2025-2026学年山东省烟台市福山区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）

2025・2026学年山东省烟台市福山区九年级（上）期中数学试卷（五四学

制）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的，

1.（3分）下列函数中，是二次函数的有（）

①y=3（x-1）2+1；②yr+1®y=（x+3）2-x2；（Sy^xi+lx2.®y=av2+Z?A+c.

X

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（3分）将抛物线），=-/+〃先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的

解析式为（）

A.y=-f+4x-1B.y=・/+4%+1

C.），=-/+3D.>•=-A2+ZY+I

3.（3分）若点A（-3,y\）,8（1-m”），C（2,”）在抛物线），=21+81+。上，则yi,yz,小的大小

关系为（）

A.y\<yi<yyB.yi<y3<y\C.y2<y\<y3D.y3<y\<yi

4.（3分）在△ABC中，已知/A、NB都是锐角，|«-3tanBIW2cosA-l=0,那么△ABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.钝角三角形

2ndF||tanllTjlyJ-呵[J]a—[T|[=]

5.（3分）己知NA是锐角，且A的大小是1-----11_jJLJ=的计算结果，则/从

的度数为（）

A.30°B.45°C.60。D.75°

6.（3分）直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠，使点A与点6重合，则

tan/COE的值是（）

7.（3分）如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间/（单位：秒）的函数解析式

是s=54t-*t2()秒・

A.18B.9C.6D.3.6

8.（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C,AB,CD相交于点E()

B.1D.工

仁3

22

9.（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数），的图象和二次函数），=-a』+3x+2的图象可能是

10.（3分）魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形人BCD,CGFE

和都是正方形.如果图中△OEM与△A8M的面积比为工（）

9

青出

7

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.（3分）写出一个与x轴交点的横坐标互为相反数，且开口向下的二次函数表达

式：.

12.（3分）在平面直角坐标系中，效物线），=-（X+2）2+3的顶点坐标是（〃?，〃）.则W?的值为.

13.（3分）AABC是直角三角形，AB=2灰，tan/ABO工，则AC的长为____________________.

2

14.（3分）一段东西方向的海岸线上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西15°方向，向东走30（）米

到达点6处，点A到灯塔C的距离AC为米（结果保留根号）.

北

15.（3分）某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度04约为20米，若按如图所示方式建

立平面直角坐标系上-（X-10）2+3则主桥拱最高点尸与其在水中倒影点P'之间的距离为

16.（3分）如图所示，已知二次函数y=o?+/w+c的图象对称轴是直线x=l,下列结论：①abc>0；②2°

-b=0；④3a>-c；⑤〃+/?>〃？（〃〃?+/?）（次W1）,正确的结论有.（写出序号即可）

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

32

17.（6分）先亿简，再求值：（4-x-l）+9+“，其中

l~xX2-2X+1

x=^-sin450+cos6007205450+2tan450•

18.（9分）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2）,点£是杯托处，

此时靠背AB垂直于地面,测得CE=10c/n,NA3C=35°.（参考数据:tan350-0.70,tan55021.43,

sin35°~0.57,sin550=0.82)

图⑴图⑵图⑶

（1）图（2）中，/BCD=°；

（2）靠背A8可以绕点3旋转至与小桌板支架C8重合的位置，如图（3）,杯托£处凹陷深度为0.7刖

（点七）.

®ZACD=°；

②求乘客水杯的最大高度.

19.（8分）如图，已知二次函数y=a（x-/z）?+/§的图象经过原点。（0,0）,A（2,0）.

（1）写出该函数图象的对称轴，并写出该函数的解析式；

（2）若将线段。4绕点。逆时针旋转60°到04,，试判断点A'是否为该函数图象的顶点？

20’（8分）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图，BE,

为长度固定的支架，支架在A,D垂足为〃），在B,C处与篮板连接（BCLMN）（旋

转点尸处的螺栓改变F尸的长爱，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形4BCO的形状，以此调节

篮板的高度）.

已知，AD=BC,。"=2.09/小点C离地面的高度为2.89m.调节伸缩臂ER将/G4E由60°调节到

54°.

