安徽省淮南市寿县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（解析版）

安徽寿县部分学校联考学年上学期九年级1月期末数学试卷一、选择题：本题共小题，每小题4分，共分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数中，是二次函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式（其中）是解题的关键．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数．检查各选项，只有选项B符合此定义．【详解】解：二次函数要求自变量的最高次数为2，且系数不为0．选项A：，的最高次数为1，是一次函数；选项B：，的最高次数为2，且系数，符合定义；选项C：，分母有未知数，不是二次函数；选项D：，分母有未知数，不是二次函数；故选：B．2.关于的函数的图象与轴有四个不同的公共点，则的取值范围是（）A.且B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先根据绝对值的意义将整理为，根据图象与轴有四个不同的公共点得到判别式，代入列出不等式组求解即可．【详解】解：∵第1页/共25页∴，由题意得，且当时，，即，解得：．故选：．【点睛】此题考查了绝对值的意义，二次函数的判别式和与x轴交点的关系，解题的关键是熟练掌握．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3.长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键．【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形，∴折起后，长方体底面的长为，宽为，∴，又∵，且，，∴，∴函数关系式为，故选：．4.已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）第2页/共25页A.图象的开口向上B.图象的顶点坐标是C.当时，随的增大而减小D.函数有最大值为【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质．将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值．【详解】解：，，∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，函数最大值为；故D正确．故选：D．5.如图，已知直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【详解】解：∵，，，故选：D．6.如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）第3页/共25页A.B.C.D.【答案】A【解析】DE＝CECF＝DFAD＝2kDB＝3k性质即可解决问题．详解】解：设AD＝2k，则DB＝3k，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝5k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA＋∠FDB＝120°，又∵∠EDA＋∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，由折叠得CE＝DE，CF＝DF，∴△AED的周长为7k，△BDF的周长为8k，∴△AED与△BDF的相似比为7：8，∴CE：CF＝DE：DF＝7：8．故选：A．【点睛】主要考查了翻折变换性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似三角形的周长之比等于相似比，学会根据条件用字母表示相应的线段长度．7.是以坐标原点O的坐标分别为第4页/共25页．若的长为3，则的长为（）A.B.4C.D.5【答案】C【解析】【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据位似图形的性质得到，证明，即可求解．【详解】解：五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为∴，∵，∴，∴，∵，∴，故选：C．8.中，是角平分线，，的值是()第5页/共25页A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义；根据等腰三角形的性，而即可求解．【详解】解：，，平分，，，，过点作，平分，，，即：，解得：，，第6页/共25页故选D．9.°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（）A.4米B.（2+2）米C.（4﹣4）米D.（4﹣4）米【答案】D【解析】【分析】在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题．【详解】在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°，∴CM=MB•tan30°=12×=4，在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°，∴∠MAD=∠MDA=45°，∴MD=AM=4米，∴CD=CM-DM=（4-4）米，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型．10.如图，在中，，，为上任意一点，为的中点，连接在上且，连接，则的最小值为（）第7页/共25页A.B.C.D.【答案】C【解析】三点共线的时，的值最小即可解答．【详解】解：取的中点，∵为的中点，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，当三点共线的时，的值最小∴，故选．【点睛】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共分．的图象上有两点A和Ba和bA作y第8页/共25页轴平行线，过点B作x轴平行线，交于点C，连接，若面积为2，则_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键.延长交轴于点，根据条件可得，继而，利用反比例函数k值的几何意义进行解答即可.【详解】解：延长交轴于点，∵点和点，横坐标分别是和，且，，∵轴，面积为，，，∵点在反比例函数图象上，∴，∵反比例函数在第二象限，，第9页/共25页故答案为：12.如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段AB和线段CD表示两根电线杆，线段AD和BC表示两根拉紧的铁丝，AD和BC交于点PP距地面的高度为3CD的长为______米．【答案】12【解析】【分析】过点作的垂线，交于点，证明，，即可得到，，根据，即可求出的长度．