1.3 直角三角形 第1课时同步课件-北师大版(2024)八下课件

北师版-数学-八年级下册第一章三角形的证明及其应用3直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1.什么是勾股定理？定理：______三角形___________的平方和等于____的平方．直角两条直角边斜边复习导入

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B古埃及人曾经用下面的方法画直角：

将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？命题角度1判定直角三角形问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？探究新知判断直角三角形的方法：(1)有一个角为直角；(2)两个锐角互余；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．例1满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是()A．三内角之比为1∶2∶3B．三边长分别为5，12，14C．三边长之比为3∶4∶5D．三角形三个内角中有两个角互余例2

若三角形的三边长分别为6，8，10，则它的最长边上的高为____．B4.8应用举例定理直角三角形的两个锐角互余.定理有两个角互余的三角形是直角三角形.ABC∵∠B=90°，∴∠A+∠C=90°.归纳总结性质定理1：直角三角形的两个锐角互余．证明：在△ABC中，已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.ACB∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝180°－90°＝90°.∠A＋∠B＋∠C＝180°，探究新知性质定理1逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.求证：△ABC是直角三角形．ACB∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°∴△ABC是直角三角形．利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.

勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.归纳总结命题角度2折叠问题理解折叠前后的图形全等，找准相等的角和边，利用方程思想，结合勾股定理算出要求的线段或角．EFGHIABCabc如图，在△ABC

中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.分别以Rt△ABC

的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG.连接EB，CH.勾股定理的证明DMN过点C

作

AB的垂线，分别交

AB

和HI

于点M，N.EFGHIABCabcD∵EA=CA,∠EAB

=∠CAH=90°+∠CAB，

AB=AH，∴△EAB≌△CAH（SAS）.又∵S正方形ACDE=2S△EAB，EFGMNHIABCabcDS长方形AHNM

=2S△CAH，∴b2=S长方形AHNM.同理a2=S长方形MNIB.∴c2=a2+b2.

D应用举例例4如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8cm，BC＝10cm，则EC＝___cm.3命题角度3勾股定理的应用探究【勾股定理及其逆定理】问题1：直角三角形的三条边有什么样的数量关系？问题2：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，它是直角三角形吗？已知：如图1-24（1），在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.求证：△ABC是直角三角形．分析：要从边的关系推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．ABCA’B’C’图1-24（1）（2）证明：如图1-24（2），作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′＝AC，∵AB2＋AC2＝BC2，∴BC2＝B′C′2，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．因此，△ABC是直角三角形．则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(勾股定理)．A’B’C’图1-24ABC（1）（2）定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.归纳总结例5如图，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少是()A．5mB．7mC．8mD．9mB应用举例例6如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4m，AB＝8m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD约为____m(结果精确到0.1)．2.9命题角度4最短路程此类问题一般将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，确定最短路程．求解过程中常构建直角三角形，用勾股定理求出相关线段的长．例7图①所示的正方体木块的棱长为4cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为_____________cm.

应用举例例8

如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)

∴需要爬行的最短路程是15cm.命题角度5互逆命题(定理)的识别交换命题的条件部分与结论部分，则得到的新命题与原命题为互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，而互逆定理一定是互逆命题．探究【互逆命题和互逆定理】观察下面三组命题，它们的条件和结论之间有什么关系？如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.想一想：如果原命题是真命题，那么逆命题一定是真命题吗？互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．应用举例例9下列说法正确的是()A．每个命题都有逆命题B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题是真命题D．假命题的逆命题是假命题例10下列定理中，没有逆定理的是()A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°AB随堂练习1.填空．(1)每个命题都是由________、________两部分组成，命题“对顶角相等”的条件是__________，结论是______；(2)“对顶角相等”是______命题；“我们是小学生”是______命题；(选填“真”或“假”)(3)把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式：______________________________________________；条件结论对顶角相等真假如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等(4)直角三角形的两个锐角_____；有两个角互余的三角形是___________；(5)说出你知道的勾股数，勾股定理的内容是：____________________________________________．互余直角三角形直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方2．已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为________cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．3．如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26，则四边形ABCD的面积为_______．

1444.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E

为

BC上的一点，且∠BAE=25°，∠CDE=65°，AE=2，DE=3，求AD

的长.解：∵AB∥CD，∴

∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠BAE=25°，∠CDE=65°，∴∠EAD+∠

ADE=90°，根据勾股定理，AD2=AE2

+DE2

=22+3