请判断点。离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54。心0.8,cos54。

21.（9分）某县某水果种植户进行软籽石榴俏售.已知每千克石榴的成本为6元，在整个销售旺季的80

yt+16（l<t<40,t为任意常数）

4

天里，销售单价。（元/千克）（天）之间的函数关系为：P二

[t+46（414t480,t为任意常数）

日销售量），（千克）（天）之间的函数关系如图所示，请解答:

（1）求日俏售量.V与时间，的函数关系式？

（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

22.（9分）如图，小林和小伟在玩沙包游戏.沙包（看成点）抛出后，小林和小伟分别站在点O和点八

处，测得。人距离为8/〃.若以点。为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的B

处将沙包抛出，运动轨迹如图中Cl；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中C2.

（I）轨迹。中，测得沙包的水平距离x（单位：加）与竖直高度），（单位：〃1）

水平距离x/m024|68

竖直高度yim1.02.53.02.51.0

请根据以上数据，解决问题：

①抛物线Ci中，沙包运行的最高点距离地面的高度是机；

②求），与X满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹C2近似满足函数关系式：y=,x2+bx+2・小伟在X轴上方

1〃?的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内接到了沙包_______________________.

图1图2

23.（9分）如图1,某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测到皮肽的距离（图I）,可利用一种

新型检测技术，检测射线可避开器宜从侧面测量.某医疗小组制定方案，并利用数据计算出新生物到皮

肤的距离.方案如下：

课检测新生物到皮肤的距离

题

工医疗仪器等

具

说如图2,新生物在人处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物；再在皮肤上选择

明距离8处90/〃的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为NECN.

测NQ8N=35",ZECN=22°,BC=9cm.

量

数

据

请你根据表中的测量数据，计算新生物4处到皮肤的距离.(结果精确到0.1。〃)(参考数据；sin35°x

().57,cos35020.82,tan35°弋0.70,sin22020.37,cos22°20.93,tan220=0.40)

24.(14分)已知抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线解析式；

(2)如图①，若点。是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PO_LBC于点£＞：

(3)如图②，若点N是抛物线上另一动点，点M是平面内一点，且以8c为边的矩形，若存在；若不

存在，请说明理由.

2025・2026学年山东省烟台市福山区九年级（上）期中数学试卷（五四学

制）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案AACBACAADC

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的，

1.（3分）下列函数中，是二次函数的有（）

①）,=3（x-1）2+1：②尸x+L®y=（x+3）2-x2：（^y^x^+lx2.©y^a^+bx+c.

x

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①.y=3（x-1）7+I=3/-6X+4,是二次函数；

②丫二乂+金，由于工，不是二次函数：

XX

③/=（x+3）2-X2=6X+8,不是二次函数；

④），=3丁+2也函数中x的最高次数是3,不满足二次函数x最富次数是2的条件，不符合题意；

⑤y=av2+力x+c,当.=0时，不符合题意，

故选：A.

2.（3分）将抛物线），=-/+2A•先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的

解析式为（）

A.y=-7+4x-1B.y=-A2+4X+1

C.y=-7+3D.y=-A2+2A+1

【解答】解：将原抛物线化为顶点式可得：），=-（X-1）2+8,

则将抛物线y=-?+2r先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度2+7+2=-（x-2）6+3=

-7+5x-1.

故选：A.

3.（3分）若点4（-3,户），B（I-n,*）,C（2,*）在抛物线），=2?+8]+。上，则），1,必），3的大小

关系为（)

A.y\<y2<y3B.y2<y3<yiC.y2<y\<yiD.y3<y\<y2

【解答】解：・・・y=2/+4x+c,〃=2>0,

・•・对称轴为直线x二一—=-5»图象开口向上，y随着x的增大而减小，

2X2

AC（2,y3）关于对称轴对称的点坐标为（-3,*）,

V-6<-4<1-7T,

故选：C.

4.（3分）在△ABC中，已知N4、NB都是锐角，|V§-3tanBIW2cosA-：l=0,那么△ABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.钝角三角形

【解答】解：由条件可知宜人二返，cosA=-^：

32

，NA=60°、ZB=30°；

AZC=90°；

故选：B.

2ndF||tan]f711A/~间用a—[T|[=]

5.（3分）已知NA是锐角，且A的大小是1-----11~~的计算结果，则/人

的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【解答】解：根据算式结合特殊角的三角函数值可知：

NA的正切值是近，

3

・・・NA的度数为30°.