【详解】解：过点作的垂线，交于点，如图所示∵，∴∴由题意可得：米，米∴∴∵，∴∴第10页/共25页∴∵∴∵∴∴米故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，找到等量关系，联立方程是解答本题的关键．13..的顶点都在格点上,则的正弦值是__________．【答案】【解析】【详解】分析：先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．详解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==．故答案为．点睛：本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．14.如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶3海里到处，再从处向正东方向行驶5海里到处，此时这艘船与出发点处相距__________海里.第11页/共25页【答案】【解析】【分析】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出，解答．根据直角三角形的三角函数得出，，进而得出，利用勾股定理得出即可．【详解】解：如图：，，，海里，海里，海里，故答案为：．三、解答题：本大题共9小题，共分．15.计算：．【答案】【解析】第12页/共25页【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值运算即可．【详解】解：．16.【答案】y=-x2+4x-3【解析】【详解】试题分析：根据题意设出抛物线的解析式为y=a（x-2）2+k．把A（1，0B（0，-3）的坐标代入，利用待定系数法求得即可．试题解析：设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+k.把A(1,0),B(0,−3)的坐标代入,得解得.∴y=−(x−2)2+1=−x2+4x−3.即这个二次函数的解析式为y=−x2+4x−3.17.如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且．求证：．【答案】见解析【解析】第13页/共25页对应的角相等的两个三角形相似”即可得到结论．【详解】证明：∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．18.足球训练中球员从球门正前方9米的离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式；（2）已知球门高为【答案】（1）（2）球能射进球门【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键．（1）根据题意可知抛物线的顶点坐标为，故可设抛物线的函数表达式为，把第14页/共25页代入函数表达式即可解答；（2）把代入函数表达式即可求出y的值，然后做出判断即可．【小问1详解】解：由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线，把点代入得：，解得，抛物线的函数表达式为；【小问2详解】当时，，球能射进球门．19.如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为．（1）求证：点是弧的中点；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理．（1）连接，证明，即可证明点是弧的中点；（2）连接，证明，列出比例式，计算即可．【小问1详解】证明：连接，第15页/共25页∵，∴；∵是的切线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点C是弧中点；【小问2详解】解：连接，∵为的直径，∴；∵∴，∴，∵；∴，第16页/共25页∴，∵，，∴，∴故．20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点．（1）求抛物线和直线的函数表达式；（2）点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；（32位于直线的坐标．【答案】（1）；；（2）；（3）．【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为；第17页/共25页（2）过作轴交于，设，则，故，根据二次函数性质可得答案；（3）过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，，即得，用待定系数法得直线函数表达式为，联立方程组，即可解得点的坐标．【小问1详解】解：把、，代入，可得，解得，抛物线的函数表达式为；设直线的函数表达式为，把代入得，，解得，，直线的函数表达式为；【小问2详解】解：过作轴交于，如图所示：第18页/共25页设，则，，，，当时，取最大值，此时的坐标为；【小问3详解】解：直线下方存在点，使得，理由如下：过作交的延长线于作作于作于，如图所示：由（2）知，，，，，是等腰直角三角形，，，第19页/共25页，，，，，，设直线的解析式为，把、的坐标代入可得，，解得：直线的解析式为：，则解得，或的坐标为．21.小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角，，，，，；，，）第20页/共25页【答案】大楼的高度约为．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形，∴，∵，∴，设，中，，∴，第21页/共25页在中，，∴，∴，∴，∴，答：大楼的高度约为．22.如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上．（1）证明：△AEF∽△BFC．（2）若AB=，BC=1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连结PE，PC．①求线段DQ的长．②试判断△PCE的形状，并说明理由．【答案】（12）2-3）等腰直角三角形．【解析】1）根据折叠的性质知，从而得出，转化得到相似；（2）连接EQ，根据AB=，BC=1计算出BF的长度，从而判断都是等腰直角三角形，算出AF、DE的长度，再根据PQ是CE的垂直平分线得出EQ=CQ，设，则，解直角三角形算出x即可；（3）设，则，根据利用勾股定理建立等量关系解出再证明全等即可．1）∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE∴∴又∵第22页/共25页∴∴△AEF∽△BFC（2）①连接EQ，PQ是CE的中垂线，如图：∵AB=，BC=1，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，四边形ABCD是矩形∴∴都是等腰直角三角形∴设，则，在直角三角形DEQ中：，解得：故DQ的长为