初中数学几何模型与最值问题09专题-一元二次方程在实际应用中的最值问题(含答案)

初中数学几何模型与最值问题

专题9一元二次方程在实际应用中的最值问题

【应用呈现】

1、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640

万元.

(1)求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；

(2)该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？

请通过计算说明理由.

2、如图，要建造一个四边形花刷A8C。，要求4。边靠墙，CQ_LA。，AD//BC,AB：CD=5：4,且三边

的总长为20m.设AB的长为5xin.

(1)请求A。的长：(用含字母工的式子表示)

⑵若该花圃的面积为50〃尸，且周长不大于30〃?，求人8的长.

【方法总结】

一、一元二次方程判别式求解

1、已知x、y为实数，且满足x+y+"?=5,xy+ym+/ZLV=3,求实数机最大值与最小值,

2、已知m,n是关于x的一元二次方程X2-2tx+t2-2/+4=0的两实数根，则（旭+2）（〃+是的最小值是（)

A.7B.11C.12D.16

二、配方法求最值

1、设。、b为实数，那么。2+4〃+〃-2/?的最小值为

2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点。在A8边上，绕点。旋转，腰。〃

%

和底边OE分别交△CAB的两腰C4,CB于M,N两点，若C4=5,AB=6,AB=\：3,则MQ+--------的

融£砌

最小值为

“夹逼法”求最值

1、不等边三角形AABC的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为

1、国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2017年底有贫困人口1万人，

通过各方面的共同努力，2019年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2017年底至2019年底贫困

人口年平均下降的百分率.

2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元.经调查发现：这种衬衫的售价每降

低I元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元.

（1）降价后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销量为件；（用含x的式子表示）

（2）为了扩大销售，尽快滋少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬

衫应降价多少元？

3、2020仟，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进

程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展.为助力我市脱贫攻坚，

某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，

销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包.

（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为“％,求。的值：

（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若

该农产品礼包每包降价1元，销存量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份

可获利4620元？

6、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙侑，墙。尸足够长，墙。E长为9米，现用

20米长的篱笆围成一个矩形花园ABCO,点C在墙。尸上，点A在墙。E上，（篱笆只围A8,BC两边）.

（I）根据题意填表；

BC（w）1357

矩形A8CD面积（加）

（H）能够围成面积为100，〃2的矩形花园吗？如能说明围法，如不能，说明理由.

专题9一元二次方程在实际应用中的最值问题答案

【应用呈现】

2、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640

万元.

(1)求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；

(2)该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？

请通过计算说明理由.

【解析】(1)设每年平均增长的百分率为x.

60C0(]+幻2=8640,

(14-X)2=L44,

Vl+x>0.

Al+x=1.2,

x=20%.

答：每年平均增长的百分率为20%；

(2)2012年该县教育经费为864DX(1+20%)=10368(万元)〉9500万元.

故能实现目标.

2、如图，要建造一个四边形花圃A8C。，要求边靠墙，CQ_LA。，AD//BC,AB：CD=5：4,且三边

的总长为207n.设AB的长为5xm.

(1)请求4D的长；(用含字母工的式子表示)

(2)若该花圃的面积为50川，且周长不大于30m,求AB的长.

【解析】(1)作〃于点从则A〃=3x,由〃C=O"=20—%得4O=20-6x⑵由2(20—9x)+3x

51525

+9理30得应由如20-9x)+(20—6x)]x4x=50得3好-8X+5=0,・・・xi=3,4=1(舍去)，・・.5x=于•答:

25

A3的长为亍米

【方法总结】

一、一元二次方程判别式求解

1、已知X、y为实数，且满足x+y+m=5,xy+ym+/zir=3,求实数机最大值与最小值,

【解析】由题意得陞+),=5-也

V

xy=3-m(x+y)=3-m(5-m)=nr-5ni+3

所以％、y是关于，的方程产-(5-〃2»+(相2-5m+3)=0的两实数根，所以

A=L-(5-m)]2-4(〃J-5/«+3)>0

B[J3/n2-IO/??-13<0

13

解得—1WmW—

3

13

机的最大值是一，机的最小值是一1。

3

2、已知m,n是关于工的一元二次方程x2-2fx+产-2/+4=0的两实数根，则(6+2)(〃+2)的最小值是()

A.7B.11C.12D.16

【解析】

•・•〃?，〃是关于x的一元二次方程炉-2tx+t2-2什4:0的两实数根，

m+n=2t,mn=t2-2r+4,

(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4=z2+2/+8=(/+!)2+7.

