2026年高考数学复习讲练测答题模板05 函数选填压轴题有关的5类核心题型（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）（解析版）

答题模板05函数选填压轴题有关的5类核心题型（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）目录第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具【结论背记清单】方法一函数对称性的应用及解题技巧方法二解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧方法三整数解的应用及解题技巧方法四零点的应用及解题技巧方法五切线与公切线的应用及解题技巧第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。【题型01】函数对称性的应用【题型02】解不等式（含分段函数）的应用【题型03】整数解的应用【题型04】零点的应用【题型05】切线与公切线的应用第四部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向1.考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。

2.思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）近几年高考数学对函数选填压轴题的考查，已从单一性质判断转向复杂情境下的综合应用与思维渗透。试题常以函数四大基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）及导数的几何意义为核心纽带，与方程、不等式、图像变换、整数解、零点存在性等深度融合，并强调在抽象符号、分段结构、多函数交互等情境中，考查逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养。备考需重点关注函数作为“代数关系”与“图形特征”的双重属性及其相互转化。核心考查三大方向：一是性质的综合与转化，如对称性与周期性的互推、抽象等式的具体化；二是数形结合的深度应用，包括利用图像解不等式、判零点、分析动态趋势；三是从连续到离散的数学思维，如在函数背景下求整数解、确定参数范围时的界点分析。2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）学生常见误区：对抽象函数符号等式理解表面化，不能有效转化为直观性质或图形特征；解含参、分段不等式时分类逻辑混乱，或过度依赖代数计算而忽视图像解法；处理整数解、零点个数等问题时，策略单一，不善利用单调性、值域预先缩小范围；求切线特别是公切线时，列方程不完整或求解后缺少验证。这暴露出在抽象转化、逻辑划分、数形结合、模型化归等综合能力上的短板。模块说明：模块说明：构建思维框架，提炼通用解法1.模模块化知识体系：熟记函数选填压轴题有关的5类核心题型（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。结论背记一、基础公式/基础结论函数的对称性轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为函数的零点对于函数，我们把的实数叫做函数的零点函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标方程的实数解函数的零点函数的图象与轴有交点零点存在性定理如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：技法归纳方法一函数对称性的应用及解题技巧函数的对称性是函数图象的重要特征，包括轴对称和中心对称。在高考中，对称性常与函数解析式、函数值计算、零点等问题结合。解题时，可利用对称性简化计算，或通过已知对称性反求参数。核心在于掌握对称性的代数表达形式，并能灵活进行“图象变换”与“解析式变换”之间的转换。第一步：识别对称类型根据条件判断对称性：

轴对称：若，则的对称轴为。

中心对称：，则的对称中心为。

反函数对称：函数与其反函数关于直线y=x

对称。第二步：利用对称性简化问题求值：利用对称点的函数值关系简化计算。

求零点：若零点唯一且函数有对称性，则零点必在对称轴或对称中心上。

求解析式：通过对称变换反解原函数解析式。第三步：特殊技巧——反解变换当图象关于直线

y=−x、y=x

等对称时，通过坐标代换反解解析式。例如：关于y=−x

对称，则将(x,y)

换为(−y,−x)

代入。第四步：列方程求参数利用对称性条件建立方程，求解参数。注意检验例题1（全国·高考真题）设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则A． B． C． D．反解的解析式，可得，即，因为，所以，解得解得，故选C例题2若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知，函数是函数的反函数，求出，进而可得答案．【详解】函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以函数是函数的反函数，由得，∴，把互换得：，即，因为，所以．故选：B．例题3已知函数的图象关于直线对称，则.【答案】【分析】求出函数的定义域，利用对称性的特征可得，再利用求解即可.【详解】函数的定义域满足，即，由函数的图象关于直线对称，得的定义域关于对称，则的解集只能为，故.则，即，故，则，解得.故故答案为：例题4若满足，满足，则等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】将所给式化简可得，，进而和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可【详解】由题意，故有故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，且关于直线对称，故曲线和曲线的图象交点关于直线对称.即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，即，求得x1+x2=5，故选：D.方法二解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧解函数不等式（特别是含抽象函数或分段函数）时，核心是利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质去掉对应法则，转化为普通不等式。对于分段函数，需结合分段讨论。特值法可快速排除错误选项，是选择题的利器。第一步：分析函数性质判断函数的奇偶性、单调性、周期性等。单调性是脱去

f

的关键。第二步：转化为具体不等式利用性质将f(g(x))>f(h(x))

