1.4 线段的垂直平分线 第2课时同步课件-北师大版(2024)八下课件

北师版-数学-八年级下册第一章三角形的证明及其应用4线段的垂直平分线第2课时三角形三边的垂直平分线情境导入如图，看这些漂亮的折纸，是多么精致的手工啊，大家羡慕吧！今天我们也来上一节折纸课，秀一秀我们的巧手．下列图形具有哪些共同的特征呢？置疑导入问题1：线段垂直平分线的性质定理和判定定理内容是什么？问题2：你能作出三角形三条边的垂直平分线吗？这三条垂直平分线有什么特点？画一画，议一议．性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．探究新知◆活动1

(1)尺规作图作三角形三条边的垂直平分线．三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．思考

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗?能，这样的三角形能画出无数个，因为高的位置可以不同，所以它们不都全等.(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗?能作几个?因为等腰三角形底边上的高的位置是固定的，所在直线只能垂直平分底边，所以能用尺规作出满足条件的等腰三角形，且这样的三角形只有一个.探究新知作法图形已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.△ABC就是所要作的等腰三角形．ahalABChD1．作线段BC，使BC＝a．2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D．3．在l上作线段DA，使DA＝h．4．连接AB，AC．思考：ABMlP如果点P在直线l外呢?此时，还能运用这种转化的方法吗?•还记得用尺规过直线l上一点P作的垂线的方法吗?这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.作法图形已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.ABmlPQ••1.任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁.2.以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B.3.作线段AB的垂直平分线m.直线m就是所要作的直线.为什么直线m经过点P?因为点P到直线上点A，B的距离相等，所以点P一定在线段AB的垂直平分线m上.例1

已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E.求证：边AC的垂直平分线经过点P.分析：要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件?已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论?BACPED证明：如图，连接PA，PB，PC.BACPED∵点P在边AB的垂直平分线上，∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).同理，PB=PC.∴PA=PB=PC.∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线经过点P.跟踪训练1.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B＝_____．2.如图，O是△ABC的三边垂直平分线的交点，如果∠A＝65°，那么∠OBC＝____．30°25°根据线段垂直平分线的性质得到相等的线段，结合等边对等角或全等的证明方法，解决其他相关的综合问题．探究新知例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE.线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．ECBADF解：DE＝BF，DE⊥BF.G理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G.∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，ECBADFG∴∠ABC＝67.5°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC＝DC.又∵CE＝CF，∠BCD＝∠DCE＝90°，∴△ECD≌△FCB(SAS)，∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB.∵∠CFB＋∠CBF＝90°，∴∠CED＋∠CBF＝90°，∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF.跟踪训练3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD.若CD∶BD＝3∶5，则CD的长为______．4.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E.若AE＝3，△ABC的周长为15，则△ABD的周长等于____．96cm已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA＝PB＝PC.PABC探究1【三角形三条边垂直平分线的性质的证明】求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.◆活动2

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．同理，PB＝PC.∴PA＝PB＝PC.∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线经过点P.PABC归纳总结符号语言：∵直线MN，EF，PQ分别垂直平分线段BC，AB，AC，∴直线MN，EF，PQ相交于点O，且OA=OB=OC.三角形三条边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.这个点叫作三角形的外心.

三角形三条边的垂直平分线的交点位置如下：锐角三角形

三角形内部直角三角形

斜边中点钝角三角形

三角形外部锐角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的内部，直角三角形三边垂直平分线的交点位于斜边的中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的外部．上述结论可作为判定三角形类型的依据．探究新知5.如果三角形的两条边的垂直平分线交点在第三条边上，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形6.如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点位于三角形的内部，那么这个三角形是____(填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形．跟踪训练C锐角三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等．常常利用这个定理解决一些选址问题．探究新知探究2【已知等腰三角形的底边及底边上的高，求作等腰三角形．】1．议一议：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？A1DCBAah()DCBAahA1DCBAahA1可以画出无数个三角形(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？11111111已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个，如图.CDAEBO注意：不是底边的垂直平分线上的任意一点都满足条件，底边的中点在底边上，此时不能构成三角形．(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形只有两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图.CABDhh2．尺规作出等腰三角形如图，已知线段a，h，求作△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h.ah作法：（1）作线段BC=a.（2）作线段

BC的垂直平分线l，交BC于点D.（3）在l

上作线段DA，使DA=h.（4）连接

AB，AC.△ABC为所求的等腰三角形.BCDAl探究3【过直线外一点作已知直线的垂线】

ABCDMNPABCDMNP证明：连接AM，AN，PM，PN，易得AM＝AN，PM＝PN，∴点A和点P在MN的垂直平分线上，∴即AP垂直平分MN，∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高．探究新知例3如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P.(1)若∠A＝35°，则∠BPC＝________；(2)若AB＝5cm，BC＝3cm，则△PBC的周长为________cm.ADPBC◆活动3【方法指导】ADPBC(1)70°(2)8(1)∵DP垂直平分AB，∴AP＝BP，∴∠A＝∠ABP，∴∠ABP＝35°，∴∠BPC＝∠A＋∠ABP＝35°＋35°＝70°；(2)∵AB＝AC＝5cm，AC＝AP＋PC，∴AP＋PC＝5cm.∵AP＝BP，∴BP＋PC＝5cm，∴△PBC的周长为BP＋PC＋BC＝5＋3＝8(cm).例4如图，靠河边有一块三角形菜地，要分给甲、乙、丙、丁四家，为了分配合理，需要所分的面积相等，而且每家的菜地都要有靠河边的位置，便于取水浇地．你能想办法将菜地合理分配吗？(保留作图痕迹)ABC【方法指导】根据题意，要想将△ABC的面积四等分，需将线段BC四等分，因此在BC边上作三条垂直平分线即可．如图所示，△ABD，△ADE，△AEF，△AFC就是分给甲、乙、丙、丁四家等面积且都有靠河边的菜地．ABCDEF解：①作线段BC的垂直平分线交BC于点E②作线段BE的垂直平分线交BE于点D③作线段CE的垂直平分线交CE于点F④连接AD、AE、AF即可得到四个等底等高的三角形随堂练习1．P为△ABC内一点，且点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P是()A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三个角的平分线的交点D．三边垂直平分线的交点2．如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点在这个三角形外，那么这个三角形是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形CD3.尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)．(1)如图①，作出直线l的垂线PQ；(2)如图②，作出△ABC的边BC上的高AD.