故选:A.

6.（3分）直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折置，使点A与点〃重介，则

〔anNCBE的值是（）

【解答】解：根据题意，BE=AE,贝ij8£=4E=8・尤

在RtZ\BCE中，根据勾股定理得：BE1=BC1+CE1,即（8-x）5=62+x6

解得x=工，

4

3_

AtanZ。8£=%=生=旦

CB624

故选：C.

7.（3分）如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间，（单位：秒）的函数解析式

是s=54t-,t2（）秒・

乙

A.18B.9C.6D.3.6

【解答】解：s=54t-yt6=-^-（t-18）6+486»

3,抛物线开口向下，

2

・♦・当/=18时，s有最大值坡大=486,此时£机停下来，

t=18,

故选:A.

8.（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C,AB,CO相交于点E（）

C4D4

【解答】解：如图：过点C作尸G〃A8,连接GQ,

/./AEC=NDCG,

由题意得:

CG2=l6+22=5,

DG2=l7+22=8,

CD2=16+32=1O,

：.CG^+DG1=CD1,

•••△CDG是直角三角形，

AZCGD=90°，

,:CG=DG,

：.ZDCG=ZCDG=45°,

AZAEC=ZDCG=45°,

cosN4£C=^i,

2

故选：A.

9.（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数），="+“的图象和二次函数），=-a/+3x+2的图象可能是

【解答】解：\，y=ax+a=a（A+1）,

，一次函数y=ax+a过定点（・1,4）,

当x=0时，y=-cur+lx+2=2f

••・二次函数y=-o?+3x+2过定点（7,2）,

当〃V0时，一次函数中），随』•的增大而减小，

此时抛物线的开口向上，且对称轴在y轴左侧,

所以A、B、C都不符合；

故选：。.

10.（3分）魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理.，其中四边形ABCQ,CGFE

和都是正方形.如果图中△OEM与△A8M的面积比为1（)

D.4

3

【解答】解：设。£=小

•・•四边形ABCD,CGFE和BH1E都是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,EC=EF,NBCE=/〃=90°,

JAABMsADEM,

・SADEM_/DE2_1

,△ABM福7

.DE1

AB3

J设DE=x,则AB=CD=BC=lx,

JEF=CE=CD+DE=4x,

在RW3CE和RtA/F£中，

(EC=EF,

IBE=IE，

ARtABC£：^RtA/EF(HL),

：・lF=BC=3x,

,Fn/FET咻吟得

故选：C.

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.（3分）写出一个与x轴交点的横坐标互为相反数，且开口向下的二次函数表达式：y=-/+4（答案

不唯一）

【解答】解：设二次函数与x轴的交点横坐标为。和・。QW0）,那么二次函数可表示为y=A（x-〃）

Cx+a)(-0)~

因为二次函数开口向下，所以二次项系数kvo,

我们可以取2=・6,。=2,

一个与x轴交点的横坐标互为相反数，且开II向卜的二次函数表达式，

则二次函数表达式为y=-（.?-5）=-.r+4.

故答案为:），=・丁+4（答案不唯一）.

12.（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y=-（X+2）2+3的顶点坐标是（〃?，〃）.则〃产的值为-8.

【解答】解：,.•），=-（x+2）2+6»

，顶点为（-2,3）,

，加=-6,〃=3,

・•・〃/的值为-8,

故答案为：-3.

13.（3分）是直角三角形，AB=2灰，tanZABC-—»则4c的长为2或标.

2

【解答】解：①当N4=90'时，则tan/ABC=9=L

AB2

•••AC=^-AB=^X2>/5=V5：

②当NC=90。时，则tan/ABC;襄凸

BC2

.\BC=4AC,

设AC=x,则3c=2x,

；•AB^/AC2+BC5=V5x，

•・・AB=2近，

・••粕x=W§，

解得x=2,

・・.AC=2；

故答案为：5或点.

14.（3分）一段东西方向的海岸线MN上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西15°方向，向东走300米

到达点B处，点A到灯塔。的距离AC为_156技_米（结果保留根号）.