转化为g(x)>h(x)

或

g(x)<h(x)（注意单调性决定不等号方向）。若为偶函数，注意利用(f(x)=f(x))第三步：分段函数分段处理对于分段函数，需根据自变量范围选择对应解析式，并注意分段点处的连续性。第四步：特殊技巧——特值法对于选择题，选取特殊值（如0、1、端点值等）代入验证，快速排除错误选项。所选值应能区分不同选项。第五步：综合求解结合函数性质、分段讨论结果，解不等式组，得到最终解集。例题5（全国·高考真题）设函数,则使成立的的取值范围是A． B．C． D．【特值法】当时，不成立，排除D，当时，则判断是否成立，计算，，不成立，故排除B、C,【答案】A例题6已知，若成立，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式.【详解】函数的定义域为R，，则函数是奇函数，而函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增，不等式，则，解得，所以x的取值范围是.故选：A例题7已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解.【详解】定义域为，且对，，所以是偶函数.，当时，，所以，，又，所以（当且仅当时取等号），即在单调递增.因为，所以，即，解得，所以的解集为.故选：C.例题8已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意，画出图形，结合，分和进行讨论，解得的范围，从而即可得实数的取值范围．【详解】解：作出函数的图象如图，因为，若，由在上单调递增，且，则，解得；若，则，解得；综上，，解得或.所以实数的取值范围是．故选：A.方法三整数解的应用及解题技巧整数解问题通常指含参数的不等式（方程）有特定整数解的情况。解题关键在于“分离参数”后，利用函数的单调性分析整数点处的函数值关系，找到临界条件。常用“猜根法”确定整数解的可能取值，再通过边界条件求参数范围。注意区间端点开闭的取舍。第一步：分离参数将参数

k

分离到不等式的一边，另一边为关于x

的函数g(x)。问题转化为比较

k

与

g(x)

在整数点处的大小关系。第二步：分析函数性质分析g(x)

的单调性、极值等，画出大致图象，确定在整数点处的函数值变化趋势。第三步：确定整数解的可能值根据不等式成立的条件（如恰有一个整数解），结合图象，猜出整数解的可能值（如2、3等）。第四步：建立临界条件以猜得的整数解为中心，考虑其相邻整数。通常，不等式在目标整数处成立，在相邻整数处不成立，由此得到关于k

的不等式组。注意等号是否可取（开闭区间）。第五步：解不等式组求范围解出

k

的范围，并验证边界是否满足题意例题9已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．【猜根法，寻找临界条件】由题知整数解不可能为1，若整数解为2，则整数解3不可取，代入有，，根据整数解问题区间为一开一闭，则选D.例题10已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式可求的取值范围.【详解】由题设，定义域为，则可得，令，则，所以时,，即递增，时，，即递减，当时，，当时，，当时，，当时，，当，且时，，而恒过，函数图象如下：要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，若交点的横坐标为，则，，所以，即，所以的取值范围为.故选：B.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用．例题11若关于的不等式的解集中恰好有3个整数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次不等式恰有3个整数解，分析可得实数的取值范围；或分离参数，构造新函数，分析新函数的单调性，解得实数的取值范围.【详解】解：原不等式等价于，由题意，知，解得.又原不等式的解集为，且，则为原不等式的整数解，所以，解得所以实数的取值范围为.方法二：对于不等式，当时，，不成立，所以0不是不等式的整数解；当时，.令，则在上均单调递增，其简图如下：当时，，所以；当,且取整数时，，所以；所以不等式的整数解是,即不等式解集中恰有3个整数解是，所以，所以.所以实数的取值范围为.故选：D.例题12若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】原不等式转化为函数的图象一定有部分在直线的下方，且该部分图象横坐标中没有整数，根据导数的几何意义求出直线与曲线相切时的斜率，画出函数图象，利用数形结合可得答案.【详解】原不等式可化为，设，则直线过定点，因为不等式的解集非空，所以函数的图象一定有部分在直线的下方，又因为不等式的解集中无整数解，所以该部分图象横坐标中没有整数，∵，∴．设直线与曲线相切于点，则有，消去a整理得，解得或，若，则切点横坐标为1，若不等式的解集非空，解集中一定含有整数1，所以不合题意，舍去；故，则切线的斜率为，解得．又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，，当时，解得，当直线绕着点旋转时，要使不等式的解集非空，且解集中无整数解，必有得，故实数的取值范围是．故选：B．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点：一是正确理解不等式的解集非空且不包含整数；二是数形结合思想的应用，将不等式问题转化为图象间的位置关系.方法四零点的应用及解题技巧函数零点问题主要涉及零点个数、零点范围、唯一零点等。解题方法主要有：1.图象法：将零点问题转化为两个函数图象的交点问题。2.性质分析法：利用函数单调性、极值、对称性等确定零点。3.特殊值法：对于唯一零点问题，可通过观察或对称性猜出零点，再代入验证求解参数。第一步：问题转化方程f(x)=0

