五年级数学下册《因数与倍数》单元起始课教学设计-在数与形的探索中建构意义

五年级数学下册《因数与倍数》单元起始课教学设计——在数与形的探索中建构意义一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域第二学段明确提出，要使学生“探索并掌握倍数和因数的特征，知道2、3、5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数，了解公因数和最大公因数”。本单元“因数与倍数”是学生从对“数”的运算（如整数乘除法）认识，转向对“数”的内部关系与结构探索的关键节点，在整数知识体系中起着承上启下的枢纽作用。其核心概念（因数、倍数、质数、合数等）是后续学习分数通分、约分以及代数思想的重要基石。从学科思想方法看，本单元蕴藏着丰富的数形结合与分类讨论思想。例如，借助长方形拼摆理解因数意义，通过百数表探究倍数特征，均是引导学生将抽象数学关系可视化的经典路径。在素养导向上，本课教学超越对概念定义的机械记忆，着力培养学生的数感与推理意识。学生通过操作、观察、归纳、概括，感受数与数之间有序、奇妙的联系，理解数学概念间的相互依存性，从而体会数学的严谨性与内在和谐之美，发展初步的逻辑思维能力。五年级学生已熟练掌握整数四则运算，具备了较好的抽象思维基础，但对“关系性”概念（如因数与倍数是相互依存的一对概念）的理解仍可能存在困难。常见的认知误区包括：将因数、倍数视为孤立概念；认为一个数的因数个数与其数值大小直接正相关；混淆因数与乘法算式中的“乘数”。基于“以学定教”原则，本课设计将前测活动融入导入环节，通过“用给定数量小正方形拼长方形”的任务，迅速诊断学生关于“数的可分性”的已有经验与思维水平。在教学进程中，将通过层次性提问（如“你是怎样找到所有因数的？”“一个数的倍数有多少个？为什么？”）和针对性巡视，动态捕捉学生的思维轨迹与共性困惑，并及时调整教学节奏与支架。对于概念理解较快的学生，将引导其探索数的因数个数规律等拓展内容；对于需要更多支持的学生，则通过操作具象化、同伴互助及教师个别指导，帮助其建立清晰的表象认知，确保不同思维进度的学生都能在最近发展区内获得提升。二、教学目标知识目标：学生能在具体操作与思考中，理解因数与倍数的意义，掌握求一个数的因数与倍数的方法。他们能清晰表述因数与倍数之间相互依存的关系，并能运用概念判断给定的两数是否存在因数与倍数关系，从而构建起关于数的整除性的初步知识结构。能力目标：学生通过动手拼摆长方形、在数轴上标倍数、观察百数表等探究活动，发展几何直观与空间观念，提升从具体操作中抽象出数学规律的能力。他们能运用有序思考的方法，不重复、不遗漏地找出一个数的全部因数，并能流畅、有条理地表达自己的发现与推理过程。情感态度与价值观目标：学生在合作探究与交流分享中，体验到数学活动的探索乐趣与成功的喜悦。通过了解完美数等数学文化，感受数学的奇妙与严谨，激发对数学内在美的欣赏和进一步探究数学奥秘的好奇心与求知欲。科学（学科）思维目标：重点发展学生的分类思想与归纳推理能力。引导学生对“如何找因数”的方法进行优化与分类（如成对寻找），对因数的个数特征进行观察与初步归纳。通过设计“一个数的倍数有什么特点”的问题链，驱动学生从有限推向无限，进行合情推理。评价与元认知目标：引导学生学会使用“有序思考”这一策略进行自我监控与评估，反思自己寻找因数的方法是否完整、高效。在课堂小结环节，鼓励学生对比“因数”与“倍数”特征的异同，建立知识之间的联系，初步形成结构化的认知习惯。三、教学重点与难点教学重点：理解因数与倍数的意义及其相互依存关系。确立依据：因数与倍数的概念是整个单元知识网络的基石与核心“大概念”。后续质数、合数、公因数、公倍数的认识均建立在此概念基础之上。从学科能力看，理解相互依存的关系是培养学生逻辑思维和数学表达严谨性的关键一步，也是学生从学习“运算”转向理解“关系”的重要标志。准确把握这一重点，方能确保单元学习的顺利推进。