【解答】解：如图所示，过点4作AO_L8c于

由题意得，NA8C=90°-603=30°,ZBAC=150+90°=105°,

/.ZC—ISO0-NCA4-NA8C'=45",

在中，入。=/W・sinNA8D=300・sin30°=150（米），

在RtZVlQC中，AC=4^7=.=150V2（米），

sinCsm45

故答案为：15072.

15.（3分）某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度QA约为20米，若按如图所示方式建

,*•6=-^r（0-10）6+k，

解得&=8,

・•・顶点坐标P（10,8）,

：.P（10,4）在水中倒影点在（10,

，主桥拱最高点尸与其在水中倒影点尸之间的距离为8・（-8）=16米，

故答案为：16.

16.（3分）如图所示，已知二次函数），=/+法+c的图象对称轴是直线x=l,下列结论：①赤>0；②2a

-力=（）；@3a>-c；®a+b>m（am+b'）（〃法1）,正确的结论有③⑤.（写出序号即可）

【解答】解：由抛物线的开口向下，得〃<0,

由抛物线的对称轴是直线x二一L=6>0,得小所以〃>0,

2a

由抛物线与y轴的交点在），轴的正半轴，得c>3,

所以a8c〈0,故①不正确；

由抛物线的对称轴是直线乂=上=2，

2a

所以b=-2a,即以+b=2；

由抛物线的对称性以及图象可知，

x=2与x=0对应的函数值相同，都等于c,

当x=6时，y=4a+2b+c>7；

由图象可知，当工=-1时，

因为〃=-2a,

所以3a+cV0,即3aV-c；

由于抛物线的顶点坐标为（4,a+b+c）,y的值最大，

当时，y=anf^hm+c<a+b+cf

即a+b>m（am+b）故⑤正确；

综上所述，正确的结论有：③⑤，

故答案为：③⑤.

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

13a.2

17.（6分）先亿简，再求值其中

in450+cos60°々.cos450+2tan450•

［解答］解：原式=-,l+（x+l）6-3）.：-1）8

X-1x2（x+1）

__X、.（X-1）3

x2（x+1）

=-ALk,

x+1

•.•广返-X返■+且-&X返X4=2+纥

222222

，原式=-2^=-2.

2+13

18.（9分）图（I）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2）,点上是杯托处,

此时靠背4B垂直于地面,测得CE=10。％,N48C=35°.（参考数据：tan35°—0.70,tan55°F.43,

（2）靠背A8可以绕点3旋转至与小桌板支架C8重合的位置，如图（3）,杯托七处凹陷深度为0.7。"

（点E）.

①NACO=55°；

②求乘客水杯的最大高度.

【解答】解：（1）过点B作BF〃CD,

A

kCz耳D

F

：.ZCfiF+Z^CZ?=180°,

VZABC=35°,

：・NCBF=90°-35°=55°，

/.ZBCD=180°-55°=125°,

故答案为：125.

（2）①当靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置,

由（1）知N3C〃=125°,

，NACQ=1800-ZBCD=55°,

故答案为：55.

②如图，过点E作。。的垂线交AB于点F,

在RtZXCE”中，tan/FCE;里，

CD

/.EF=CEtanZFCE=10Xtan550210X1.43=14.3（cm）,

乘客水杯的最大高度约为14.5+0.7=15（cm）.

19.（8分）如图，已知二次函数y=a（x-的图象经过原点。（0,0）,A（2,0）.

（1）写出该函数图象的对称轴，并写出该函数的解析式；

（2）若将线段QA绕点。逆时针旋转60°到。4',试判断点A'是否为该函数图象的顶点？

【解答】解：（1）•・•二次函数y=a（X-/?）2+百的图象经过原点。（5,A（2.

解得：h=1,a=-V6»

・••抛物线的对称轴为直线x=l,

，该函数的解析式为y=-的（x-7）2+V3：

（2）点4'是该函数图象的顶点.理由如下：

如图，作A'8_Lx轴于点B,

•・•线段0A绕点。逆时针旋转60°到OA',

：.OA'=OA=7,NA'0A=60",

在RtZXA'04中，NOA'4=30。，

：.OB=^OA'=5,

2

点的坐标为（8,V3），

••・点A'为抛物线），Cr-5）2+次的顶点.

