(学案)三角恒等变换

42/43三角恒等变换【第1课时】【学习目标】经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．【学习重难点】两角差的余弦公式．【学习过程】一、自主学习知识点：两角差的余弦公式名称简单符号公式使用条件两角差的余弦C（α－β）cos（α－β）＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β为任意角eq\x(状元随笔)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．教材解难：（1）注意事项：不要误记为cos（α－β）＝cosα－cosβ或cos（α－β）＝cosαcosβ－sinαsinβ；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．（2）该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角β＝（α＋β）－α，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)等．基础自测：1．cos（45°－60°）等于（）A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(2)＋\r(3),4)D．eq\f(\r(2)＋\r(6),4)解析：cos（45°－60°）＝cos45°cos60°＋sin45°sin60°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)．答案：D2．cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°等于（）A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\r(3)解析：原式＝cos（45°－15°）＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)．答案：B3．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是（）A．0B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,2)D．－eq\f(1,2)解析：原式＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos（75°－15°）＝cos60°＝eq\f(1,2)．故选B．答案：B4．已知cosα＝eq\f(1,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝________．解析：因为cosα＝eq\f(1,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2)＝eq\f(2\r(6),5)．所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝cosαcoseq\f(π,3)＋sinαsineq\f(π,3)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(2\r(6),5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1＋6\r(2),10)．答案：eq\f(1＋6\r(2),10)二、素养提升题型一：运用公式化简求值例1：化简求值：（1）cos63°sin57°＋sin117°sin33°；（2）cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ．解析：（1）原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos（63°－33°）＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)．（2）原式＝cos[（α＋β）－β]＝cosα．（1）由117°＝180°－63°，57°＝90°－33°，利用诱导公式化成同角．（2）利用公式求值．方法归纳：两角差的余弦公式常见题型及解法（1）两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．（2）含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．（3）求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．跟踪训练1：求值：（1）cos15°＝________；（2）cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝________．解析：（1）cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)．（2）原式＝cos（75°－15°）＝cos60°＝eq\f(1,2)．答案：（1）eq\f(\r(6)＋\r(2),4)；（2）eq\f(1,2)（1）15°＝45°－30°．（2）利用公式求值．题型二：给值求值问题例2：已知sinα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cosβ＝－eq\f(5,13)，β是第三象限角，求cos（α－β）的值．解析：由sinα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，得cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5)．又由cosβ＝－eq\f(5,13)，β是第三象限角，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝－eq\f(12,13)．所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＋eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝－eq\f(33,65)．由sinα求cosα，由cosβ求sinβ再利用cos（α－β）公式求值．教材反思给值求值的解题策略（1）利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式．（2）常用的变角技巧有α＝（α＋β）－β，β＝（α＋β）－α，α＋β＝（2α＋β）－α，α＋β＝（α＋2β）－β，α＋β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))等．跟踪训练2：已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且sinα＝eq\f(4,5)，cos（α＋β）＝－eq\f(16,65)，求cosβ的值．解析：因为α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以0<α＋β<π，由cos（α＋β）＝－eq\f(16,65)，得sin（α＋β）＝eq\f(63,65)，又sinα＝eq\f(4,5)，所以cosα＝eq\f(3,5)，所以cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,65)))×eq\f(3,5)＋eq\f(63,65)×eq\f(4,5)＝eq\f(204,325)．β看成是β＝（α＋β）－α，从已知条件中求出（α＋β）与α的正、余弦的值，然后运用差角的余弦公式．题型三：由三角函数值求角例3：已知cosα＝eq\f(\r(5),5)，cos（α＋β）＝－eq\f(\r(10),10)，且0<β<α<eq\f(π,2)，求β的值．解析：因为0<β<α<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π，由cosα＝eq\f(\r(5),5)，cos（α＋β）＝－eq\f(\r(10),10)，得sinα＝eq\f(2\r(5),5)，sin（α＋β）＝eq\f(3\r(10),10)，所以cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝－eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3\r(10),10)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(\r(2),2)．