2026高考数学涨分秘籍：第19讲 选修系列“冷知识点”真的不考吗

第19讲选修系列“冷知识点”真的不考吗？

在教学选修系列时，老师们一般就根据高考出题导向教学，很多知识点，一笔带过，

甚至直接给学生说，某某知识点以往高考从未涉及，我们就不讲哈.实际上，高考考纲

中，是有明确说明，所学内容均属考试范畴，只是以往考试题目未曾涉及.事实上，这

几年高考选修的冷知识点已经连续集中在合情推理与其他知识综合考查，例如2022年

的乙卷第4题，2022年的新高考II卷第3题，等等而2020年的新课标（Ⅲ）第17题

考察了归纳法.如果考试题目中对其他部分进行简单的知识点考查，学生十之八九，要

“欲哭无泪”.本专题详细整理选修系列的冷知识，就是力争有备无患，万无一失，保

证备考不留死角.涉及十个方面：反证法、复数范围内方程的根、合情推理、证明方法、

结构图与流程图、坐标变换（可以用此法完成解析几何的压轴题）、柱坐标与球坐标、

圆的摆线与渐开线、数学归纳法、排序不等式等等，供同仁们教学参考，学生备战2024

高考的培优专题.

冷知识一反证法

名师导航

“反证法”就是从命题的反面即否定形式推导出否命题时不成立的，反证法的第一步是

必须掌握的，即假设命题的结论反面成立.

反证法适合证明否定性结论，或者正面难以入手的问题

【典例1】在用反证法证明“已知x，yR，xy0则x，y中至多有一个大于0”时，假设

应为（）

A．x，y都小于0B．x，y至少有一个大于0C．x，y都大于0D．x，y至少有一个小

于

解析：

“x，y至多有一个大于0”包括“x，y都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x，y

都大于0”.故选：C.

【典例2】用反证法证明命题:“若xy2，则x1或y1”时，应假设（）

A．x1或y1B．若x1或y1，则xy2

C．x1且y1D．若x1且y1，则xy2

解析：

用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即x1且y1，

故选:C．

2

xnxn3

【典例3】已知x0,x1，且，试证数列x对任意正整数n都

11xn12nN"n

3xn1

满足xnxn1，或者对任意正整数n都满足xnxn1，当此题用反证法否定结论时，应为（）

A．对任意的正整数n，都有xnxn1

B．存在正整数n，使xnxn1

C．存在正整数nn2，使xnxn1且xnxn1

D．存在正整数nn2，使xnxn1xnxn10

解析：

命题的结论等价于“数列xn是严格单调递增数列或严格单调递减数列”，其反设是“数列

xn是常数列或者摆动数列”，因而存在一项不比两边的项大或者不比两边的项小，即

xnxn1且xnxn1，或者xnxn1且xnxn1，所以xnxn1xnxn10.故选；D.

2n1*

【典例4】已知数列an满足，a13，anan192，nN.

(1)求数列an的通项公式；

(2)证明:数列an中的任意三项均不能构成等差数列.

a

2n1n2

【分析】(1)由anan192得4,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式；(2)假

an

设数列an中存在三项数列am,ak,ap,(其中mkp）成等差数列，应用反证法得出矛盾

证明即可.

解析：

a

2n12n1n2

（1）由anan192，得an1an292，以上两式相比，得4,

an

1

由a1a292，a13得a26,所以，数列a2n1是首项为3，公比4为的等比数列，

2n2

a2n132,

2n1

数列a2n是首项为6，公比为4的等比数列，a2n62,综上，数列an的通项公式为

n1

an32.

（2）假设数列an中存在三项数列am,ak,ap,(其中mkp）成等差数列，则

2akamap.

由（1）得232k132m132p1，即2k2m12p1,两边同时除以2m1，得

2km112pm(*)

(*）式左边为奇数，右边为偶数，(*）等式不成立，假设不成立.所以，数列an中得任

意三项均不能构成等差数列．

能力达标训练

1.利用反证法证明“若x2y0，则xy0”时，应假设为（）

A．x0且y0B．xy且x，y都不为0

C．xy且x，y不都为0D．x0或y0

解析：

利用反证法证明,应先假设结论不成立，本题应假设x0或y0，故选：D

2.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有两个实根”时，要做的假

设是（）

A．方程x3axb0没有实根B．方程x3axb0恰好有两个实根

C．方程x3axb0至多有两个实根D．方程x3axb0至多有一个实根

解析：

方程x3axb0至少有两个实根的反面是方程x3axb0至多有一个实根，

因此，用反证法证明命题：“设a、b为实数，则方程x3axb0至少有两个实根”时，

要做的假设是“方程x3axb0至多有一个实根”.故选：D.