•・•方程有两个实数根，

(-2/)2-4(尸-2/+4)=8/-16>0,

・••仑2,

:.(/+1)2+7>(2+1)2+7=16.

故选

二、配方法求最值

1、设4、力为实数，那么/+。力+/?2-。一2/?的最小值为.

【解析】a?+ab+/—a—2b

=a2+(/?-\)a+b2-2b

,b-l.3,311

=(a+-------)+—b2"——b——

2424

1I。

=(«+^-)2+^0-1)2-1>-1

b-\

当〃+——=0,Z?-l=0,即Q=0,/?=1时,

2

上式等号成立。故所求的最小值为一1。

2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点。在A8i力匕ADEF绕点、D旋转,腰。尸

和底边分别交△CW的两腰C4,C4于M,N两点，若C4=5,44=6,48=1：3,则MZH的

最小值为.

【解析】

1

*.MB=6,AB=\：3,/MD=6x3=2,BD=6-2=4,•••△A8C和△PQE是形状、大小完全相同的两个等腰三

角形，AZA=ZB=ZFDE,由三角形的外角性质得，NAMD+/A=NEDF+NBDN,:.NAMD=/BDN,

必3/D■:也

・•.△AMDS^BON,：.BD£)、，.・・MA・DN=BD・MD=4MD,；,MD+幽:急=MD+3/D=

（加八稿范屈-德）'+•当

JS,即MD=>A时MD+

#£也宓有最小值为二相.故答案为：

三、“夹逼法”求最值

1、不等边三角形A48C的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为

________O

【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h

因为2S，38C=4。=12b=ch,所以a=3/?

又因为C<Q+/?=4〃，代入12/?=”,得12匕<4仍，所以〃>3

又因为c>a—b=2b,代入12b=c/?,得12b>2bh,所以〃<6

所以3<力<6,故整数,?的最大值为5。

2、国家实施“精准扶贫’政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2017年底有贫困人口1万人，

通过各方面的共同努力，2019年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2017年底至2019年底贫困

人口年平均下降的百分率.

【解析】设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x,根据题意得（1-x）2=0.25,

解得：x=0.5=50%或x=1.5（舍去）

答：该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率为50%.

2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元.经调查发现：这种衬衫的售价每降

低I元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元.

（1）降价后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销量为件；（用含x的式子表示）

（2）为了扩大销俘，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬

衫应降价多少元？

【解析】（1）•・•每件衬衫降价x元，

・•・每件衬衫的利润为（50-X）元，销量为（20+件）件.

（2）依题意，得：（50・x）（2D+2x）=1600,

整理，得：x2-40.v+300=0,

解得：即=10,刈=30.

•・•为了扩大销售，尽快减少库存，・・・x=30.

答：每件衬衫应降价30元.

3、2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进

程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展.为助力我市脱贫攻坚，

某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，

销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销俘量达到400包.

(1)若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为“%,求。的值；

(2)若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若

该农产品礼包每包降价【元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份

可获利4620元？

【解析】

(1)设2、3这两个月的月平均增长率为x.

由题意得：256(1+x)2=400,

解得：足=25%,-225%(含去)，

即2、3这两个月的月平均增长率为25%,

即。的值是25；

(2)设当农产品每袋降价〃，元时，该农产品在4月份可获利462()元.

根据题意可得：(40・25・〃?)(400+5/n)=4620,

解得：〃?i=4,〃?2=-69(舍去)，

答：当农产品每袋降价4元时，该农产品在4月份可获利4620元.

4、某商场第一年销售某品牌手机5000部，如果每年的销售量比上年增长相同的百分率x,且第三年比第二

年多销售了1200部，求x的值.

【解析】

依题意，得：5000(1+x)2-5000(1+x)=1200,

整理，得：25A2+25A-6=0,

解得：xi=-^-=20%,X2=T(不合题意，舍去).

bb

答：x的值为20%.

5、某通讯公司规定：一名客户如果一个月的通话时间不超过4分钟，那么这个月这名客户只要交10元通

话费；如果超过A分钟，那么这个月除了仍要交10元通话费外，超过部分还要按每分钟卷元交费.

（I）某名客户7月份通话90分钟，超过了规定的八分钟，则超过部分应交通话费元（用含A的

代数式表示）；

（II）下表表示某名客户8月份、9月份的通话情况和交费情况：

月份通话时间/分钟通话费总数/元

8月份