所以β＝eq\f(π,4)．要求β，因为0<β<eq\f(π,2)所以先求cosβ，又cosβ＝cos[（α＋β）－α]再利用公式求值．方法归纳（1）要求角需先求这个角的三角函数值，然后根据范围得出角的值．（2）已知一个角的正弦值（余弦值）求余弦值（正弦值）时，要根据角的范围确定其符号．跟踪训练3：已知α，β均为锐角，且sinα＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，则α－β＝________．解析：因为α，β均为锐角，所以cosα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)．所以cos（α－β）＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)．又因为sinα>sinβ，所以0<β<α<eq\f(π,2)，所以0<α－β<eq\f(π,2)，故α－β＝eq\f(π,4)．答案：eq\f(π,4)由sinα，sinβ求cosα，cosβ，再利用公式先求cos（α－β）的值，再求α－β的范围，最后求α－β的值．三、学业达标（一）选择题1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于（）A．cos100°B．sin100°C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(1,2)解析：cos65°cos35°＋sin65°sin35°＝cos（65°－35°）＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)．故选C．答案：C2．coseq\f(5π,12)coseq\f(π,6)＋coseq\f(π,12)sineq\f(π,6)的值是（）A．0B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)解析：eq\f(5π,12)和eq\f(π,12)不是特殊角，但eq\f(5π,12)＋eq\f(π,12)＝eq\f(π,2)，所以本题可利用角的互余关系转化函数名，逆用C（α－β）求值．coseq\f(5π,12)coseq\f(π,6)＋coseq\f(π,12)sineq\f(π,6)＝coseq\f(5π,12)coseq\f(π,6)＋sineq\f(5π,12)sineq\f(π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)－\f(π,6)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)．答案：C3．sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值为（）A．－eq\f(\r(2),5)B．－eq\f(\r(2),10)C．－eq\f(7\r(2),10)D．－eq\f(7\r(2),5)解析：由条件可得cosα＝－eq\f(4,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(2),2)cosα＋eq\f(\r(2),2)sinα＝eq\f(\r(2),2)（cosα＋sinα）＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)＋\f(3,5)))＝－eq\f(\r(2),10)，故选B．答案：B4．设α，β都是锐角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin（α－β）＝eq\f(\r(10),10)，则cosβ等于（）A．eq\f(\r(2),2)B．－eq\f(\r(2),10)C．eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),10)D．eq\f(\r(2),2)或eq\f(\r(2),10)解析：因为α，β都是锐角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin（α－β）＝eq\f(\r(10),10)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)；同理可得cos（α－β）＝eq\f(3\r(10),10)，所以cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，故选A．答案：A（二）填空题5．求值：cos15°cos105°－sin15°sin105°＝________．解析：原式＝cos（15°＋105°）＝cos120°＝－eq\f(1,2)．答案：－eq\f(1,2)6．计算：cos555°＝________．解析：cos555°＝cos（720°－165°）＝cos165°＝cos（180°－15°）＝－cos15°＝－cos（45°－30°）＝－（cos45°cos30°＋sin45°sin30°）＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(2),2)×\f(1,2)))＝－eq\f(\r(6)＋\r(2),4)．答案：－eq\f(\r(6)＋\r(2),4)7．已知sinα＝eq\f(15,17)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值为________．解析：∵sinα＝eq\f(15,17)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,17)))2)＝－eq\f(8,17)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝coseq\f(π,4)cosα＋sineq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(15,17)＝eq\f(7\r(2),34)．答案：eq\f(7\r(2),34)（三）解答题8．计算下列各式的值：（1）cos56°cos26°＋sin56°sin26°；（2）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))cosθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))sinθ．解析：（1）cos56°cos26°＋sin56°sin26°＝cos（56°－26°）＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)．（2）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))cosθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))sinθ＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))－θ))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)．9．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))的值．解析：因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，所以eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5)．尖子生题库：10．已知cosα＝eq\f(1,7)，cos（α－β）＝eq\f(13,14)，且0<β<α<eq\f(π,2)，求β的值．解析：由cosα＝eq\f(1,7)，0<α<eq\f(π,2)，得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))2)＝eq\f(4\r(3),7)，由0<β<α<eq\f(π,2)，得0<α－β<eq\f(π,2)．又因为cos（α－β）＝eq\f(13,14)，所以sin（α－β）＝eq\r(1－cos2α－β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,14)))2)＝eq\f(3\r(3),14)．