3.用反证法证明命题：“若正整数a,b,c满足b24ac，则a,b,c中至少有一个是偶数”时，下

列假设正确的是（）

A．假设a,b,c都是偶数B．假设a,b,c都不是偶数

C．假设a,b,c至多有一个偶数D．假设a,b,c至多有两个偶数

解析：

“至少有一个是偶数”的否定形式为“都不是偶数”，

假设正确的是：假设a,b,c都不是偶数.故选：B.

4.用反证法证明命题：“已知a,bN，若ab不能被7整除，则a与b都不能被7整除”时，假

设的内容应为（）

A．a,b都能被7整除B．a,b不都能被7整除

C．a,b至少有一个能被7整除D．a,b至多有一个能被7整除

解析：

“a与b都不能被7整除”的否定为：a,b至少有一个能被7整除.故选：C.

冷知识二实系数方程在复数范围内的根

名师导航

实系数的n次方程，在复数范围内有n个根，如果有复数根，则其共轭复数也是该

方程的根，即成对出现；对于一元二次方程，韦达定理，依然适用．

【典例4】虚数单位i的平方根是（）微信公众号：钻研数学

22

A．1B．i

22

222222

C．iD．i或i

222222

解析：

a2b20

设i的平方根为abi(a,bR)，则(abi)2a2b22abii，所以，解得

2ab1

22

aa

222222

或．所以i的平方根为i或i．故选：D．

222222

bb

22

【典例5】已知复数i2是关于x的方程x2pxq0p,qR的一个根，则piq（）

A．25B．5C．41D．41

解析：

2

因为复数i2是关于x的方程x2pxq0的一个根，所以i2pi2q0，所以

piq4i2p3，所以p4,q2p3，所以p4,q5，则piq4i541，故选：

C.

【典例6】设f(x)ax2bxc,(a,b,cR).已知关于x的方程f(x)0有纯虚数根，则关于x

的方程f(f(x))0（）

A．只有纯虚数根B．只有实数根

C．有两个实数根，两个纯虚数根D．既没有实数根，也没有纯虚数根

解析：

因为关于x的方程f(x)0有纯虚数根，不妨设为xmim0,mR，

2

所以amibmic0，即am2bmic0，所以bm0,cam2，

所以b0,a0，a,c同号，

所以f(x)ax2c,(a0,a,cR)，所以

2

f(f(x))aax2ccaa2x42acx2c2ca3x42a2cx2ac2c0，

令x2t0，所以a3t22a2ctac2c0，

即因为4a4c24a4c24a3c4a3c4a2ac0，

2a2ci4a3ccia3cca3c

所以x2i，

2a3aaa

所以x不可能为纯虚数，也不可能为实数，

所以关于x的方程f(f(x))0既没有实数根，也没有纯虚数根，故选：D

能力达标训练

4.复数2i的平方根是（）

A．1i或1iB．2iC．1iD．1i

解析：

设2i的平方根为xyi(x,yR)，则(xyi)22i，即x2y22xyi2i，

x2y20,x1,x1,

从而解得或所以复数2i的平方根是1i或1i，故选：A

2xy2,y1y1.

5.定义：若z2abia,bR，则称复数z是复数abi的平方根.根据定义，复数940i的

平方根为（）

A．34i，34iB．43i，43iC．54i，54iD．45i，45i

解析：

设复数940i的平方根为xyi(x,yR)，则(xyi)2940i，化简x2y22xyi940i，

所以x2y29，2xy40，解得x5，y4或x5，y4，即复数940i的平方根

为54i或54i，故选：C

6.已知m，n为实数，1i（i为虚数单位）是关于x的方程x2mxn0的一个根，则mn

（）

A．0B．1C．2D．4

解析：

由1i是关于x的方程x2mxn0的一个根，则1i是关于x的方程x2mxn0的一个

根，

则m1i1i2，n(1i)(1i)2，即m2，n2，则mn4，故选：D.

