7.1.1数系的扩充和复数的概念（教学设计）高一数学人教A版（2019）必修 第二册

数系的扩充和复数的概念一、内容分析《数系的扩充和复数的概念》选自人教A版高中数学必修第二册第七章《复数》中7．1《复数的概念》,首先，本节课是在学生经历了由自然数系到实数系的扩充过程的基础上学习的，所以在教学过程要充分重视类比的思想和引入虚数的必要性和合理性；其次，本节课是本章的起始课，要让学生理解复数的有关概念，为后续的学习奠定基础，最后，复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充．本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容．二、学情分析学生已经经历了从自然数系到实数系的扩充过程，但缺乏理性的认识；另一方面，学生初中对数与式的学习有一定基础，但是对于复数的理解仍有一定的困难；通过查阅和介绍数学史资料的方式，经历复数形式化的表达过程，有助于学生的深入理解．三、教学目标1．通过类比从自然数系逐步扩充到实数系的过程与方法，能用自己的语言说明虚数单位的意义并能归纳出数系扩充的基本原则；2．通过具体实例归纳出复数的代数表示,体会数系扩充的基本思想，提升解决简单问题的能力；3．通过从自然数系扩充到复数系的过程，体会理性思维的作用，提升数学抽象素养、逻辑推理素养．四、教学重点、难点教学重点：数系的扩充和复数的概念．教学难点：数系扩充的基本思想和复数的代数表示．五、教学过程环节一创设情境，提出问题问题1:能否找到两个数，使得它们的和为,积为?问题2：从方程的角度看，负实数能不能开平方就是方程是否有解，请同学们思考一下，能不能把这类问题进一步简化呢？【设计意图】从数学家卡尔达诺在其著作《大术》中的著名问题入手，激发学生学习的热情，使其在感受数学家的困惑的同时，引发认知冲突；将复杂问题转化为基本问题，使学生明确关键在于找到(引入)平方等于的数，发现问题的本质，为后续从解方程的角度引入“新数”作好准备，通过创设情境提出本节课研究的主题．问题3：一般来说，把一个数集连同规定的运算法则及满足的运算律称为一个数系．请同学们回顾从自然数系到实数系的扩充过程，每一次数系逐步扩充的原因是什么呢?分别解决了什么实际问题和数学问题？你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？(1)在自然数集中求方程的解；(2)在整数集中求方程的解；(3)在有理数集中求方程的解．学生从两个角度汇报，一组学生侧重汇报解决的实际问题，另一组学生侧重汇报解决的数学问题，师生共同归纳总结出结论．小结：数系扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足结合律．【设计意图】通过梳理数的发展历史，抓住知识的“生长点”和学生的“最近发展区”,使学生了解数的产生以及数系的不断扩充是基于两方面原因：社会生产实践的需要和数学自身发展的需要，总结数系扩充的一般“规则”,为后续实数系的进一步扩充提供方法，进而突破本节课的难点．环节二抽象概念，内涵辨析问题4：方程在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗?【设计意图】引入虚数单位，激发学生的学习兴趣，强化对的认识．问题5:把新引进的数添加到实数集中后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”,对实数系进行进一步扩充．那么,实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成?问题6:你能写出一个形式，把刚才大家所说的数都包含在内，并说明理由吗?【设计意图】引导学生弄清楚复数集和实数集之间的关系以及复数的分类，深化学生对复数集是实数集的“扩充”以及对复数的理解．环节三例题练习，巩固理解问题7:你能用图示法将复数集、实数集、虚数集和纯虚数集的关系形象的表示出来吗？例1．当实数取什么值时，复数是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．【设计意图】通过例题巩固复数的概念和分类标准，使学生在问题解决的过程中，内化复数相关概念，提升学生解决问题的能力．环节四小结提升，形成结构通过本节课的学习，同学们有哪些收获？【设计意图】通过对数系扩充规则、扩充过程以及复数相关概念等知识和方法的总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识，一方面深化对复数知识的理解，另一方面总结研究方法，积累研究数学问题的经验．环节五目标检测，检验效果判断下列说法的正误：若复数，则的虚部为．()若为实数，则为虚数．()若，则为纯虚数．()实数集是复数集的真子集．()若，()【设计意图】检测学生对复数的概念和分类的理解情况．环节六布置作业，应用迁移基础练习：1．说出下列三个复数的实部和虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数请指出是否为纯虚数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；(7)QUOTEi(1-3)2．当实数取什么值时，复数是下列数？实数；（2）虚数；（3）纯虚数．巩固提升：3．当实数为何值时复数为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．4．已知“”是“复数为纯虚数”的（）．（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分且必要条件（D）既不充分也不必要条件5．已知是纯虚数，