由β＝α－（α－β）得cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）＝eq\f(1,7)×eq\f(13,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(1,2)，所以β＝eq\f(π,3)．【第2课时】【学习目标】能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式．【学习重难点】两角和与差的正弦、余弦、正切公式．【学习过程】一、自主学习知识点一：两角和的余弦公式cos（α＋β）＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，简记为C（α＋β），使用的条件为α，β为任意角．知识点二：两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S（α＋β）sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S（α－β）sin（α－β）＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈Req\x(状元随笔)公式的记忆方法（1）理顺公式间的联系．C（α＋β）eq\o(――→,\s\up7(以－β代β))C（α－β）eq\o(――→,\s\up7(诱导公式))S（α－β）eq\o(――→,\s\up7(以－β代β))S（α＋β）（2）注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C（α－β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S（α－β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin（α＋β），sinαcosβ－cosαsinβ＝sin（α－β），cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α－β），cosαcosβ－sinαsinβ＝cos（α＋β）．知识点三：两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan（α＋β）＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T（α＋β）α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z）两角差的正切tan（α－β）＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T（α－β）α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z）eq\x(状元随笔)公式T（α±β）的结构特征和符号规律（1）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．（2）符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．教材解难：1．教材P217思考能．例如把－β代入β由C（α－β）可求出C（α＋β）．2．教材P219思考成立．方法一：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))或coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))．方法二：由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq\f(π,4)cosα－coseq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)（cosα－sinα），coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\f(π,4)cosα－sineq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)（cosα－sinα），故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))．基础自测：1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于（）A．0B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．1解析：sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin（15°＋75°）＝sin90°＝1．答案：D2．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，则eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝（）A．eq\f(7,5)B．eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5)D．－eq\f(1,5)解析：易得cosα＝eq\f(4,5)，则eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,4)－sinαsin\f(π,4)))＝eq\f(1,5)．答案：B3．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan（α＋β）＝（）A．eq\f(7,11)B．－eq\f(7,11)C．eq\f(7,13)D．－eq\f(7,13)解析：tan（α＋β）＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(4＋3,1－4×3)＝－eq\f(7,11)．答案：B4．已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin（α＋β）＝________．解析：由sinα＋cosβ＝1与cosα＋sinβ＝0分别平方相加得sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＋cos2α＋2cosαsinβ＋sin2β＝1，即2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，所以sin（α＋β）＝－eq\f(1,2)．答案：－eq\f(1,2)二、素养提升题型一：给角求值[教材P219例4]例1：利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin72°cos42°－cos72°sin42°；（2）cos20°cos70°－sin20°sin70°；（3）eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)．解析：（1）由公式S（α－β），得sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin（72°－42°）＝sin30°＝eq\f(1,2)．（2）由公式C（α＋β），得cos20°cos70°－sin20°sin70°＝cos（20°＋70°）＝cos90°＝0．（3）由公式T（α＋β）及tan45°＝1，得eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝eq\f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan（45°＋15°）＝tan60°＝eq\r(3)．和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．教材反思解决给角求值问题的方法（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．（2）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．跟踪训练1：求值：（1）cos105°；（2）eq\f(cos31°＋cos91°,sin29°)；（3）eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)．