的零点⇔函数y=f(x)

图象与

x

轴交点⇔两个函数y=f(x)

与y=g(x)

图象交点。第二步：分析函数性质分析函数的定义域、单调性、极值、奇偶性、周期性、对称性等。第三步：画图或计算图象法：画出函数草图，观察交点个数。

计算法：利用零点存在定理，找到函数值异号的区间。第四步：特殊技巧对称性求唯一零点：若函数有对称性且零点唯一，则零点必在对称轴或对称中心上。

分离参数后画图：将参数分离，转化为两个函数图象交点问题。第五步：综合结论根据分析，确定零点个数、范围或参数值。注意检验例题13（全国·高考真题）已知函数有唯一零点，则A． B． C． D．1通过观察发现关于对称，也关于对称，则唯一零点为1，解得解得.故选：C.例题14已知函数有唯一零点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将函数变形，换元后得到，研究得到为偶函数，由有唯一零点，得到函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，代入后求出.【详解】有零点，则，令，则上式可化为，因为恒成立，所以，令，则，故为偶函数，因为有唯一零点，所以函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故.故选：D例题15若函数（且）在上有唯一零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将问题转化成两图象的交点问题，利用导数分析单调性数形结合求解.【详解】由题意可得在上有唯一解，即，令，则，则，令，则，则，当时，的，开口向上，恒大于零，所以为递增函数，为递减函数，因为，所以在上无解；当时，必须成立，若，会出现图象的情况，即在上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且），所以图象只能为，只需交点横坐标小于1即可，所以令可得，又，所以的范围为.故选：B例题16已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得，构造函数得，再构造函数，结合图象即可得答案．【详解】由，，知故，即即令则上述式子即为由于，且，故在是单调递增函数，故由可得即，令，，由，得，当时，，当时，，故，，且当时，恒成立，由此可得出的大致图象如下：由题意要求函数存在两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，由图可得：．故选：C．方法五切线与公切线的应用及解题技巧切线问题主要涉及求切线方程、判断切线个数、求参数范围等。公切线问题是两条曲线的切线是同一条直线，需要建立方程组求解。解题核心是：设切点，利用导数几何意义（切线的斜率等于切点处的导数值）和切点在切线上也满足曲线方程，建立方程（组）。数形结合可直观判断切线个数。第一步：求导对曲线函数求导，得到斜率表达式。第二步：设切点设切点坐标为(x0,f(x0)，则切线斜率k=第三步：写切线方程利用点斜式写出切线方程：y−f(x第四步：利用条件建立方程•

过曲线外一点：将点坐标代入切线方程。

•

公切线：设两条曲线的切点分别为

(x1,y1)