7.已知复数z是方程x22x20的一个根，则z（）

A．1B．2C．2D．3

解析：

2

因为方程x22x20是实系数方程，且24240，所以该方程有两个互为

22i2

共轭复数的两个虚数根，即z1i，所以z1212.故选：C

2

8.若复数z是x2x10的根，则z（）

A．2B．1C．2D．3

解析：

11413i13i

∵x2x10，∴由求根公式得：x，即：z，

222

13131313

∴当zi时，|z|()2()21，当zi时，|z|()2()21.

22222222

综述：|z|1.故选：B.

9.已知，为关于x的实系数方程x24x50的两个虚根，则（）

55

A．B．C．5D．5

22

解析：

2

由x24x50，441540，∴方程x24x50的两个虚根为

44i44i

2i，2i或2i，2i，不妨取2i，2i，则

22

2

22125，2215，

555

∴.故选：A.

2i2i2

10.2的平方根是______，512i的平方根是______，i所有的三次方根为______．

解析：

2

设2的平方根是abi(a,bR)，则abi=2，即a2b2+2abi2，

a2b22b2

所以，解得，所以2的平方根是2i；

2ab0a0

2

设512i的平方根是mni(m,nR)，则mni=512i，即m2n2+2mni512i，

m2n25m2m2

所以，解得或，所以512i的平方根是23i和23i

2mn12n3n3

故答案为：2i；23i和23i

3

设i的三次方根为xabi(a,bR)，则abii，

(abi)3(abi)2(abi)(a2b22abi)(abi)a3a2biab2b3i2a2bi2ab2

(a33ab2)(3a2bb3)ii，

33

32aa

a3ab0a022

，解得或或，即i所有的三次方根为

3a2bb31b111

bb

22

3131

i,i,i

2222

3131

故答案为：i,i,i.

2222

5

11.已知复数z．

12i

(1)求|z|；

(2)若z是关于x的方程x2axb0的一个根，求实数a，b的值．

解析：

55(12i)

（1）因为z12i，所以2．

12i(12i)(12i)|z|125

（2）由（1）可得：z12i，将z代入方程x2axb0得：

2

12ia12ib(ab3)i(2a4)0，

ab30

则，解得：a2,b5．

2a40

12.已知复数z是方程x26x130的一个复数根，且z的虚部大于零．

(1)求z；

(2)若azbi（a，bR，i为虚数单位），求ab．微信公众号：钻研数学

解析：

（1）由x26x13(x3)240，即(x3)24，可得x32i，解得x32i，

因为z的虚部大于零，所以z32i

（2）由（1）知z32i，因为azbi，所以aza(32i)3a2aibi

3ab133

则解得a，b，所以ab．

2a1224

冷知识三结构图与流程图

名师导航

结构图是指以模块的调用关系为线索，用自上而下的连线表示调用关系并注明参数

传递的方向和内容，从宏观上反映软件层次结构的图形；结构图反映的要素之间关

系是从属关系或者逻辑关系.

流程图用来描述动态过程，且只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系；工序

流程图又称统筹图，根据各工序之间的关系，有时可将一些工序同时进行，以节省

时间，完成一件事，巧妙运用统筹图，适当安排，能够在尽可能节省人力，物力和

时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益，实现优化．

【典例7】对下列三种图形，正确的表述为（）

A．它们都是流程图B．①是流程图，②③是结构图

C．①②是流程图，③是结构图D．它们都是结构图

解析：

由题意可知，①表示的借书和还书的流程图，所以①是流程图；②表示基本初等函数的分类

结构，所以②是结构图；③表示的是学生会的部门分布机构，所以③是结构图.故选：B.