解析：（1）cos105°＝cos（60°＋45°）＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)－\r(6),4)．（2）eq\f(cos31°＋cos91°,sin29°)＝eq\f(cos31°＋cos60°＋31°,sin29°)＝eq\f(cos31°＋cos60°cos31°－sin60°sin31°,sin29°)＝eq\f(\f(3,2)cos31°－\f(\r(3),2)sin31°,sin29°)＝eq\f(\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60°－31°)),sin29°)＝eq\r(3)．（3）eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)＝eq\f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)＝tan45°＝1．（1）105°＝60°＋45°（2）找到31°、91°、29°之间的联系利用公式化简求值．题型二：给值求值例2：已知eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，cos（α－β）＝eq\f(12,13)，sin（α＋β）＝－eq\f(3,5)，求cos2α与cos2β的值．解析：因为eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，所以0<α－β<eq\f(π,4)，π<α＋β<eq\f(3π,2)．所以sin（α－β）＝eq\r(1－cos2α－β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13)，cos（α＋β）＝－eq\r(1－sin2α＋β)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2)＝－eq\f(4,5)．所以cos2α＝cos[（α＋β）＋（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin（α＋β）sin（α－β）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(12,13)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(5,13)＝－eq\f(33,65)，cos2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(12,13)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(5,13)＝－eq\f(63,65)．1．正确判断α－β，α＋β的范围是求解前提．2．巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法．方法归纳给值（式）求值的策略（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．跟踪训练2：本例条件变为：eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，sin（α－β）＝eq\f(5,13)，sin（α＋β）＝－eq\f(5,13)，求sin2β的值．解析：因为eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，所以0<α－β<eq\f(π,4)，π<α＋β<eq\f(3,2)π．所以cos（α－β）＝eq\f(12,13)，cos（α＋β）＝－eq\f(12,13)，sin2β＝sin[（α＋β）－（α－β）]＝sin（α＋β）cos（α－β）－cos（α＋β）sin（α－β）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq\f(12,13)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))×eq\f(5,13)＝0．（1）由已知求出α－β、α＋β的范围．（2）2β＝（α＋β）－（α－β）．（3）利用公式求值．题型三：给值求角例3：已知cosα＝eq\f(1,7)，sin（α＋β）＝eq\f(5\r(3),14)，0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，求角β的值．解析：因为0<α<eq\f(π,2)，cosα＝eq\f(1,7)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7)．又因为0<β<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π．因为sin（α＋β）＝eq\f(5\r(3),14)<sinα，所以cos（α＋β）＝－eq\f(11,14)，所以sinβ＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝eq\f(5\r(3),14)×eq\f(1,7)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)))×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(\r(3),2)．又因为0<β<eq\f(π,2)，所以β＝eq\f(π,3)．（1）已知α的范围及cosα，求sinα．（2）求α＋β的范围及sin（α＋β），求cos（α＋β）．（3）利用sinβ＝sin[（α＋β）－α]，求值．方法归纳解决给值（式）求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是（0，π）或（π，2π）时，选取求余弦值，当所求角范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，选取求正弦值．跟踪训练3已知tan（α－β）＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，α，β∈（0，π），求2α－β的值．解析：tanα＝tan[（α－β）＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7))))＝eq\f(1,3)．又因为α∈（0，π），而tanα>0，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．tan（2α－β）＝tan[α＋（α－β）]＝eq\f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝eq\f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1．因为tanβ＝－eq\f(1,7)，β∈（0，π），所以β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以α－β∈（－π，0）．由tan（α－β）＝eq\f(1,2)>0，得α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，所以2α－β∈（－π，0）．又tan（2α－β）＝1，所以2α－β＝－eq\f(3π,4)．（1）先求tanα＝tan[（α－β）＋β]（2）再求tan（2α－β）＝tan[α＋（α－β）]（3）由已知求2α－β的范围，最后求值易错易误：忽略条件中隐含的角的范围而致错例：已知tan2α＋6tanα＋7＝0，tan2β＋6tanβ＋7＝0，α，β∈（0，π），且α≠β，求α＋β的值．错解：由题意知tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－6，①,tanαtanβ＝7，②))∴tan（α＋β）＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－6,1－7)＝1．∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π，∴α＋β＝eq\f(π,4)或α＋β＝eq\f(5,4)π．错因分析：由①②知tanα<0，tanβ<0．