教学难点：理解因数与倍数概念的相互依存性；探索并掌握有序、完整地求一个数的因数的方法。预设依据：“相互依存”是一种抽象的逻辑关系，学生容易将其理解为两个独立的名称，常出现“8是倍数”或“4是因数”这类表述不完整的错误，这源于其思维从具体数字转向抽象关系的跨越存在难度。此外，寻找一个数的全部因数需要有序思考和一定的策略（如从1开始试除、成对出现），学生易出现遗漏或重复，这既是思维的难点，也是培养思维严谨性的重要契机。突破方向在于充分利用数形结合，借助乘法算式或拼图活动将关系可视化，并通过对比辨析、反例质疑强化概念的完整性。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含百数表动态演示、数轴工具）、实物投影仪。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含前测任务、探究记录表、分层练习）、数字卡片（130）。1.3环境布置：将学生分为46人异质小组，便于合作探究。黑板划分为核心概念区、探究方法区、学生生成区。2.学生准备2.1学具：每人12个大小相同的正方形纸片（或方格纸）、直尺、彩笔。2.2预习要求：回顾乘法算式中各部分的名称；尝试用12个小正方形拼成不同的长方形，并记录下长和宽。五、教学过程第一、导入环节1.情境激活，诊断前知：“同学们，课前让大家尝试用12个小正方形拼长方形，都成功了吗？谁来分享一下你的拼法，并说说拼出的长方形‘长’和‘宽’分别是几个小正方形？”（学生展示，教师板书如：长12宽1，长6宽2，长4宽3）。“大家看，同样是12个小正方形，因为拼法不同，长和宽就不同。这里面藏着什么数学秘密呢？”2.关联旧知，提出问题：“如果我们把每一种拼法用一个乘法算式表示出来，会是怎样的？”（引导学生说出：12×1=12,6×2=12,4×3=12）。教师强调：“这些算式都表示将12进行了一种‘分解’。今天，我们就来深入研究这种数与数之间特殊的‘分解’与‘倍出’的关系，认识两个新朋友——‘因数’和‘倍数’。”3.明确路径：“本节课，我们将通过‘摆一摆’认识因数与倍数，通过‘找一找’探索它们的特征，最后‘用一用’解决一些有趣的问题。请大家准备好你们的小正方形和善于发现的眼睛，我们一起出发！”第二、新授环节任务一：操作感知，初识概念教师活动：首先聚焦12个小正方形。“请大家再次动手，确认是否只有这3种拼法？想一想，为什么长是5、7就拼不成？”引导学生感受“整除”的雏形。接着，教师指着算式4×3=12，用规范语言示范：“在数学上，我们就说，4和3都是12的因数，反过来，12是4的倍数，也是3的倍数。”随后，请学生模仿此表述，说说6×2=12和12×1=12中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。学生活动：动手操作验证，思考并回答教师提问。聆听教师规范表述，并模仿练习，尝试用因数、倍数的语言描述另外两个乘法算式中的关系。同桌之间互相说一说，互相纠正。即时评价标准：1.操作是否有序，能验证三种情况。2.语言表述是否完整、规范（必须说清“谁是谁的……”）。3.倾听同伴发言时，能否判断其表述的正误。形成知识、思维、方法清单：★因数和倍数的定义：在整数乘法算式a×b=c(a,b,c均为非零自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。教学提示：强调“整除”是前提，但初期可通过乘法算式引入，更直观。▲概念的相互依存性：因数和倍数是成对出现的，不能单独说某个数是因数或倍数。必须指明“谁是谁的”。认知说明：这是概念理解的第一个关键点，需通过大量正例表述和反例辨析（如“6是因数”对吗？）来强化。任务二：数形互译，深化理解教师活动：提出探究问题：“我们已经知道了12的因数有1,2,3,4,6,12。那么，怎样才能不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数呢？