和第五步：特殊技巧——数形结合对于过一点作曲线的切线条数问题，可通过画出曲线和点的位置，直观判断。例如：点在曲线下方且在上方可作两条切线。第六步：求解方程解方程（组）得到切点坐标或参数值。注意整体代换或巧妙变形例题17若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】设与和的切点分别为，由导数的几何意义可得，得，再由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得，从而得出，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义，属于难题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)已知斜率求切点即解方程；(3)已知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.例题18若曲线与有公共的切线，则的最大值为（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】D【分析】设直线与相切于求出切线方程，直线与相切于求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得.令，构造函数，利用导数求出最小值可得答案.【详解】设直线与相切于，则直线：，直线与相切于，则直线：，因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同，故，则.令，，则在单调递增，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，于是有，即.故选：D.例题19已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设与相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义，得到和，再由，求得，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，求得，即可求解.【详解】设与曲线相切于点，与相切于点，由，可得的斜率，所以①，又由，可得，所以，即②，又因为③，将②③代入①中，可得，由③易知，,则④，将④代入③，可得，则，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号，故，可得，所以，所以的方程为，即．故选：B．【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．例题20从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围.【详解】设曲线在点处的线线过点，由，求导得，所以，所以曲线在处的切线方程为，因为从点可向曲线引三条不同切线，所以有三个不同的解，即有三个不同的解，设，该函数有三个不同零点，求导得，令，则或，当或，，当，，所以：函数在区间单调递减，在和区间上单调递增，所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点，则，即，解得.故选：B.模块说明：模块说明：聚焦前沿题型，靶向提升解题能力1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。题型01函数对称性的应用（共6题）1．设函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称，若，实数m的值为．【答案】1【分析】根据题意求出，从而列出方程，求出.【详解】∵，函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称∴，∴∴∴．故答案为：12．已知函数的图象关于直线对称，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用图象变换，结合偶函数的性质求出值.【详解】依题意，，函数是偶函数，其图象关于直线对称，函数的图象可视为函数的图象向左（）或向右（）平移个单位而得，因此函数的图象对称轴为，所以，即.故选：D.3．已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作出函数和的图象以及直线的图象，利用反函数的性质即可判断【详解】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，

