2026届山东省青岛五十八中高二上数学期末质量检测试题含解析

2026届山东省青岛五十八中高二上数学期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B.C. D.2．已知等比数列中，，则这个数列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.163．在中，角、、所对的边分别是、、.已知，，且满足，则的取值范围为（）A. B.C. D.4．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A. B.C. D.5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，各层球数之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（）A.51 B.68C.106 D.1576．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝17．已知是数列的前项和，，则数列是（）A.公比为3的等比数列 B.公差为3的等差数列C.公比为的等比数列 D.既非等差数列，也非等比数列8．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.759．下列命题正确的是（）A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面10．平行六面体中，若，则（）A. B.1C. D.11．等比数列满足，，则（）A.11 B.C.9 D.12．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线围成的图形的面积为___________.14．已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是___________15．已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.16．经过两点的直线的倾斜角为，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面底面ABCD，，，，，（1）证明：是直角三角形；（2）求平面PCD与平面PAB的夹角的余弦值18．（12分）已知p：，q：（1）若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数m的范围19．（12分）已知椭圆，离心率分别为左右焦点，椭圆上一点满足，且的面积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点.过点且平行于的直线交椭圆于点，证明：为定值.20．（12分）某情报站有．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用密码，表示第周使用密码的概率（1）求；（2）求证：为等比数列，并求的表达式21．（12分）已知数列的前项和为，若.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.22．（10分）已知命题：对任意实数都有恒成立；命题：关于的方程有实数根（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；（2）如果“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.【详解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴与的夹角为.故选：B.2、A【解析】直接利用公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由已知，，所以，解得.故选：A3、D【解析】利用正弦定理边角互化思想化简得出，利用余弦定理化简得出，结合，根据函数在上的单调性可求得的取值范围.【详解】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，则，由余弦定理得，，则，由于双勾函数在上单调递增，则，即，所以，.因此，的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查三角形内角余弦值的取值范围的求解，考查了余弦定理以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.4、D【解析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件求出、的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的半径为，母线长，因为侧面展开图是一个半圆，则，即，又圆锥的表面积为，则，解得，，则圆锥的高，所以圆锥的体积，故选：D.5、C【解析】对高阶等差数列按其定义逐一进行构造数列，直到出现一般等差数列为止，再根据其递推关系进行求解.【详解】现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，各项与前一项之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差数列，所以，故选：C6、D【解析】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.7、D【解析】由得，然后利用与的关系即可求出【详解】因为，所以所以当时，时，所以故数列既非等差数列，也非等比数列故选：D【点睛】要注意由求要分两步：1.时，2.时.8、C【解析】求出第一次取得红球的事件、第一次取红球第二次取白球的事件概率，再利用条件概率公式计算作答.【详解】记“第一次取得红球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则，，于是得，所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为0.6.故选：C9、D【解析】由平面的基本性质结合公理即可判断.【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.故选：D10、D【解析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.【详解】在平行六面体中，有，故由题意可知：，即，所以，故选：D.11、B【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解.【详解】由数列是等比数列，得：，故选：B12、C【解析】先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.【详解】解：由，，成等差数列，得：，设的公比为，则，解得：或，又单调递减，，，解得：，数列的通项公式为：，.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】曲线围成图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当，时，曲线可化为：，表示的图形为一个半圆，围成的面积为，故曲线围成的图形的面积为.故答案：.14、【解析】根据零点定义，分离出，构造函数，通过研究的值域来确定的取值范围【详解】根据零点定义，则所以令则，令解得当时，，函数单调递减当时，，函数单调递增所以当时取得最小值，最小值为所以由零点的条件为所以，即的取值范围为【点睛】本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题15、【解析】由题可设，则，然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得.【详解】由题可得，，设，因为点P在线段AB上，所以，∴，∴当时，的最小值为.故答案为：.16、2【解析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.【详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为，所以，解得，故答案为：2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接BD，在四边形ABCD中求得，在中，取得，得到，由线面垂直的性质证得平面，得到，再由线面垂直的判定定理，证得平面PBD，进而得到，即可证得是直角三角形（2）以为原点，以所在直线为x轴，过点且与平行直线为y轴，所在直线为z轴，建立的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，连接BD，因为四边形中，可得，，，所以，，则在中，由余弦定理可得，所以，所以因为平面底面，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因为平面PAB，所以，因为，，所以平面PBD因为平面PBD，所以，即是直角三角形【小问2详解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中点O，连接PO，因为，所以，因为平面，平面底面，平面底面，所以底面,以为原点，以所在直线为x轴，过点且与平行的直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，可得，，，设平面的一个法向量为，则，令，可得，，所以，因为是平面的一个法向量，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为18、（1），；（2），【解析】解不等式，(1)由题意得，从而求得；(2)由题意可转化为是的充分不必要条件，从而得到，化简即可【小问1详解】解不等式得，是的必要不充分条件，，解得，，即实数的范围为，；小问2详解】是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，故，解得，，即实数的范围为，19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）方法一：根据离心率以及，可得出，将条件转化为点在以为直径的圆上，即为圆与椭圆的交点，将的面积用表示，求出，进而求出椭圆的标准方程；方法二：根据椭圆的定义，，再根据勾股定理和直角三角形的面积公式，即可解得，又由离心率求出，则可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理表示出，再将直线的方程代入椭圆方程，求出，则为定值.【小问1详解】方法一：由离心率，得：，所以椭圆上一点，满足，所以点为圆：与椭圆的交点，联立方程组解得所以，解得：，所以椭圆的标准方程为：.方法二：由椭圆定义；，因为，所以，得到：，即，又，得所以椭圆C的标准方程为：；【小问2详解】设直线AB的方程为：.得设过点且平行于的直线方程：.20、（1），，，（2）证明见解析，【解析】(1)根据题意可得第一周使用A密码，第二周使用A密码的概率为0，第三周使用A密码的概率为，以此类推；(2)根据题意可知第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为，进而可得，结合等比数列的定义可知为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出结果.【小问1详解】，，，【小问2详解】第周使用A密码，则第周必不使用A密码（概率为），然后第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为故，即故为等比数列且，公比故，故21、（1）（2）【解析】(1)根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式；(2)根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列加上一个等比数列得到，要求其前项和，采用分组求和法结合公式法可求出前项和【小问1详解】当时，，解得；当时，，∴，化简得，∴是首项为1，公比为2的等比数列，∴，因此的通项公式为.【小问2详解】由（