【典例8】下列结构图中表示从属关系的是（）

A．B．

C．D．

解析：

分析四个选项中各要素之间的关系知，A、B、D均为逻辑关系，选项C是从属关系．

故选：C

【典例9】硫酸工业在国民经济中占有极其重要的地位，在工业上黄铁矿制取硫酸的工序流

程图如图所示，则SO3的下一道工序为（）

A．接触氧化B．吸收塔反应C．SO2D．硫酸

解析：

工序流程图反映的是从开始到结束的全部步骤，根据流程图的流向即可确定SO3的下一道工

序为吸收塔反应.故选：B

【典例10】明天小强要参加班里组织的郊游活动，为了做好参加这次郊游的准备工作，他测

算了如下数据：整理床铺、收拾携带物品8分钟，洗脸、刷牙7分钟，煮牛奶15分钟，吃

早饭10分钟，查公交线路图9分钟，给出差在外的父亲发手机短信6分钟，走到公共汽车

站10分钟，等公共汽车10分钟．小强粗略地算了一下，总共需要75分钟，为了赶上7:50

的公共汽车，小强决定6:30起床，不幸的是他一下子睡到7:00！请你帮小强安排一下时间，

画出郊游出行前时间安排流程图，使他还能来得及参加此次郊游．

解析：

出行前时间安排流程图如图所示．

这样需要50分钟，刚好可以赶上7：50的公共汽车，并来得及参加此次郊游．

能力达标训练

13.新零售以互联网为依托，使得消费者的购物方式可多样化选择，如图是消费者购物方式

的流程图，则①，②，③处理框中可依次为（）

A．店铺配送店铺体验线上配送B．店铺体验店铺配送线上配送

C．线上配送店铺配送店铺体验D．店铺体验线上配送店铺配送

解析：

根据流程图可知①，②，③中可分别填写店铺体验､店铺配送､线上配送.故选：B

14.如图所示的是一个结构图，在框①②③中应分别填入（）

A．虚数，整数，分数B．复数，虚数，整数

C．虚数，复数，纯虚数D．复数，虚数，纯虚数

解析：

复数分为实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，故选：D

15.下列框图中是结构图的是（）

A．

B．

C．

D．

解析：

根据结构图和流程图的定义可知，选项A、C、D是动态过程，有先后顺序，故A、C、D

是流程图，不是结构图；选项B是静态过程，无先后顺序，故选项B是结构图，不是流程

图.故选：B

16.如图是某公司的组织结构图，则生产部的直接上位领导是（）

A．董事会B．总经理C．副总经理一D．副总经理二

解析：

从组织结构图可知生产部的直接领导是副总经理一；故选：C

17.某学校组织结构图如图所示，其中总务处的直接领导是（）

A．校长办B．教务处C．业务副校长D．政教副校长

解析：

由组织结构图可知，总务处由政教副校长直接领导．故选：D

18.某公司组织结构图如下，不属于工程部门的是（）

A．工程部B．产品开发部C．售后服务部D．后勤部

解析：

根据给定的组织结构图，结合选项，可得工程部、售后服务部和后勤部属于工程部门，

但产品开发部不属于工程部门.故选：B.

19.著名数学家华罗庚先生曾在《统筹方法平话》一文中，谈到“喝茶问题”：假设洗水壶需1min，

烧开水需15min，取茶叶需1min，洗茶壶、茶杯需2min，沏茶需1min．则下列“喝茶问题”

的流程图中效率最高的方案是（）

A．

B．

C．

D．

解析：

A．需要时间为：115211=20分钟；

B.需要时间为：1151=17分钟；

C.需要时间为：121151=20分钟

D．需要时间为：11521=19分钟

经比较可知：B方案用时最少，所以效率最高．故选：B．

20.华为产品具有先进的科技性和实用性，深受广大用户的喜爱．芯片生产被限制后，手机

业务受到很大的影响．华为积极拓展新的市场，设立了一个新的产品，计划对深圳、郑州、

上海三地进行市场调研，待调研结束后，对产品进行优化，并决定生产的产品数量，下列四

种方案中最可取的是（）

A．

B．

C．

D．

解析：

分别派出调研人员齐头并进赴三地搞调研，以便提早结束调研，尽早投产．

通过四种方案的比较，方案C更为可取．故选：C

21.某人带着包裹进入超市购物的流程图如图所示，则在空白处应填的是（）

进入超市→存放包裹→在货架上选择物品→付款→→离开超市

A．退换物品B．归还货车C．取回包裹D．参加抽奖

解析：

根据流程中有存放包裹事件，故在付款完成后，先取回包裹再离开超市.故选：C

22.如图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，零件到达后，一件成品最少､最多

需要经过的工序数目分别为（）

A．4，6B．4，7C．5，6D．5，7

解析：

由某产品加工为成品的流程图看出，一件成品最少经过的工序有：粗加工，检验，精加工，

最后检验，共4道程序；一件成品最多经过的工序有：粗加工，检验，返修加工，返修检验，

精加工，最后检验，共6道程序.故选：A

23.如图是某工厂加工手机屏幕的流程图，根据此流程图，要得到一件手机屏幕成品，至少

经过的检验程序个数为（）

A．1B．2C．3D．4

解析：

由流程图可知，若要得到一件手机屏幕成品，至少要经过检验与最后检验两次检验程序，故

选：B

24.某学校用投票选举的方式从两名候选人中确定一个副校长，具体过程如流程图所示，则

在图中①处可以填的是___________.

