB=90°,

：,ALA.DG,四边形。E/〃是矩形，

:・DE=LH,

,:DG〃BC、

：,AADGS/XABC,

・AL=DG

"AHBC1

V^C=120cw,4H=40cm,

/.AL=40-LH=40-DE,

・40-DE_2DE

40两，

解得QE=24,

・・・DE的长度是24cm,

故答案为：24.

第12页（共25页）

A

18.（4分）如图，已知△/8C中，AB=AC^,力。_L8C于点。，点G是△ABC的重心，得到△小8Ci，

3

且点81在直线力。上，联结CG，那么tan/CC8i=_返二4M.

99

:・BD=CD,

・•・重心点G在力。上，且4G=2GO,

设GD=x,则AG=2x,

:ta出喘=f

•3x4

••———二-^,

BD3

:.BD=CD=9x,

3222

在RtACDG中，CG^/GDCD=VX+(3X)=V82X*

由旋转的性质可知N8GO=NOG£>,GD=GDi=x,C2nl=CO=9x,

\'GD±BC,

第13页（共25页）

：.GD^A.B\C\t且点。3在CG上,

•',CDpCG-D]G=V82X-M

在RtZ\CC4。中，乜心，也=^-=啊片-=海工

C]U79x3

如下图所示，将△力8C绕着重心G顺时针旋转181c2,

•••CG=VGD2<D2=7X3+(9X)2=V82X，GDA=GD=X,

，CD广CG+GDi=倔x+x，C(DkCD=9x,

x+x

在RtZXgQ中，tanZCC1D6=^7-=^|±L;

CjD29xo

综上所述，tan/CJD广义普或络L

yb

故答案为：返2±L或速二i.

99

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

一]

19.(10分)计算：tan45°+—7=^—•

2V3+1

8

【解答】解：tan45°+(V3-1)-

=1+1-7+-立乎--

(V3+1)(V4-1)

.4(73-1)

2

第14页（共25页）

=473-2.

20.（10分）如图，在梯形力8CZ）中，AD//BC,CD=BD=8,AB=5.

（1）求4。的长；

（2）设正==，BC=b求向量而（用向量Z，E表示）.

【解答】解：⑴,：AD//BC,

J/ADB=/DBC,

平分N/1BC,

，NABD=NDBC,

：.N<BD=N4DB,

***AB=AD=5r

•；CD=BD=8,

・•・/DBC=/C,

AZABD=ZDBC,ZADB=ZC,

:.AABDsADBC,

•・A•B——BD，

DBBC

•.•7—X819

8BC

・・.8C=il；

6

则四边形力8£。是菱形,

：・BE=AD=5,

:.BE=至9C,

64

，丽二至E，

第15页（共25页）

VAB=a»

•*-BD=BA+BE=—b-7-

64

21.(10分)如图，已知在RtAUSC中，乙4c8=90°,点力的坐标为(-1,0),点8在x轴正半轴上

(1)求经过8、C两点的直线的表达式.

(2)求△XOC与△8OC的面积之比.

【解答】解：(1)VJ(-1,0),

.•.0/1=3,

在RtZ\40C中，VtanZCJ(?=^£-,

0A

：.OC=2OA=2,

：.C(2,2),

VZACB=90°,

VZACO+ZCAO=90°,

:./BCO=/CAO,

在RtZ\8C。中，・・・tanN8co=&L,

OC

・・・O8=2OC=8,

:・B(4,0),

设直线BC的解析式为

把8(8,0),2)分别代入得出+,。，

lb=2

解得2,

b=2

・•・直线BC的解析式为y=-2x+2；

2

(2)△/OC的面积：△80。的面积=04OB=8：4,

第16页(共25页)

即△40C与△BOC的面积之比为工.

5

22.（10分）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为30°、45°、60°的三角比不必死记硬背，只

需利用一副三角板就可推导出30°、45°、60°的三角比；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特

制的三角板

⑴计算.cot300-cot45°.

tan600+2sin300

（2）小杰的一副特制的三角校，如图1,在Rt△48C和痔中，ZA=30°,ZD=45°；小杰

的想法是：将Rt△/也。和RtAQEb的边。石和/C重合，拼接成如图2所示的四边形请利用图

2

图2

【解答】解：（1）原式=噂二［=上/^^2£=2-百;

V2+12

（2）如图2中，过点B作BHLAF于点H.连接BF.