由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，由题意知，也即,由于函数和互为反函数，二者图像关于直线对称，而为和的图象与直线的交点,故关于对称，故.故选：B.4．若函数的图象关于直线对称，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.【详解】依题意，，其图象关于直线对称，则，所以，所以，解得，所以，此时，满足题意；因为，当且仅当，即时等号成立，所以，故选：B．5．已知函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由函数定义域的对称性解得，再由特值法得的方程求解验证即可.【详解】由题意知，且，因为函数的图象关于直线对称，则是方程的根，故，解得，则.又由得，,解得.故，即，验证：函数的定义域为，且，且，故函数的图象关于直线对称，满足题意.则.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是由题意得，从而利用对称轴得到，进而得到是方程的根，由此得解.6．已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用数学转化思想，本题转化为函数的图像关于直线对称的函数图像与函数的图像在上有交点．又可通过求的反函数来求得前面对称图像函数．有交点转化为方程有解问题，再转化为函数值域问题，从而本题得解．【详解】与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，函数的图象关于直线对称图像与函数图像有交点．函数图像关于直线对称图像函数为的反函数．函数的反函数为，关于对称的函数为．此图像与函数的图像在上有交点可转化为关于的方程在上有解．可得．问题又可转化为求函数的值域．得，函数在，上的递减区间为，，递增区间为，的最小值为（e），的最大值为，函数的值域为的取值范围为故选：B题型02解不等式（含分段函数）的应用（共4题）7．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化简后判断函数为偶函数，再判断函数的单调性，利用单调性得出不等式求解.【详解】因为，故，而的定义域为，它关于原点对称，故为上的偶函数.当时，令，由对勾函数的单调性可得在上为增函数，且，而在上为增函数，故在上为增函数，而在上为增函数，故在上为增函数.因为，故，平方后化简可得，即，解得或，故原不等式的解集为.故选：D8．已知，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判断，得到关于对称，再利用函数和的单调性得到的单调性，然后结合对称性解抽象函数不等式即可.【详解】因为，所以，所以，所以的图象关于对称，又因为在上均为单调递增函数，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，结合对称性可得，两边平方后化简可得，解得或，所以的取值范围是.故选：B.9．设奇函数的定义域为，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，由已知可得函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化，求解即可．【详解】令，因为是定义域为R的奇函数，所以的定义域为，且是偶函数，且，因为对任意，都有，即对任意，都有，所以时，，所以在上单调递减，所以在上单调递增，因为，所以，所以，当时，不等式等价于，即，所以，解得，当时，不等式等价于，即，所以，解得，综上，原不等式的解集为．故选：D．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据构造函数，进而根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.10．已知函数，，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出函数的图象，根据函数的单调性，对进行四种情况的讨论，从而解不等式，即可得答案；【详解】函数在区间是递增函数，当时，即，成立，当时，，得，即.当时，，，解得，当时，函数在区间是递增函数，所以成立.综上所述：，故选：A.【点睛】本题考查利用函数图象的单调性解不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.题型03整数解的应用（共4题）11．若关于x的不等式存在唯一的整数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】转化为和两函数图象问题，求导得到的单调性，而的图象为过定点的直线，同一坐标系内画出两函数图象，数形结合得到答案.【详解】令，则，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增，其中，，，且时，恒成立，时，恒成立，而的图象为过定点的直线，设与相切时，切点为，则切线斜率，又在上，故，，与联立得，解得，当时，切线斜率为不合要求，当时，切线斜率为，满足要求，故当时，图象恒在的上方，不合要求，同一坐标系内，画出两函数图象，如下：显然，当经过点时，，当经过点时，，不等式存在唯一的整数解，显然此整数解为-1，需满足，即.故选：A12．设函数，若有且仅有两个整数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有两个点的横坐标为整数，分析函数的单调性，数形结合，可求的取值范围.【详解】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有两个点的横坐标为整数，，当时，；当时，．所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以函数的最小值为．又，，．直线恒过定点且斜率为，则①，，且，解得；②，且，解得.故选：D13．函数，若不等式最多只有一个整数解，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】参变分离后构造新函数再求导，得出其单调性与趋向，即可做出草图，由草图得出答案.【详解】解法1（全分离）：，则，令，则，令，显然在上递增，且，，故在有唯一的零点，且，当时，，所以；当时，，所以，注意到时，；时，；且，据此可作出的图象的草图如图1，由图可知当且仅当时，不等式最多只有一个整数解，故选D.解法2（半分离）：，则，令，则，当时，，所以，当时，，所以，从而在上递减，在上递增，又，故可作出图象的草图如图2，由图可知临界状态为直线恰过点时，此时，，当且仅当时，不等式最多只有一个整数解，故选D.14．已知函数，关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，利用导数的符号变化研究其单调性、极值，对分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法，结合函数图象和不等式的整数解个数进行判定求解.【详解】由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，有最大值，且，又当时，，且，当时，，．其图象如图所示：①当，由，得，即，则，此时不等式的整数解有无数多个，不合题意；②当时，由得或．当时，，有无数个整数解；当时，其解集为(0,1)的子集，不含有整数解；故不合题意；③当时，由得或，当时，其解集为(0,1)，不含有整数解；当时，若不等式有且仅有四个整数解，又，，，，且，因为在递增，在递减，所以四个整数解只能为2、3、4、5，所以，即所以实数的取值范围为．故选：B.题型04零点的应用（共4题）15．已知函数有唯一零点，则实数（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】通过转化可知问题等价于函数的图象与函数的图象只有一个交点求的值，分，，三种情况，结合函数的单调性分析可得结论.【详解】函数有唯一零点，等价于函数的图象与函数的图象只有一个交点，当时，，此时有两个零点，不满足题意；当时，由于在上单调递减，在上单调递增，且在上单调递减，在上单调递增，所以函数的图象最低点为，函数的图象最低点为，由于，故两个函数的图象有两个交点，不满足题意；当时，由于在上单调递减，在上单调递增，且在上单调递增，在上单调递减，所以函数的图象最低点为，函数的图象最低点为，若两函数只有一个交点，则，即.故选：D.【点睛】本题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与划归的思想，考查逻辑思维能力和计算能力，属于中档题.16．已知存在唯一零点，则实数的取值范围（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性可确定唯一零点，将问题转化为在时无零点问题的求解；利用放缩法，令，利用导数可求得时，由此知满足题意；当，利用零点存在定理可确定在上存在零点，由此可确定存在时，，结合时，，可确定不合题意，由此得到结论.【详解】定义域为且，为定义在上的奇函数，的唯一零点为，则只需时，无零点即可得到结论；当时，令，则，在上单调递减，，即，，令，则，，，则，，当时，，，，满足当时，无零点；当时，，，，在上存在最小零点，使得，又为连续函数，则当时，；，又时，，在上必存在零点，不合题意；综上所述：实数的取值范围为.故选：.【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，涉及到函数奇偶性、零点存在定理的应用；关键是能够根据函数奇偶性确定零点位置，进而将问题转化为函数在时无零点问题的求解；难点在于通过放缩和零点存在定理确定符合题意的区间.17．已知，是函数的两个零点，则（