角α，β都是钝角，上述解法忽视了这一隐含条件．正解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－6,tanαtanβ＝7))易知tanα<0，tanβ<0．∵α，β∈（0，π）∴eq\f(π,2)<α<π，eq\f(π,2)<β<π．∴π<α＋β<2π．又∵tan（α＋β）＝1，∴α＋β＝eq\f(5,4)π．点评：在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误．三、学业达标（一）选择题1．sin105°的值为（）A．eq\f(\r(3)＋\r(2),2)B．eq\f(\r(2)＋1,2)C．eq\f(\r(6)－\r(2),4)D．eq\f(\r(2)＋\r(6),4)解析：sin105°＝sin（45°＋60°）＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)．答案：D2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝（）A．－eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)解析：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin（20°＋10°）＝eq\f(1,2)．答案：D3．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝（）A．－eq\f(7\r(2),10)B．eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)D．eq\f(\r(2),10)解析：因为cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，所以sinα＝－eq\f(3,5)，由两角和的正弦公式可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10)．答案：A4．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝（）A．－2B．2C．－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)解析：因为eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(1,2)，因为eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),tanαtan\f(π,4)－1)＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(1,2)．答案：C（二）填空题5．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(12,13)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)<α<\f(π,2)))，则cosα＝________．解析：由于0<α－eq\f(π,6)<eq\f(π,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(12,13)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(5,13)．所以cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))coseq\f(π,6)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(12,13)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(5,13)×eq\f(1,2)＝eq\f(12\r(3)－5,26)．答案：eq\f(12\r(3)－5,26)6．若tanα＝3，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________．解析：因为tanα＝3，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(3＋1,1－3×1)＝－2．答案：－27．已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin（α＋β）＝________．解析：∵sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2（sinαcosβ＋cosαsinβ）＝1，∴sin（α＋β）＝－eq\f(1,2)．答案：－eq\f(1,2)（三）解答题8．求下列各式的值．（1）sin347°cos148°＋sin77°cos58°；（2）eq\r(3)sineq\f(π,12)＋coseq\f(π,12)；（3）tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°．解析：（1）原式＝sin（360°－13°）·cos（180°－32°）＋sin（90°－13°）cos（90°－32°）＝sin13°cos32°＋cos13°sin32°＝sin（13°＋32°）＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)．（2）原式＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin\f(π,12)＋\f(1,2)cos\f(π,12)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,12)cos\f(π,6)＋sin\f(π,6)cos\f(π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2)．（3）∵tan60°＝eq\r(3)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴tan23°＋tan37°＝eq\r(3)－eq\r(3)tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3)．9．已知△ABC，若sin（A＋B）＝eq\f(2,3)，cosB＝－eq\f(1,4)，求cosA的值．解析：∵cosB＝－eq\f(1,4)，∴eq\f(π,2)<B<π，eq\f(π,2)<A＋B<π，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(15),4)，cos（A＋B）＝－eq\r(1－sin2A＋B)＝－eq\f(\r(5),3)，∴cosA＝cos[（A＋B）－B]＝cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＋eq\f(2,3)×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(5)＋2\r(15),12)．尖子生题库：10．已知tanα＝eq\f(1,7)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，且α，β为锐角，求α＋2β的值．解析：∵tanα＝eq\f(1,7)<1且α为锐角，∴0<α<eq\f(π,4)．又∵sinβ＝eq\f(\r(10),10)<eq\f(\r(50),10)＝eq\f(\r(2),2)且β为锐角．∴0<β<eq\f(π,4)，∴0<α＋2β<eq\f(3π,4)．①由sinβ＝eq\f(\r(10),10)，β为锐角，得cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，∴tanβ＝eq\f(1,3)．∴tan（α＋β）＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,7)＋\f(1,3),1－\f(1,7)×\f(1,3))＝eq\f(1,2)．∴tan（α＋2β）＝eq\f(tanα＋β＋tanβ,1－tanα＋βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1．②由①②可得α＋2β＝eq\f(π,4)．