以数字18为例，请大家开动脑筋。”教师提供探究支架：1.可以尝试用18个小正方形拼长方形（想象或画示意图）。2.可以思考哪些整数相乘等于18。巡视指导，关注不同策略的学生。学生活动：独立思考或小组讨论寻找18的所有因数。有的学生通过画长方形格子图，有的通过列乘法算式（1×18,2×9,3×6）来寻找。尝试总结自己寻找的方法。即时评价标准：1.寻找过程是否有序（如从1开始尝试）。2.找到的因数是否完整。3.能否将自己的方法清晰地讲给同伴听。形成知识、思维、方法清单：★找一个数的因数的方法：①列乘法算式，从1开始，一对一对地找；②列除法算式，看哪些整数除得尽。教学提示：鼓励学生体验不同方法，但最终引导向“有序思考”的策略优化。★一个数因数的表示与特征：一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。可以用集合图有序列举。认知说明：引导学生观察18的因数（1,2,3,6,9,18），感受其“成对出现”的对称美和有限性。任务三：辨析关系，把握本质教师活动：组织对比辨析。“找一个数的因数和找一个数的倍数，感觉一样吗？我们来试试找2的倍数。”教师在数轴上动态标出2，4，6，8…“2的倍数找得完吗？这和我们找因数时的发现有什么根本不同？”引导学生对比“有限”与“无限”。接着，出示判断题：“(1)因为15÷5=3，所以15是倍数，5是因数。(2)6是2的倍数，也是3的倍数。(3)一个数的倍数一定比它的因数大。”组织辩论。学生活动：观察数轴上倍数的生成，感受其无限性。对比因数特征，思考差异。积极参与辨析讨论，对判断题发表观点并说明理由，特别是第(3)题，可通过举例（如6的最小倍数是6，最大因数是6）来推翻结论。即时评价标准：1.能否准确指出判断题错误的原因。2.在辩论中，举例是否恰当，推理是否有据。3.能否清晰说出因数与倍数在“个数”和“大小关系”上的核心区别。形成知识、思维、方法清单：★找一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非零自然数1,2,3…。一个数的倍数有无数个，最小的是它本身，没有最大的倍数。教学提示：联系乘法口诀和数轴，直观呈现“无限”。▲因数与倍数的核心区别（个数）：因数个数有限，倍数个数无限。这是区分两个概念的关键特征之一。认知说明：通过对比，深化对概念本质属性的理解，构建知识网络。任务四：探索特性，发现规律教师活动：发起挑战：“看来大家都掌握了方法。现在我们来玩一个‘因數探秘’游戏。请各小组分别研究这几个数：1,4,9,11,16,24。完成两个任务：1.找出它们所有的因数。2.观察这些数的因数个数，你能试着将它们分分类吗？看哪个小组的发现最有意思。”教师提供记录表，并参与小组讨论。学生活动：小组分工合作，寻找指定数的因数，并记录。观察、讨论因数的个数特征，尝试进行分类（如：只有1和本身两个因数的；超过两个因数的；因数个数是奇数的等）。即时评价标准：1.小组分工是否明确，合作是否有效。2.记录是否准确、清晰。3.分类标准是否合理，能否初步感知质数、合数及完全平方数因数的特性。形成知识、思维、方法清单：▲因數個數的初步規律：像4、9、16這樣可以寫成兩個相同整數相乘的數（完全平方數），其因數的個數是奇數個；其他數的因數個數是偶數個。教學提示：此為拓展性發現，為後續學習質數、合數埋下伏筆，激發探究興趣。★分類思想的初步滲透：根據一個數因數的個數，可以對自然數（非零）進行分類。認知說明：這是數學重要的思想方法，引導學生從“找”因數上升到“觀”特徵，進行初步的歸納與概括。任务五：联系生活，初探应用教师活动：呈现生活情境：“学校合唱队要排一个长方形的队形，人数正好是30人。可以排成每排几人，一共几排？（要求每排人数大于1）”“你们能用今天学的知识解决吗？这其實是在找30的什麼数？”进一步拓展数学文化：“数学中，像6这样，它的所有真因数（除了本身以外的因数）之和等于它本身（1+2+3=6），被称为‘完美数’。