・・・BC=^-AC=lV75C=V3，

2

的面积=LxiXF怎

82

在产中，NOE尸=90°,

:.AF=2近,△。月产的面积=工，

2

VZ/4C5=90°-30°=60°,ZJCG=90°,

第17页（共25页）

/.ZFCG=30°，

：,FG=^-CF=\,

2

•・•四边形ABCF的面积=S/8#SMS

.,・亚M=立工・BC・FG,

225

/.也+3=工V7XBH+工,

222

•阳=返+3近

・"”=庐声］（百）2-渔譬巨）6=q返

VZ^C=30°,ZCJF=45°,

:・/BAH=75°，NABH=15°,

3返飞低+3设

软书=呼tan75°=也=—产正”.

AH3v8-「6

4

23.（12分）如图，在等腰△力8C中，AB=AC＞过点。作CE_L8C,交*4的延长线于点凡交力。于点

F,交力。于点〃

求证：(1)BC・BH=CH・EC；

(2)BC2=4DF-DA.

【解答】证明：（1）•:CE1BC,BHVAC,

:・/BCE=/CHB=90：

*：AB=AC,

：.AABC=AACB,

:.△BCEs^CHB、

..•BC二CE,

CHBH

第18页（共25页）

:・BOBH=CH・EC；

（2）・・18=4C,点。是边3C上的中点,

VADYBC,BH1AC,

AZADC=ZAHF=90°,

ZDAC=NHAF,

JNACD=NAFH,

•.*ZAFH=ZBFD,

・•・ZACD=ZBFD,

VZADC=ZBDF=90°,

••・△ADCs^BDF,

•・•—DC二-A--D-，

DFBD

,:BD=DC=AC,

2

:,LSC2=AD・DF,

4

即BC6=4AD*DF.

24.（12分）在平面直角坐标系xQp中（如图），已知直线/：j，=x+4交x轴于点Z,交y轴于点4,且.OC

=2点。在线段力。上，且NCDB=NABC,交8。的延长线于点£,连接力E.

（1）求点口的坐标：

（2）求直线CE的函数解析式；

（3）如果点P是直线CE上的动点，连接OP,当△£）£■尸与△力8C相似时

【解答】解：（1）由题意得力（-4,0）,4）,0）,

..04=4,08=7,

:.BC=2近,

VZACB=^BCD,/CDB=/ABC,

第19页（共25页）

:•△ACBs^BCD,

•・•C1D1I二DC,

CBAC

・•・CD斗

4

，OD等

o

・•・点。坐标是(4，0)；

(2)设直线的解析式为.y=h+4,

/.--^-k+6=0♦

3

解得k=3,

・•・直线BD的解析式为y=7x+4,

设E设3什2),

过E作EG_Ly轴，过8作轴，GH与BH交于H点,

•：NBCE=90°,

:.NBCH+/ECG=90°,

•：NCEG+NECG=90°,

:・NBCH=NCEG,

:.△BCHsMEG,

•CG二EGg|j_3t_4_2-t

••而一而''~F，

解得尸-8,

:.E(-2,-2),

设直线CE的解析式为

・f4k'+b=0

・[-2/+b=-2'

L，」

解得2,

b=-7

・•・直线CE的解析式为y=^x-6；

(3)ZCED=ZCAB=45°,△DEPs^ABC,

，点户只能在射线EC上，

设夕(tn,-2),

2

第20页（共25页）

•・・AB=4北，』C=8,DE-|V10*

①当柒*

3

・・.EP邛,

:.CE=2限,

'-^Vs=J(m-2)2+gin-7)2，

解得ni=-2或m=-3^；

89

.”(-2,-IP.)；

79

②当世■二星■时.同理可得：EP=V§，CP=V7,

EDAB

・••尸(0,-1)；

)>-6).

25.（14分）如图1,在梯形力ACO中，AD//BC,且力f=2EQ,连接〃上与对角线4C交于点O,EO」BO

2

连接OF.

图2

（2）当N84Q=90°时，连接。“交对角线力。于点G.

第21页（共25页）

①如图2,若。产=OG・OC,求此时NOC8的余弦值；

②求力0=3,Z\O8尸是等腰三角形时，求△GFC的面积.

【解答】（1）证明：延长R?交力。于点M,

，型fp

在梯形力38中，AD//BC,

:.AAOESACOB,丛EOMs丛BOF,

・AE_0EME