【第3课时】【学习过程】一、自主学习二倍角的正弦、余弦、正切公式最新课程标准：二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．1．二倍角公式记法公式推导S2αsin2α＝2sin_αcos_αS（α＋β）eq\o(――→,\s\up7(令α＝β))S2αC2αcos2α＝cos2α－sin2αC（α＋β）eq\o(――→,\s\up7(令α＝β))C2αcos2α＝1－2sin2αcos2α＝2cos2α－1利用cos2α＋sin2α＝1消去sin2α或cos2αT2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)T（α＋β）eq\o(――→,\s\up7(令α＝β))T2αeq\x(状元随笔)细解“倍角公式”（1）要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．（2）倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．（3）注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．2．二倍角公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α．（2）降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)．教材解难：（1）对于S2α和C2α，α∈R，但是在使用T2α时，要保证分母1－tan2α≠0且tanα有意义，即α≠kπ＋eq\f(π,4)且α≠kπ－eq\f(π,4)且α≠kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z）．当α＝kπ＋eq\f(π,4)及α＝kπ－eq\f(π,4)（k∈Z）时，tan2α的值不存在；当α＝kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z）时，tanα的值不存在，故不能用二倍角公式求tan2α，此时可以利用诱导公式直接求tan2α．（2）一般情况下，sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα．（3）倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin3αcos3α＝eq\f(1,2)sin6α．基础自测：1．已知cosα＝－eq\f(3,5)，则cos2α等于（）A．eq\f(7,25)B．－eq\f(7,25)C．eq\f(24,25)D．－eq\f(24,25)解析：cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25)．答案：B2．eq\f(1,2)sin15°cos15°的值等于（）A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,16)D．eq\f(1,2)解析：原式＝eq\f(1,4)×2sin15°cos15°＝eq\f(1,4)×sin30°＝eq\f(1,8)．答案：B3．计算1－2sin222．5°的结果等于（）A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(3),2)解析：1－2sin222．5°＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)．答案：B4．已知α为第三象限角，cosα＝－eq\f(3,5)，则tan2α＝________．解析：因为α为第三象限角，cosα＝－eq\f(3,5)，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(4,3)，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(4,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2)＝－eq\f(24,7)．答案：－eq\f(24,7)二、素养提升题型一：给值求值[教材P221例5]例1：已知sin2α＝eq\f(5,13)，eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，求sin4α，cos4α，tan4α的值．解析：由eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，得eq\f(π,2)<2α<π．又sin2α＝eq\f(5,13)，所以cos2α＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝－eq\f(12,13)．于是sin4α＝sin[2×（2α）]＝2sin2αcos2α＝2×eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝－eq\f(120,169)；cos4α＝cos[2×（2α）]＝1－2sin22α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2＝eq\f(119,169)；tan4α＝eq\f(sin4α,cos4α)＝－eq\f(120,169)×eq\f(169,119)＝－eq\f(120,119)．已知条件给出了2α的正弦函数值．由于4α是2α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．教材反思三角函数求值问题的一般思路（1）一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．（2）注意几种公式的灵活应用，如：①sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2cos2eq\f(π,4)－x－1＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))；②cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))．跟踪训练1：（1）已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，则sin2α＝________，cos2α＝____________，tan2α＝____________；（2）已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(5,13)，0<x<eq\f(π,4)，求cos2x的值．解析：（1）因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝－eq\f(2\r(5),5)，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(4,5)，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2＝eq\f(3,5)，tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(4,3)，故填－eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，－eq\f(4,3)．（2）因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以eq\f(π,4)－x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，又因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(5,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(12,13)，所以cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝2×eq\f(5,13)×eq\f(12,13)＝eq\f(120,169)．（1）由sinα求cosα，再利用二倍角公式求值．（2）由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))．