解析：

根据判断框的条件，得出图中①处可以填的是得票数相等.故答案为：得票数相等.

25.在工商管理学中，MRP（MaterialRequirementPlanning）指的是物资需求计划，基本MRP

从图中可以看出，主生产计划受________和________的影响．

解析：

从结构图中可以看出主生产计划受用户订单和需求预测影响．故答案为：用户订单；需求预

测

26.栽种一棵梧桐树，种树过程是：①取树苗；②挖直径1米，深1.5米的树坑；③将树苗放

至树坑中央；④向树坑中培土到树坑边，离边缘0.2米；⑤向树坑中浇水；⑥判断水是否浇

透，若水未浇透，则转⑤；否则转⑦；⑦栽种完毕.试画出该过程的流程图.

解析：

流程图如图所示：

冷知识四合情推理

名师导航

从特殊到特殊的推理，为类比推理，属于合情推理.

从由部分到整体的推理，是归纳推理，属于合情推理.

从一般到特殊的推理，是演绎推理.

【典例12】下面四种推理是合情推理的是（）

①由圆的性质类比出球的有关性质．

②指数函数的图象经过定点0,1，因为y3x是指数函数，所以y3x图象经过定点0,1．

③由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和

是180°．

④由金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电．

A．①②B．①③④C．①②④D．②④

解析：

①为类比推理，由圆的性质类比出球的性质；②为演绎推理，是由一般到特殊的推理过程；

③为归纳推理，是由特殊到一般的推理过程；④为归纳推理，是由特殊到一般的推理过程；

故①③④是合情推理.故选：B.

【典例13】下列三句话按“三段论”的表述形式，排列顺序正确的是（）

①ylnx是偶函数；②ylnx的图像关于y轴对称；③偶函数的图像关于y轴对称．

A．①→②→③B．③→②→①C．②→①→③D．③→①→②

解析：

根据“三段论”：“大前提”，“小前提”则“结论”可知：偶函数的图像关于y轴对称是“大前提”，

ylnx是偶函数是“小前提”，ylnx的图像关于y轴对称是“结论”，故选：D

【典例14】甲、乙、丙三位同学讨论一道数学题．甲说：“我做错了．”乙说：“甲做对了．”

丙说：“我做错了．”老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说：“你们有一个人做对

了，有一个人说错了．”则根据以上信息可以推断出（）

A．甲做对了B．乙做对了C．丙做对了D．无法确定谁做对了

解析：

列表即得．

同学做题说话做题说话做题说话

甲√××√×√

乙×√√×××

丙×√×√√×

故选：C.

243

【典例15】观察x2x，x4x，cosxsinx，由归纳推理得：若偶函数fx是

定义在R上的可导函数，记gx为fx的导函数，则gx等于（）

A．fxB．fxC．gxD．gx

解析：

由条件归纳推理可得偶函数的导函数为奇函数，因为fx为偶函数，所以g(x)为奇函数，

所以g(x)g(x).故选：D

1121131114

【典例16】已知不等式1,1,1,1由此可猜想：若

2223223242232425

1111

1m，则m等于（）

223242122

11241213

A．B．C．D．

12251314

解析：

1121131114

由1,1,1,1，观察发现不等式右边分式的分母是左

2223223242232425

111112

边项数加1，分子比分母小1，故1，故选：C.

22324212213

能力达标训练

27.由①y2x5是一次函数；②一次函数的图象是一条直线；③y2x5的图象是一条直

线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是（）

A．③②①B．②①③C．①②③D．③①②

解析：

根据三段论易得：大前提是：②一次函数的图象是一条直线．

小前提是：①y2x5是一次函数，结论是：③y2x5的图象是一条直线

故正确的顺序为：②①③，故答案为：B

28.指出三段论“整数是自然数（大前提），5是整数（小前提），所以5是自然数（结论）”

中的结论错误原因是（）

A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．无错误

解析：

整数是自然数大前提错误.故选:A.

