19.1.2 二次根式的性质（课件）-人教版(2024)八下

人教版（新教材）数学八年级下册第十九章

二次根式19.1.2二次根式的性质1.理解二次根式的三个性质

(a≥0)，

(a≥0)和

(a≥0).会运用二次根式的性质进行有关计算和化简.(重点)2.通过对

的化简，了解分类讨论的思想；利用乘方与开方互为逆运算推导结论

(a≥0)，感受数学知识的内在联系.(难点)3.经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，体验发现的快乐.

数字猜猜猜游戏规则：老师在心里想一个二次根式，比如

，提示信息：这个二次根式的值是一个整数，大家来猜一猜

x

可能是哪些数。如：这个二次根式的值是2，同学们猜

x是多少？如：这个二次根式的值是4，同学们猜

x是多少？追问：二次根式的值可以是

－3吗？

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式

，我们知道：(1)

a为被开方数或式，为保证其有意义，可知

a≥0；(2)

表示一个数或式的算术平方根，可知

≥0.

二次根式的被开方数或式非负二次根式的值非负

【归纳小结】二次根式

的双重非负性例1

已知实数

m，n

满足｜m-

2｜+=0，则

m

=

，n

=

.问题2：我们还学过哪些非负数？答：一个数的绝对值；一个数的偶次幂.

∴m-

2＝0，n-

1＝0.分析：

∴m＝2，n＝1.211.

已知(x－2)²＋

＝0，则

xy的值为

.【练一练】

2.若

＝3－x，则

x的值为

.

－23问题3：根据算术平方根的意义填空：

＝

;

分析：

是3

的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于

3

的非负数.30.50因此，同理，

分别是

0.5，

，0，的算术平方根.

【知识要点】注意：不要忽略

a≥0

这一限制条件.这是使二次根式

有意义的前提条件.a

可以是数，也可以是式.一般地，＝a

(a≥0).

例2

计算：

解析：积的乘方：(ab)2=a2b2

3.计算：【练一练】

分数的乘方：

问题4：填空：

＝

；

20.10【拓展】当

a＞0

时，

当

a＝0

时，

a0

＝a(a≥0).即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.一般地，根据算术平方根的意义：【知识要点】

【思考】当a

为任意实数时，

都有意义.如果上式中的

a

为负实数，那么上式还成立吗？为什么？

不成立.问题5：填空：

＝

；20.1猜想：证明：当

a＜0时，

=-a∵

a＜0，∴

-a＞0，则即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.a(a≥0)，-a(a＜0).【知识要点】

＝|a|＝问题6：如果

a

是任意实数，那么如何化简

？

0(a＝0)，

例3

化简：

4.计算：【练一练】

例4

实数

a、b

在数轴上的对应点如图所示，请你化简：解：由数轴可知

a＜0，b＞0，a

-b＜0，∴

原式

=

|

a

|

-

|

b

|+|

a-

b

|=

-

a

-

b

-

(a

-

b)=

-2a.ab例5

已知

a、b、c是△ABC的三边长，化简：分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a

+

b

+c＞0两边之和大于第三边，b

+

c

-

a＞0，c

-

b

-

a＜0解：∵

a、b、c

是

△ABC

的三边长，∴

a

+

b

+c＞0，b

+

c＞a，b

+

a＞c，∴

原式

=

|

a

+

b

+

c|

-

|

b

+

c

-

a

|

+

|

c

-

b

-

a

|

=

a

+

b

+

c

-

(b

+

c

-

a

)+(b

+

a

-

c)

=

a

+

b

+

c

-

b

-

c

+

a

+

b

+

a

-

c

=

3a

+

b

-

c．从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方，后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数

a的算术平方根的平方表示一个实数

a的平方的算术平方根议一议：如何区别

与

？

返回B返回D返回【点拨】根据数轴可得，b<0，a>0，|b|>|a|,∴a＋b<0，b－a<0，∴原式＝a－(b－a)＋(a＋b)＝a－b＋a＋a＋b＝3a.【答案】A【点思路】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．返回