你们能验证一下28是不是完美数吗？”学生活动：应用求因数的方法，找出30的所有因数对（1和30除外），即为可能的排法。尝试计算28的真因数之和（1+2+4+7+14），验证其是否为完美数，感受数学的神奇。即时评价标准：1.能否将排队问题正确转化为数学问题（找30的因数）。2.能否理解“完美数”验证的含义并准确计算。形成知识、思维、方法清单：▲因数的应用：解决诸如排队、分组、包装等涉及“平均分”且要求“整除”的实际问题。教学提示：建立数学与生活的联系，体现数学的应用价值。▲数学文化渗透：了解“完美数”等背景知识，拓宽数学视野，感受数学的历史与魅力。认知说明：情感态度价值观目标的自然达成点，提升数学学习的内在动力。第三、当堂巩固训练教师分发分层练习学习单。A组（基础巩固）：1.根据算式，说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。20÷4=5；7×8=56。2.写出24的全部因数。3.写出5的倍数（5个）。B组（综合应用）：1.判断：(1)一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。(2)1是所有非零自然数的因数。2.一个长方形面积是36平方厘米，且长和宽都是整厘米数，可以有多少种不同的形状？C组（挑战探究）：1.猜数游戏：我是18的因数，又是3的倍数，但我不是18。我是谁？2.探索：一个数是42的因数，同时也是7的倍数，这个数可能是多少？你能找到所有可能吗？反馈机制：学生独立完成约8分钟。随后，采用“同伴互评”方式，小组内交换A组题答案，对照投影上的标准答案进行核对、讲解。B组和C组题由教师组织全班讲评，重点讲解B组第2题（找36的因数对）的解题思路，并请不同解法的学生展示。C组题鼓励学有余力的学生分享其思考过程，特别是如何有序地找到满足两个条件的数（即找42与7的公倍数，且是42的因数）。第四、课堂小结“同学们，今天的探索之旅就要告一段落了。现在请大家静心回顾，你能用自己喜欢的方式（比如知识树、气泡图或简单的几句话），梳理一下本节课你学到了哪些核心知识、方法或感悟吗？”给予学生2分钟自主整理时间，随后邀请几位学生分享。教师进行升华总结：“看来大家收获颇丰。我们不仅认识了相互依存的好朋友——因数和倍数，掌握了有序寻找它们的方法，还发现了因数个数有限的‘内敛’与倍数世界无限的‘宽广’。更重要的是，我们体验了从操作中发现问题，通过思考归纳规律的完整过程。这就是数学学习的魅力所在。”作业布置：1.必做（基础）：完成练习册对应基础习题。2.选做（拓展）：（1）研究数字“28”，它除了可能是完美数，它的因数还有什么特点？（2）利用百数表，圈出3的倍数，观察它们个位上的数有规律吗？你有什么猜想？我们下节课一起来揭秘。六、作业设计基础性作业（全体必做）：1.课本第X页“练一练”第1、2、3题。旨在巩固因数、倍数概念的基本表述和简单寻找。2.写出下列各数的所有因数：15，28，32。3.写出下列各数的5个倍数：4，9，11。拓展性作业（建议大多数学生完成）：1.生活小调查：请观察你的学号（假设为150之间的自然数），它是否是2的倍数？是否是5的倍数？尝试找出你学号的所有因数。2.数学日记：以“我眼中的因数与倍数”为题，写一篇简短的数学日记，可以描述你的理解、学习过程中遇到的困惑或有趣的发现。探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：1.完美数探秘：通过查阅资料或计算，找出第三个完美数（提示：在496以内）。你能发现前三个完美数（6，28，496）的末尾数字有什么规律吗？（激发进一步探究兴趣）2.设计一道题：模仿课堂上的“猜数游戏”或“排队问题”，自主设计一道关于因数与倍数的趣味题，并附上答案和解析，明天考考你的同学或老师。七、本节知识清单及拓展★1.因数与倍数的定义：在整数乘除法中，若a×b=c（a,b,c均为非零自然数），则a、b是c的因数，c是a、b的倍数。