1.3 直角三角形 第2课时（教学设计）-北师大版(2024)八下

第2课时直角三角形全等的判定教师备课素材示例●复习导入出示问题：1．前面我们学习了判定两个三角形全等的方法，方法有：SSS，SAS，ASA，AAS.2．通过这些方法我们可以看出判定两个三角形全等时，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以确定这两个三角形全等？(附加一边相等或两边的夹角相等，可以确定这两个三角形全等．)3．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？(如图，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，△ABC与△ABD不全等．)【教学与建议】教学：通过复习全等三角形的判定方法，利用反例对应用“边边角”判定三角形全等进行“批判”，激发学生的求知欲．建议：教师提问，留出足够的时间让学生思考并回答．●悬念激趣舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？学习了今天的知识，我们就能明白这个道理了．【教学与建议】教学：检验两个直角三角形，因为直角边和斜边相等得到两个直角三角形全等，制造悬念，激发学生学习兴趣．建议：可让学生动手操作画图验证，培养学生的创新精神．命题角度1直角三角形全等的判定在证明两直角三角形全等时，要首先想到“HL”．至于选择哪种方法证明全等，要以题目条件而定．【例1】如图，CB⊥AE于点B，AF＝CE，BF＝BE.若AB＝6，BF＝4，则CF＝__2__．【例2】如图，已知PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD.求证：OC＝OD.证明：连接OP.∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠OCP＝∠ODP＝90°.在Rt△OCP和Rt△ODP中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(OP＝OP，,PC＝PD，))∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL).∴OC＝OD.命题角度2运用“HL”定理解决问题HL定理与其他判定定理的最大不同就是，只需找一组直角边和一组斜边相等即可．在某些时候，到底是哪组直角边对应相等需要分类讨论．【例3】如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从点A同时出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝__5或10__时，△ABC与△APQ全等．【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并证明．解：BF⊥AE.证明如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.在Rt△BDC和Rt△AEC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CB＝CA，,BD＝AE，))∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).∴∠CBD＝∠CAE.∵∠CAE＋∠E＝90°，∴∠CBD＋∠E＝90°.∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.命题角度3方格作图问题在方格中作图要明确方格的特点：(1)每个小方格的边长都是1；(2)出现很多直角．可以利用勾股定理求得图形的边长．【例5】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是△ABC的高，则BD的长为(D)A．eq\f(10\r(13),13)B．eq\f(9\r(13),13)C．eq\f(8\r(13),13)D．eq\f(7\r(13),13)高效课堂教学设计1．熟练掌握“HL”定理，并利用“HL”定理解决实际问题．2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形．▲重点掌握并利用“HL”定理解决问题．▲难点证明“斜边、直角边(HL)”定理的思路的探究和分析．◆活动1创设情境导入新课(课件)填一填：(1)判定两个三角形全等的方法有哪几种？__SSS，SAS，ASA，AAS__(2)如图，已知∠CAB＝∠DBA，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请说明理由．添加__AC＝BD__，利用__SAS__证明△ACB≌△BDA；添加__∠ABC＝∠DAB__，利用__ASA__证明△ACB≌△BDA；添加__∠C＝∠D__，利用__AAS__证明△ACB≌△BDA.◆活动2实践探究交流新知【探究1】做一做(小组合作完成)如图，已知线段a，c(a<c)，直角α.求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.解：作法：(1)作∠MCN＝∠α＝90°；(2)在射线CM截取CB＝a；(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；(4)连接AB，得到Rt△ABC.【探究2】证明定理请证明命题：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2.∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“HL”．◆活动3开放训练应用举例【例1】如图，两条长度为12m的绳子，一端系在旗杆的同一点上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．【方法指导】根据题意可知AB＝AC，AD边共用，利用HL可证Rt△ABD≌Rt△ACD，得到BD＝CD.解：BD＝CD.理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AD＝AD，))∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，∴BD＝CD.【例2】课本P30例题◆活动4随堂练习1．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则直接判定△AEO≌△AFO的依据是(A)A．HLB．AASC．SSSD．ASAeq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))2．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.其中正确的结论是__①②③__．(填序号)3．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠DEC＝90°，∠BFD＝90°.∵点D是BC边的中点，∴BD＝DC.在Rt△BFD和Rt△CED中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BD＝CD，,DF＝DE，))∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．4．课本P30随堂练习T15．课本P30随堂练习T2◆活动5课堂小结与作业【学生活动】1．你这节课有哪些收获？2．探索“HL