）A．1 B．3 C．9 D．81【答案】D【分析】根据函数零点转化为，的图象交点，根据对称性即可求解.【详解】当时，令，得，令，，则的零点转化为与图象的交点.，故的图象关于点对称，，故的图象也关于点对称，所以，则.故选：D18．已知函数，则函数的零点个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可.【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数，如图，作出函数的大致图象，令，则，解得，，．当时，，则，此时方程无解；当时，，则，此时方程有3个不同实数根；当时，，则，此时方程有2个不同实数根．综上可知，函数的零点个数为5．故选：A．题型05切线与公切线的应用（共4题）19．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（

）A．e B． C． D．【答案】C【分析】设直线与的切点为，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为，同样可推的切线方程为．两条切线重合，即可得出有唯一实根．构造，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案．【详解】设直线与的切点为，因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，即该直线的方程为，即．设直线与的切点为，因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，即该直线的方程为，即．因为函数和有且只有一条公切线，所以有，即有唯一实根．令，则.解，可得.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．所以在处取得最大值.当x→0时，，函数图象如图所示，因为有唯一实根，所以只有．故选：C20．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，假设两曲线上线的切点，从而得到两曲线的切线，由共切线建立关于的方程组，求得，进而得到切线方程，从而得解.【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，而的导数为，的导数为，所以两曲线的切线分别为，两条切线对应相同，可得，解得，所以切线方程为，即，则.故选：C.【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：（1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：；（2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为，21．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是.【答案】【分析】切点为，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图象可求得t的范围.【详解】由求导，得，设切点为，则切线方程，由切线过，得，整理得，令，依题意方程有两个不同的解，函数的对称轴为，且当时，，当时，.作出函数的图象.由图知，方程有两个不同的解等价于.即的范围为，故答案为：.22．已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先可判断不为，设出公切线与函数的切点，根据导数的几何意义可得切线方程，再与曲线联立，利用判别式为，可得与的关系，结合导数工具可得解.【详解】当时，，，不符合题意；设的图像与公切线的切点为，，由，则切线斜率，切线方程为，即，又切线与，联立，可得，即，可得，设，，，，又函数在上单调递减，且，即有当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减；所以，即，的最大值为，故选：A.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．模块说明：模块说明：答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用最高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量23题1．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，若，则．【答案】【分析】解法一：分析可得，变形得出，构造函数，分析函数的单调性，结合，即可得出实数的值；解法二：分析可得，变形得出，作出函数直线、的图象，数形结合可得出实数的值.【详解】解法一：点关于直线的对称点为，则该点在的图象上，即，变形得，从而，即，即，构造函数，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，又因为，故.解法二：点关于直线的对称点为，则该点在的图象上，即，变形得，从而，即，作出函数直线、的图象如下图所示，由图可知，两个函数交点横坐标为，所以.故答案为：.2．已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】根据图象的对称性得点，在函数的图象上，列方程组求解即可得解.【详解】函数的图象与的图象关于直线对称，所以点，在函数的图象上，所以，所以，所以，又，所以，所以.故选：B3．若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意看得出、，数形结合可知点、关于直线对称，由此可得出结论.【详解】由题意可得，可得，，则，所以，，作出函数、、的图象如下图所示：对于函数可得，所以，函数的图象关于直线对称，又因为函数、的图象关于直线对称，所以，点、关于直线对称，则，故.故选：B.4．已知函数的图象关于直线对称，且函数的最小值为1，则不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】先通过求出的关系，再根据函数的最小值为1可求出，代入，直接解不等即可.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，即，所以，又因为函数有最小值为1，所以且，即，所以，即，所以，所以不等式，即，即，解得或，故选：D．5．若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】易得函数过点，求出点关于直线对称点，进而求得，设函数图象上的点关于点的对称点为，点在函数的图象上，代入求解即可.【详解】函数过点，而点关于直线对称的点为，因为函数的图象关于直线对称，所以点在函数的图象上，则，即，则，设函数图象上的点关于点的对称点为，所以，所以，因为点在函数的图象上，所以，所以.故选：B6．（多选）已知函数的定义域为，且，曲线的图象关于直线对称．若时，，则（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由题可知函数关于点对称，又函数关于直线对称可得函数也关于对称，即，进而可得呈周期递增，再根据已知部分解析式得到的图像，根据图像求切线可确定AB选项，然后根据周期变化可求函数值判断CD选项.【详解】，即关于点对称，，又曲线的图象关于直线对称，所以也关于点对称，即结合可得，即，所以函数呈周期性变化，又曲线的图象关于直线对称，时，，则时，，又，时，则，，又关于直线对称，时，，根据题意可作出函数图像如下：根据图像可知函数在两条斜率为1的直线之间，设下面一条直线方程为：与相切，，切点为，此时切线方程为：，又因为，所以，故A正确；通过对称可得，故B正确；由，所以，故C错误；，，故D正确；故选：ABD.7．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，根据条件判断出的奇偶性和单调性，然后将问题转化为“”，结合的函数性质列出不等式组求解出结果.【详解】由题意知，令，且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数，因为为上的减函数，为上的减函数，所以函数在上单调递减，故函数在上单调递减，又由，得，所以，所以任意恒成立，即对任意恒成立，若，可得，此时恒成立，满足要求；若，则需，解得，综上所述，的取值范围是，故选：B.8．已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】令，对任意的，，故对任意的，，故函数的定义域为，因为，所以，，函数为奇函数，令，则函数在上为增函数，函数为增函数，所以，函数在上为增函数，由，可得，所以，，所以，，即，令，当时，则有，显然成立；当时，则，所以，函数在、上单调递减，在上单调递增，又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，，解得，此时，；当时，则，所以，函数在上单调递减，在、上单调递增，又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，，解得，综上所述，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.9．设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判断出函数为奇函数，再结合单调性将题意转化为存在使不等式成立，结合含参二次函数的性质解题即可.【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称，由于，所以函数为奇函数，又因为函数和均为上的减函数，所以为上的减函数，所以存在使不等式成立，即成立，等价于存在使不等式成立，当时显然满足；当时，则，即，综上可得实数的取值范围是，故选：B.10．若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，由题意可以推出函数的单调性，结合函数定义域利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因为对任意的，且，都有，即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有，所以有，所以函数是上的减函数，由的定义域为，则在中满足，解得，当时，，则，所以，解得，故不等式的解集为．故选：D.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知求出不等式中的范围再解不等式即可.11．设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据题意，可证为上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，又由转化为，即，即可得解.【详解】因为，设，则，即为上的偶函数，又当时，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即，所以，即，解得.故选：B【点睛】关键点点睛：根据题意，设，研究函数的奇偶性和单调性，从而求解不式.12．已知函数，若不等式的整数解有且仅有两个，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意当等价于，设函数，利用导数求出的最小值，再结合的图象可知当仅有两个整数解，则可求得，从而可求解.【详解】由得：，令，则，令，则在R上恒成立，所以在R上单调递增，由，，所以，使得，当时，，即，所以单调递减，当时，，即，所以单调递增，所以，如图所示，因为不等式的整数解有且仅有两个，