也可表述为：如果c÷a=b且没有余数，则a是c的因数，c是a的倍数。（概念基石）★2.概念的相互依存性：因数与倍数描述的是两个数之间的一种关系，必须成对出现，表述要完整。例如，只能说“3是12的因数”，“12是3的倍数”。（易错点）★3.求一个数的因数的方法：①列乘法算式，从1×本身开始，成对寻找；②列除法算式，看哪些整数能整除它。核心策略是有序思考，避免遗漏。★4.一个数因数的特征：一个数的因数个数是有限的；其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。★5.求一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非零自然数1，2，3…。（联系乘法口诀）★6.一个数倍数的特征：一个数的倍数个数是无限的；其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。▲7.因数与倍数的区别（个数）：最核心的区别在于个数：因数有限，倍数无限。这是判断和辨析概念的关键依据。▲8.1的特殊性：1是所有非零自然数的因数，且1只有一个因数（它本身），因此1既不是质数也不是合数（为后续学习铺垫）。▲9.完全平方数的因数特征：像4、9、16、25…这样能写成某个自然数平方的数，其因数个数为奇数个，因为其中有一个因数（平方根）重复乘了一次。▲10.应用：解决整除性问题：如分组、排列、铺地砖等问题中，涉及“平均分且正好分完”的条件，通常转化为寻找相关数的因数问题。▲11.数学文化链接——完美数：一个数如果等于除了它自身以外的全部因数之和，则称其为“完美数”。最小的完美数是6（1+2+3=6），其次是28。完美数稀少而奇妙。▲12.有序思考的价值：无论是找因数还是找倍数，有序（从小到大）是确保不重不漏、提高效率的根本思想方法，应贯穿学习始终。（方法论）八、教学反思一、目标达成度分析（一）从课堂观察与巩固练习反馈来看，绝大多数学生能正确判断两数间的因数、倍数关系，并能用规范语言表述，知识目标基本达成。在“找一个数的因数”任务中，约80%的学生能表现出有序思考的倾向，能力目标中的“有序、完整”要求得到了较好落实。（二）情感与思维目标渗透于各环节。学生在拼摆、猜数、探究完美数时表现出浓厚兴趣，小组合作中能进行有效讨论。通过对比因数与倍数的特征，学生的分类与比较思维得到了锻炼。然而，推理意识的深度发展（如从“因数的有限性”推理“为什么一个数的因数最大是它本身”）在部分学生中尚显不足，多停留于记忆结论层面。二、核心环节有效性评估（一）导入与任务一的“操作算式概念”三步走设计效果显著。学生从具象拼摆自然过渡到抽象概念，降低了理解门槛。我听到有学生小声说：“原来因数就藏在长方形的长和宽里啊！”这种顿悟是概念建构的关键。（二）任务二与任务三的对比设计是本节课的亮点。将“找因数”与“找倍数”的方法、特征进行对比辨析，促使学生从关联与差异中深化对概念本质的理解。但时间把控需更精准，小组讨论倍数“无限性”时，个别组偏离主题，未来需提供更聚焦的讨论提纲。（三）分层练习与反馈环节基本满足了不同层次学生的需求。A组题通过同伴互评高效完成纠错；B、C组题的讲评吸引了中上层学生的深度参与。反思内心：“对于后进生，在小组互评时，我是否应走到他们身边，再提供一次个别化指导？”三、学生表现深度剖析（一）优势：学生普遍乐于动手操作，数形结合的直观方式很好地支撑了抽象概念的理解。在寻找因数方法上，部分学生自发采用了“成对找”的策略（如找18的因数，找到2就想到9），展现了良好的数感和思维灵活性。（二）共性问题：尽管反复强调，仍有约20%的学生在课堂发言或练习中，出现“8是倍数”这类表述不完整的错误。这表明“关系性”思维的建立非一蹴而就，需要在后续课程中不断通过提问、反例进行强化。（三）差异化关照的再思考：对于提前找出规律（如完全平方数因数个数为奇）的学生，课上仅给予了口头表扬，未能提供更具挑战性的延伸材料（如：“你能证明为什么吗？”）