2026届上海市复旦大学附中浦东分校高二上数学期末联考试题含解析

2026届上海市复旦大学附中浦东分校高二上数学期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有下列四个命题，其中真命题是（）A.， B.，，C.，， D.，2．原点到直线的距离的最大值为（）A. B.C. D.3．如图，某铁路客运部门设计的从甲地到乙地旅客托运行李的费用c（元）与行李质量w（kg）之间的流程图．已知旅客小李和小张托运行李的质量分别为30kg，60kg，且他们托运的行李各自计费，则这两人托运行李的费用之和为（）A.28元 B.33元C.38元 D.48元4．设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（）A.4 B.C. D.25．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里6．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为（）A. B.C. D.7．如图，在三棱锥中，点E在上，满足，点F为的中点，记分别为，则（）A. B.C. D.8．若双曲线的渐近线方程为，则实数a的值为（）A B.C.2 D.9．抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，灶深CD即焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为1m，则灶口直径AB为（）A.2m B.3mC.4m D.5m10．抛物线的焦点到其准线的距离是（）A.4 B.3C.2 D.111．在中，已知角A，B，C所对的边为a，b，c，，，，则（）A. B.C. D.112．已知直线过点，，则该直线的倾斜角是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列，点在函数的图象上，则数列的前10项和是______14．抛物线的准线方程是______15．执行如图所示的程序框图，则输出的结果________16．抛物线的焦点坐标为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知公差不为的等差数列的首项，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.18．（12分）“既要金山银山，又要绿水青山”.滨江风景区在一个直径为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点与圆弧上的一点（不同于A，B两点）之间设计为直线段小路，在直线段小路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再从点到点设计为沿弧的弧形小路，在弧形小路的内侧（注意是一侧）种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.（1）设(弧度)，将绿化带总长度表示为的函数；（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：，其中为弧所对的圆心角)19．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过点且与椭圆E交于两点.求的最大值.20．（12分）已知函数（1）若，求曲线在处的切线方程（2）讨论函数的单调性21．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，经过左焦点的直线与椭圆交于A，B两点（异于左右顶点）（1）求△的周长；（2）求椭圆E上的点到直线距离的最大值22．（10分）人类社会正进入数字时代，网络成为了必不可少的工具，智能手机也给我们的生活带来了许多方便.但是这些方便、时尚的手机，却也让你的眼睛离健康越来越远.为了了解手机对视力的影响程度，某研究小组在经常使用手机的中学生中进行了随机调查，并对结果进行了换算，统计了中学生一个月中平均每天使用手机的时间x（小时）和视力损伤指数的数据如下表：平均每天使用手机的时间x（小时）1234567视力损伤指数y25812151923（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程.（2）该小组研究得知：视力的下降值t与视力损伤指数y满足函数关系式，如果小明在一个月中平均每天使用9个小时手机，根据（1）中所建立的回归方程估计小明视力的下降值（结果保留一位小数）.参考公式及数据：，..

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】对于选项A，令即可验证其不正确；对于选项C、选项D，令，即可验证其均不正确，进而可得出结果.【详解】对于选项A，令，则，故A错；对于选项B，令，则，显然成立，故B正确；对于选项C，令，则显然无解，故C错；对于选项D，令，则显然不成立，故D错.故选B【点睛】本题主要考查命题真假的判定，用特殊值法验证即可，属于常考题型.2、C【解析】求出直线过的定点，当时，原点到直线距离最大，则可求出原点到直线距离的最大值；【详解】因为可化为，所以直线过直线与直线交点，联立可得所以直线过定点，当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，此时最大值为，故选：C.3、D【解析】根据程序框图分别计算小李和小张托运行李的费用，再求和得出答案.【详解】由程序框图可知，当时，元；当时，元，所以这两人托运行李的费用之和为元.故选：D4、A【解析】求出点关于坐标原点的对称点是B，再利用两点之间的距离即可求得结果.【详解】点关于坐标原点的对称点是故选：A5、B【解析】根据题意，记该人每天走的路程里数为，分析可得每天走的路程里数构成以的为公比的等比数列，由求得首项即可【详解】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为，则数列是以的为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即，则有，解可得：，故选：B.【点睛】本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用.6、B【解析】基本事件总数，再利用列举法求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件的个数，由此能求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率【详解】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数之和，基本事件总数，点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件有：，，，，，，，，共8个，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为故选：B7、B【解析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱锥用表示出即可.【详解】由题设，，，，.故选：B8、D【解析】由双曲线的渐近线方程结合已知可得.【详解】双曲线方程为所以渐近线为，故，解得：.故选：D9、C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据是抛物线的焦点，求得抛物线的方程，进而求得的长.【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合，设抛物线的方程为，由题意可得是抛物线的焦点，即，可得，所以抛物线的方程为，当时，，所以.故选：C.10、C【解析】由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2.故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.11、B【解析】利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故选：B.12、C【解析】根据直线的斜率公式即可求得答案.【详解】设该直线的倾斜角为，该直线的斜率，即.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将点代入可得，从而得，再由裂项相消法可求解.【详解】由题意有，所以，所以数列的前10项和为：.故答案为：14、【解析】由题意可得p=4,所以准线方程,填15、132【解析】根据程序框图模拟程序运行，确定变量值的变化可得结论【详解】程序运行时，变量值变化如下：，判断循环条件，满足，，；判断循环条件，满足，，；判断循环条件，不满足，输出故答案为：13216、【解析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解.【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于实数的等式，结合可求得的值，由此可得出数列的通项公式；（2）利用裂项求和法求出，解不等式即可得出结果.【小问1详解】解：设等差数列公差为，则，由题意可得，即，整理得，，解得，故.【小问2详解】解：，所以，，由得，可得，所以，满足成立的最大的正整数的值为.18、（1）；（2）.【解析】（1）在直角三角形中，求出，在扇形中利用弧长公式求出弧的长度，则可得函数；（2）利用导数可求得结果.【详解】（1）如图，连接在直角三角形中，所以由于则弧的长为（2）由（1）可知，令得，因为所以，当单调递增，当单调递减，所以当时，使得绿化带总长度最大.【点睛】关键点点睛：仔细审题，注意题目中的关键词“两侧”和“一侧”是解题关键.19、（1）（2）【解析】（1）设椭圆的左，右焦点分别为，．利用椭圆的定义求出，然后求解，得到椭圆方程；（2）当直线的斜率存在时，设，，，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式得到弦长的表达式，再通过换元利用二次函数的性质求解最值即可【小问1详解】依题意，设椭圆的左，右焦点分别为，则，，，，椭圆的方程为【小问2详解】当直线的斜率存在时，设，，，，由得由得由，得设，则，当直线的斜率不存在时，，的最大值为20、（1）（2）答案见解析【解析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率，结合切点可得切线方程；（2）求导后，分别在、和的情况下，根据的正负可得的单调性.【小问1详解】当时，，，，又，在处的切线方程为：，即；【小问2详解】，令，解得：，；当时，，在上单调递增；当时，若或，则；若，则；在和上单调递增，在上单调递减；当时，若或，则；若，则；在和上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用椭圆的定义求△的周长；（2）设直线与椭圆相切，联立方程求参数m，与之间的距离的最大值，即为椭圆E上的点到直线l距离的最大值.【小问1详解】已知椭圆E方程为，所以，△