即的整数解有且仅有两个，，，，所以有：，解得．故B正确.故选：B．13．已知不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】原不等式等价于，，设，，然后转化为函数的交点结合图象可求.【详解】原不等式等价于，，设，，所以，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，又，且时，，因此与的图象如下，当时，显然不满足条件，当时，若0，1是不等式的解，只需要满足，即，解得．当的切线过点时，设切点为，则切线方程为，该直线过点，，解得，若是原不等式的解，则，解得；所以k的范围为.故选：D．14．已知，若有且只有两个整数解使成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】计算可得，分、两种情况讨论，令，利用导数分析函数的单调性，数形结合可求得实数的取值范围.【详解】因为，①当时，由可得，令，则，由，可得或（舍），当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，且，无解；②当时，由可得，令，则，由，可得（舍）或，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，因为，因为，，如下图所示：因为有且只有两个整数解使成立，所以，，即.综上所述，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数，解题的关键在于利用参变量分离法以及数形结合思想可得出参数的取值范围.15．已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将问题化为有且只有两个整数解，利用导数研究的性质，并画出与的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围.【详解】由题设，定义域为，则可得，令，则，所以时，即递增，值域为；时，即递减，值域为；而恒过，函数图象如下：要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，若交点的横坐标为，则，所以，即.故选：C【点睛】关键点点睛：首先转化为有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断、交点横坐标范围，即可求参数范围.16．已知函数有唯一零点，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】把函数等价转化为偶函数，利用偶函数性质，有唯一零点，由得解.【详解】因为，令则，因为函数有唯一零点，所以也有唯一零点，且为偶函数，图象关于轴对称，由偶函