111

29.三段论形式如下：因为对a，bR，ab2ab，有x2x，所以x2，

xxx

以上推理过程中的错误为（）

A．大前提B．小前提C．推理形式D．无错误

解析：

11

根据已知条件，对a，bR，ab2ab，故小前提中的x2x没有限定x的取

xx

值范围，故小前提错误.故选：B

30.下列推理形式正确的是（）

A．大前提：老虎是食肉者小前提：老李是食肉者结论：所以老李是老虎

B．大前提：凡对顶角都相等小前提：AB结论：A和B是对顶角

C．大前提：白马是马小前提：白马有四条腿结论：马有四条腿

D．大前提：所有演说家都是骗子小前提：所有说谎者都是演说家结论：所有说谎者都是

骗子

解析：

因为大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对象，

对于A，B，C小前提不是大前提中的个别对象，故不符合演绎推理的形式，即A，B，C

不正确；对于D，满足大前提是一般原理（规律），小前提是个别对象，从而可的结论.故

选：D.

31.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙没去过的另一城市为（）

A．AB．BC．CD．不确定

解析：

先从乙说的出发，可以推出乙可能去过A城市或B城市，

再由甲说的，可以推出甲去过两个城市A、C，乙只能去过A和B城市中的一个，

再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过A城市，没有去过B城市.故

选：B.

32.下列三句话按“三段论”的形式排列，顺序正确的是（）

①ysinxxR是三角函数；②三角函数是周期函数；③ysinxxR是周期函数．

A．②③①B．②①③C．③②①D．③①②

解析：

由题意，该演绎推理的大前提是“三角函数是周期函数”，小前提是“ysinxxR是三角

函数”，

结论是“ysinxxR是周期函数”．故选:B．

33.在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已

知①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅

球．下列说法正确的为（）

A．丙参加了铅球B．乙参加了铅球C．丙参加了标枪D．甲参加了标枪

解析：

由①乙没有参加跑步，则乙参加铅球或标枪，

若乙参加铅球，则丙就没有参加铅球，由③可知甲参加铅球，故矛盾，

所以乙参加标枪，显然丙没有参加标枪，则丙参加铅球，甲参加跑步，

综上可得：甲参加跑步，乙参加标枪，丙参加铅球.故选：A

34.某项球类比赛的决赛阶段只有美国、德国、巴西、西班牙、英国、法国六个国家参加．球

迷甲、乙、丙对哪个国家会获得此次比赛的冠军进行了一番讨论．甲认为，西班牙和法国都

不可能获得冠军；乙认为，冠军是美国或者是德国；丙坚定地认为冠军绝不是巴西．比赛结

束后，三人发现他们中恰有两个人的看法是对的．那么获得冠军的国家是（）

A．英国B．德国C．巴西D．西班牙

解析：

根据题意，有

冠军甲乙丙

美国√√√

德国√√√

巴西√××

西班牙××√

英国√×√

法国××√

因此获得冠军的国家是英国．故选：A.

35.在黑板上从左到右写2，0，2，3四个数，对两个相邻的数，每次用右边的数减左边的数

的差填在这两数中间，从3开始到最左边的2为止，称为填一次.比如填第一次：2，-2，0，

2，2，1，3，其中划线部分是填的右边的数减左边的数的差.则这样填2023次之后，黑板上

所有数的和是（）

A．2023B．2025C．2028D．2030

解析：

原来四个数的和为2+0+2+3=7，填第一次后，七个数分别为2，-2，0，2，2，1，3，其和

为8，

填2次之后，数变为了2，-4，-2，2，0，2，2，0，2，-1，1,2，3，其和为9，

……，每填写一次，黑板上的数字之和增加1，故填2023次之和，黑板上所有数字之和为

7202312030.

故选：D

36.观察下列的图形中小正方形的个数，则第7个图中有___个小正方形，第n个图中有___

个小正方形（）

n1n2n1n2

A．28，B．36，

22

n2nn2n

C．28，D．36，

22

解析：

设小正方形的个数构成的数列为an，

由图形可知：a112，a2123，a31234，，以此类推，

n1n289

a123nn1，a736，

n22

n1n2

即第7个图中有36个小正方形，第n个图中有个小正方形.

