1.5 角平分线 第1课时（教学设计）-北师大版(2024)八下

5角平分线第1课时角平分线的性质与判定教师备课素材示例●情景导入有一种蜘蛛网，它的一条主网线是与它相邻的两条主网线构成的角的平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB的平分线OC上一点P处，为尽快爬到OA或OB上控制猎物，讨论：你认为它应该选择什么路线？两条路线的长度有怎样的关系？【教学与建议】教学：通过有关蜘蛛网的实例，复习了点到直线的距离这一概念，又初步发现角平分线上的点到角两边的距离相等．建议：先观察图形，结合实践经验，师生交流．●复习导入活动内容：1．回顾角平分线的定义、性质．2．小组内讨论证明角平分线的性质的方法．3．小组选派代表演示方法步骤．方法步骤：(1)在一张纸上任意画一个角∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合；(2)在折痕(即角平分线)上任意取一点C；(3)过点C折OA，OB边的垂线，得到新的折痕CD，CE，其中，点D是折痕与OA边的交点，点E是折痕与OB边的交点；(4)发现：CD与CE的长度相等．【教学与建议】教学：通过复习提问，锻炼了学生的思维能力和动手操作能力．建议：由学生回答角平分线的含义、性质，学生边叙述边演示折纸，得出结论．命题角度1角平分线的性质此类题目综合性较强，要求学生熟练运用角平分线定理，熟悉基本图形，能把角平分线的性质与其他知识融会贯通．【例1】如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为(C)A．10B．7C．5D．4【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.求证：BD＝FD.证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，∴∠C＝∠DEB＝90°，DE＝DC.在△DEB和△DCF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DE＝DC，,∠DEB＝∠C，,BE＝FC.))∴△DEB≌△DCF(SAS)，∴BD＝FD.命题角度2角平分线的判定在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．【例3】如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F.若PE＝PF，且∠AOC＝50°，则∠EOP的度数为(A)A．65°B．60°C．45°D．30°【例4】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.在△BDF和△CDE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BFD＝∠CED，,∠FDB＝∠EDC，,BD＝CD，))∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE.又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC.命题角度3角平分线性质的实际应用与尺规作图角平分线上的点到角两边的距离相等，很多选址问题利用此定理结合轴对称、垂直平分线等综合运用．【例5】两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P.(不要求写作法，保留作图痕迹)解：如图，作线段AB的中垂线与∠DCE的平分线交于点P，点P即为所求．高效课堂教学设计1．掌握角平分线的性质定理及其逆定理(判定定理)．2．能运用角平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题．▲重点利用角平分线的性质定理及其逆定理解决一些简单问题．▲难点综合利用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题．◆活动1创设情境导入新课(课件)1．__从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线__叫作角的平分线．2．我们曾用折纸的方法探索过角平分线上点的性质(如图)．从折纸的过程中，可以得到：__角的平分线上的点到角两边的距离相等__．这节课，我们将学习证明这一性质．◆活动2实践探究交流新知【探究1】探究角平分线的性质定理1．证明角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.∵∠1＝∠2，OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)，∴PD＝PE.2．角平分线的性质定理用符号语言表示为：∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.3．应用角平分线的性质定理必须具备的条件：两垂直，一平分．【探究2】探究角平分线的判定定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，它的逆命题是__在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上__．请证明角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．1．已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP，PD＝PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)，∴∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上．2．用符号语言表示为：∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，∴点P在∠AOB的平分线上．3．角平分线的判定定理的特征是：两垂直，一相等．◆活动3开放训练应用举例【例1】已知，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BC为BD∶DC＝3∶2，且BC＝15cm，求点D到AB边的距离．【方法指导】已知∠A的平分线AD，可作DE⊥AB，利用角平分线的性质定理得出DE＝CD，根据已知BD∶DC＝3∶2，且BC＝15cm，即可得到点D到AB的距离．解：如图，作DE⊥AB.∵∠C＝90°，∴CD⊥AC.∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝CD.∵BD∶DC＝3∶2，BC＝15cm，∴CD＝15×eq\f(2,5)＝6(cm)，∴DE＝6cm，∴点D到AB边的距离为6cm.【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长．【方法指导】先用角平分线的判定定理证得AD是∠BAC的平分线，得到∠BAD＝30°，再利用在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，30°所对的直角边等于斜边的一半，即DE是AD的eq\f(1,2)，求得DE.解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×10＝5.◆活动4随堂练习1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD＝m，AB＝n，则△ABD的面积是(B)A．mnB．eq\f(1,2)mnC．2mnD．eq\f(1,3)mneq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝2，则点D到AB的距离是__2__．3．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于O.(1)如果∠1＝∠2，求证：OB＝OC；(2)如果OB＝OC，求证：∠1＝∠2.证明：(1)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∠1＝∠2，∴∠BDO＝∠CEO＝90°，OD＝OE.在△BOD和△COE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BDO＝∠CEO，,OD＝OE.,∠DOB＝∠EOC，))∴△BOD≌△COE(ASA)，∴OB＝OC.(2)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADO＝∠AEO＝∠BDO＝∠CEO＝90°.在△BOD和△COE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BDO＝∠CEO，,∠BOD＝∠COE，,OB＝OC，))∴△BOD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE.∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OA为∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2.4．课本P41随堂练习T1◆活动5课堂小结与作业