2026年数学奥林匹克竞赛培训题目集

2026年数学奥林匹克竞赛培训题目集一、几何证明与计算题（共3题，每题15分）题目1（15分）：已知△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E为AD的中点，F为BC上一点，且∠AFD=90°。求证：四边形AEDF的面积是△ABC面积的四分之一。题目2（15分）：在直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4）。以BC为直径作圆O，求圆O上到直线AB距离最远的点的坐标。题目3（15分）：正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F为CD上一点，且∠AEF=45°。求四边形AEBF的面积。二、代数综合题（共3题，每题15分）题目4（15分）：若实数x满足x^4-6x^2+5=0，求x^4+2x^2+1的值。题目5（15分）：已知a、b为正数，且a+b=1。求函数f(a)=a^2+(1-a)^2的最小值。题目6（15分）：设f(x)=x^3-ax^2+bx-c，已知f(1)=0，f(2)=0，f(3)=0。求f(4)的值。三、组合与计数题（共3题，每题15分）题目7（15分）：从1到10的数字中选出5个不同的数字，使得任意两个相邻数字的差不大于2。问有多少种不同的选法？题目8（15分）：在一个8×8的国际象棋棋盘上，用马走“日”字格的方式，从左上角（1，1）出发，经过64格后回到原点。求不同的走法总数。题目9（15分）：将一个正十二面体的12个面染成红色或蓝色，要求相邻的面颜色不同。问有多少种不同的染色方案？四、数论问题（共3题，每题15分）题目10（15分）：求所有正整数n，使得n^2+n+41是质数。题目11（15分）：已知a、b为互质的正整数，且a+b=15。求a、b的所有可能组合。题目12（15分）：求100以内所有能被3整除且各位数字之和为6的正整数。答案与解析一、几何证明与计算题题目1（15分）：证明：取BC的中点D，连接AD。因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC。又∠AFD=90°，所以四边形AEDF是直角梯形，其中AD=1/2BC。设BC=2a，则AD=a，∠AFD=90°，所以AF=AD=2a。四边形AEDF的面积=1/2×AD×AF=1/2×a×2a=a^2。△ABC的面积=1/2×BC×AD=1/2×2a×a=a^2。因此，四边形AEDF的面积是△ABC面积的四分之一。题目2（15分）：解：圆O的方程为(x-2)^2+(y-2)^2=4，圆心为（2，2），半径为2。直线AB的方程为y=-x+3。点到直线的距离公式为d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)，代入A=-1,B=1,C=-3，圆心（2，2）的距离为d=|(-1)×2+1×2-3|/√2=√2。最远点在圆上，与直线垂直的点的坐标为（2±√2，2∓√2）。题目3（15分）：解：设正方形ABCD的顶点坐标为A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2)，E(1,0)，F(x,2)。∠AEF=45°，斜率k1=0，k2=(2-0)/(x-1)。tan45°=|k1-k2|/(1+k1k2)=1，解得x=2或x=0（舍去）。四边形AEBF的面积=△ABE+△BFC=1/2×2×1+1/2×1×1=2。二、代数综合题题目4（15分）：解：令t=x^2，则t^2-6t+5=0，解得t=1或t=5。当t=1时，x^2=1，x=±1，x^4+2x^2+1=4；当t=5时，x^2=5，x=±√5，x^4+2x^2+1=31。答案为4或31。题目5（15分）：解：f(a)=a^2+(1-a)^2=2a^2-2a+1=2(a-1/2)^2+1/2。最小值为1/2，当a=1/2时取到。题目6（15分）：解：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，f(4)=3×2×1=6。三、组合与计数题题目7（15分）：解：分类讨论：1.5个数字为1,2,3,4,5；2.1,2,3,4,6；3.1,2,3,4,7；……（共10种）4.2,3,4,5,6；……（共8种）总数为C(5,5)+C(5,4)+……=56种。题目8（15分）：解：马走“日”字格的周期为6步，64步可分组为10组余4步。走法总数为(8!/(4!4!))×2^4=7040种。题目9（15分）：解：正十二面体有20个顶点，每个顶点相邻5个面。染色方案数为2×(1-1/2)^20=2/11≈0.18（非整数需修正）实际为2×(1-1/2)^12×(1-1/3)^8=0.348（近似值）四、数论问题题目10（15分）：解：当n=1时，1^2+1+41=43（质数）；当n=2时，4+2+41=47（质数）；当n>2时，n^2+n+41=(n+1)^2+(n+1)-40，必为合数。答案为n=1或2。题目11（15分）：解：15=1+14=2+13=3+12=4+11=5+10=6+9=7+8，互质组合为(1,14),(2,13),(4,11),(5,10),(7,8)。题目12（15