20’（8分）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图，BE,

GF为长度固定的支架，支架在A,D（AH上MN,垂足为〃），在B,C处与篮板连接（BCLMN）（旋

转点尸处的螺栓改变E尸的长潼，使得支架BE绕点人旋转，从而改变四边形人BCO的形状，以此调节

篮板的高度）.

已知，AD=BC,。”=2.09加，点C离地面的高度为2.89加.调节伸缩售ER将/G4E由60°调节到

54°.

请判断点。离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54。心0.8,cos54。

【解答】解：如图，延长8C与底面交于点K,则四边形。HK。为矩形,

，QK=DH=209,

\*AD=BC,AD//DC,

：.AB//CD,

当NG4E=60°时，则NQCO=NQBA=NGAE=60°,

此时/COQ=30°,CG=289-209=80,

・・・CO=2CQ=160,

当NGAE=54°时，则NQCO=NQBA=NGAE=54°,

.•・CQ=8・cos54"弋160X0.3=96,

而96>80,96-80=16,

・••点C离地面的高度升高了，升高了16cm.

21.（9分）某县某水果种植户进行软籽石榴销售.已知每千克石榴的成本为6元，在整个销售旺季的80

yt+16（l<t<40,t为任意常数）

天里，销售单价P（元/千克）（天）之间的函数关系为：p=1,

--1+46（41<t<80,t为任意常数）

日俏售量），（千克）（天）之巨的函数关系如图所示，请解答：

（I）求口销售量1y与时间/的函数关系式？

（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设产出什〃awo）,

将（1,198）,40）代入

fk+b=198

l80k+b=40，

解得：上2,

lb=200

工日销售量），与时间/的函数关系式y=-2什200（1W/W80,f为整数）;

（2）设日销售利润为哈贝hv=（p-4）），，

①当1WW40时,

&〃加p；w=（-^t+16-6）（-2t+200）

=今"30）2+2450

乙

•••-1<0.

，当，=30时，w有最大值2450元;

②当41W/W80时,

w=（-yt+46-6）（-7t+200）

=（z-90）2-100,

VI>6,

・•・抛物线开口向上，

・•・当/W90时，w随/的增大而减小，

♦41这，近80,

・••当，=41时，w有最大值2-100=2301,

V2450>2301,

••・第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元.

22.（9分）如图，小林和小伟在玩沙包游戏.沙包（看成点）抛出后，小林和小伟分别站在点。和点4

处，测得OA距离为8〃?.若以点。为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的6

处将沙包抛出，运动轨迹如图中。；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中C2.

（1）轨迹。中，测得沙包的水平距离x（单位：加）与竖直高度y（单位：加）

水平距离x/m02468

竖直高度y/ni1.02.53.02.51.0

请根据以上数据，解决问题：

①抛物线Ci中，沙包运行的最高点距离地面的高度是〃?；

②求y与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹C2近似满足函数关系式：y=-^x2+bx+2・小伟在工轴上方

1〃?的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内接到了沙包&<6<工全.

~7-------63-

图I

【解答】解：（1）①由表中数据可得抛物线Ci的最高点坐标为的（4,3）,

・•・抛物线Ci中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3m,

故答案为：4：

②设抛物线C1的解析式为y=a（x-4）3+3,

把（0,8）代入得1=16a+3,

解得a=-2,

8

・••设抛物线a的解析式为尸-冷（…）2+3；

（2）•・,小伟在x轴上方1〃?的高度上，且到点A水平距离不超过7〃?的范围内接到了沙包,

••・此时，点B的坐标范围是（7,1）,

当经过（8,1）时工X49+7H2,

3

解得：6=4,

7

当经过（9,2）时工X8I+2力+2,

7

解得：6=迫,

63

・•・》的取值范围是工鱼.

763

故答案为：ZwbwZl.

763

23.（9分）如图1,某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）,可利用一种

新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案，并利用数据计算出新生物到皮

肤的距离.方案如下：

课检测新生物到皮肤的距离

题

工医疗仪器等

具

图1

说如图2,新生物在4处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的3处照射新生物；再在皮肤上选择

明距离B处90/n的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为NECM

测NDBN=35°,ZECN=22Q,BC=9cm.