2

故选：B.

37.把正整数按下图所示的规律排序，则从2021到2023的箭头方向依次为（）

A．B．C．D．

解析：

∵1和5的位置相同，∴图中排序每四个一组循环，∵2021除以4余数为1，

∴2021的位置和5的位置相同，∴2021到20232的箭头方向依次为A选项所示.故选：A．

38.下列类比推理正确的序号为（）

3a

①“边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和是定值”类比空间，“棱长为a的正四

2

6a

面体内任一点到四个面的距离之和是定值”；

4

②在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2，则他们的面积比为1:4.类似的，在空间中，

若两个正四面体的棱长比为1:2，则他们的体积比为1:8；

x2y2

③已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆上1ab0关于原点对称的两个点，点

a2b2

b2

P是椭圆上任意一点，则当PM，PN的斜率都存在，KK，类似的，点P若在

PMPNa2

x2y2b2

双曲线1上，则KK.

a2b2PMPNa2

④长宽分别为a，b的矩形的外接圆的面积为a2b2，类比空间中，长宽高分别为a，b，

4

c的长方体的外接球的面积为a2b2c2.

4

A．①③B．②④C．①④D．②③

解析：

①、如图在棱长为a的正四面体ABCD中，H为CD的中点.

13

每一个面均为全等的等边三角形，其面积为Sa2sin60a2

24

设点P为正四面体内任一点，设点P到四个面的距离分别为d1,d2,d3,d4

11111

则正四面体的体积为：SdSdSdSdSdddd

3132333431234

设O为正四面体ABCD的顶点A在底面BCD上的射影,则AO为该正四面体的高.

323

由正四面体的性质可得：O为三角形BCD的重心，则BHa，则BOBHa

233

a26

所以AOBA2BO2a2a，所以正四面体的体积为：

33

11616

ShSaSdddd，所以dddda，故①不正确.

3333123412343

②、在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则其底面积之比为1:4，对应高之比为1:2

所以其体积之比为1:8，故②正确.

22m2m2a2

③mn222

、设点Mm,n，则点Nm,n，且1，则nb21b2

a2b2aa

22x2x2a2

xy222

设点Px,y，则1，则yb21b2

a2b2aa

ynyn

当PM，PN的斜率都存在时，k,k

PMxmPNxm

2222

2xa2ma

22bb2

则ynynyn22b，故③正确.

kkaa

PMPNxmxmx2m2x2m2a2

④、长方体的对角线长为：a2b2c2

1222

设长方体的为接球的半径为R，则2Ra2b2c2,即Rabc

2

a2b2c2

4R24a2b2c2

所以长方体的为接球的表面积为：

2

所以④不正确.故选：D

39.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以

至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在

1

1+1

1表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却又是个定值，它可以通过方程1x

1x

1

51

解得x，类比上述方法，则22（）

2

5151

A．B．C．2D．2

22

解析：

x2x20

类比上述方法可得：2xx，即2x0，解得：x2.故选：D.

x0

冷知识五直接证明方法

名师导航

综合法又叫顺推证法或由因导果法.

分析法又叫逆推证法或执果索因法.

【典例17】证明7253，即证：7325．只要证：1022120，只要证：

215，只要证：2125.这种证明方法是（）

A．反证法B．分析法C．综合法D．间接证法

解析：

要证明7253，即证：7325．

只要证：1022120，只要证：215，只要证：2125.这是一种执果索因的方法.从

证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个

明显成立的条件，即为分析法.

故选：B．

【典例18】“分析法”的原理是“执果索因”，用分析法证明命题：

xx5x2x3(x0)所要“索”的“因”是（）

A．06B．56C．107D．50

解析：

xx5x2x3(x0)，

即要证xx52xx5x2x32x2x3，

即xx5x2x3，即06.故选：A.

【点睛】本题考查了分析法，意在考查学生的推断能力.

能力达标训练

40.欲证3256，只需证（）

A．(32)2(56)2B．(35)2(26)2

C．(36)2(52)2D．(325)2(6)2

解析：

要证3256，由于不等式两边均为负数，故需变形为证明3652，

此时不等式两边都是正数，所以只需证(36)2(52)2．故选:C．

41.“分析法”的原理是“执果索因”，若用分析法证