利用二倍角求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))，再利用诱导公式求值．题型二：二倍角的正用、逆用例2：（1）若sinα＝eq\f(1,3)，则cos2α＝（）A．eq\f(8,9)B．eq\f(7,9)C．－eq\f(7,9)D．－eq\f(8,9)（2）计算：cos20°cos40°cos80°＝________．（3）计算：eq\f(1－tan2\f(π,12),tan\f(π,12))＝________．解析：（1）cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(7,9)．（2）原式＝eq\f(2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°,2sin20°)＝eq\f(2sin40°·cos40°·cos80°,4sin20°)＝eq\f(2sin80°·cos80°,8sin20°)＝eq\f(sin160°,8sin20°)＝eq\f(1,8)．（3）原式＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tan2\f(π,12))),2tan\f(π,12))＝eq\f(2,tan\f(π,6))＝2eq\r(3)．答案：（1）B；（2）eq\f(1,8)；（3）2eq\r(3)（1）cos2α＝1－2sin2α．（2）构造二倍角的正弦公式，分子视为1，分子分母同时乘以2sin20°．（3）运用二倍角的正切化简求值．方法归纳应用二倍角公式化简（求值）的策略（1）化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．（2）公式逆用：主要形式有2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，cos2α－sin2α＝cos2α，eq\f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α．跟踪训练2：求下列各式的值．（1）sineq\f(π,12)coseq\f(π,12)；（2）1－2sin2750°；（3）eq\f(2tan150°,1－tan2150°)；（4）coseq\f(π,5)coseq\f(2π,5)．解析：（1）原式＝eq\f(2sin\f(π,12)cos\f(π,12),2)＝eq\f(sin\f(π,6),2)＝eq\f(1,4)．（2）原式＝cos（2×750°）＝cos1500°＝cos（4×360°＋60°）＝cos60°＝eq\f(1,2)．（3）原式＝tan（2×150°）＝tan300°＝tan（360°－60°）＝－tan60°＝－eq\r(3)．（4）原式＝eq\f(2sin\f(π,5)cos\f(π,5)cos\f(2π,5),2sin\f(π,5))＝eq\f(sin\f(2π,5)cos\f(2π,5),2sin\f(π,5))＝eq\f(sin\f(4π,5),4sin\f(π,5))＝eq\f(sin\f(π,5),4sin\f(π,5))＝eq\f(1,4)．利用二倍角公式求值，注意二倍角是相对的，例如eq\f(π,6)是eq\f(π,12)的二倍，eq\f(2,5)π是eq\f(π,5)的二倍．题型三：简单的化简证明例3：（1）已知eq\f(cos2α,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(\r(5),2)，则tanα＋eq\f(1,tanα)等于（）A．－8B．8C．eq\f(1,8)D．－eq\f(1,8)（2）求证：cos2（A＋B）－sin2（A－B）＝cos2Acos2B．解析：（1）eq\f(cos2α,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(cos2α－sin2α,sinα＋cosα)＝cosα－sinα＝eq\f(\r(5),2)⇒（cosα－sinα）2＝eq\f(5,4)⇒sinαcosα＝－eq\f(1,8)，所以tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα)＝－8．（2）左边＝eq\f(1＋cos2A＋2B,2)－eq\f(1－cos2A－2B,2)＝eq\f(cos2A＋2B＋cos2A－2B,2)＝eq\f(1,2)（cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B）＝cos2Acos2B＝右边，所以等式成立．答案：（1）A；（2）见解析（1）利用二倍角的余弦、两角和的正弦展开，再由切化弦化简求值．（2）可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差公式转化为右边形式．方法归纳三角函数式的化简与证明（1）化简三角函数式的要求：①能求出值的尽量求出；②使三角函数的种类与项数尽量少；③次数尽量低．（2）证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．跟踪训练3：化简：（1）eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos2α))，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))；（2）eq\r(1＋sinθ)－eq\r(1－sinθ)，其中θ∈（0，π）．解析：（1）∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴cosα>0，eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，∴coseq\f(α,2)<0．故原式＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(cos2α))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cosα)＝eq\r(cos2\f(α,2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)．（2）原式＝eq\r(sin2\f(θ,2)＋cos2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2))－eq\r(sin2\f(θ,2)＋cos2\f(θ,2)－2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2)))2)－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2)))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))．①当θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，eq\f(θ,2)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，coseq\f(θ,2)≥sineq\f(θ,2)，此时原式＝sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2)＋sineq\f(θ,2)＝2sineq\f(θ,2)．②当θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，eq\f(θ,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，coseq\f(θ,2)<sineq\f(θ,2)，此时原式＝sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)－sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝2coseq\f(θ,2)．利用二倍角公式及变形公式化简，同时注意角的范围．方法技巧：合理配凑、巧用倍角公式求解求coseq\f(π,11)coseq\f(2π,11)coseq\f(3π,11)coseq\f(4π,11)coseq\f(5π,11)的值．分析：添加“sineq\f(π,11)”及系数2，创造条件，注意重复使用倍角公式．解析：原式＝－coseq\f(π,11)coseq\f(2π,11)coseq\f(4π,11)coseq\f(8π,11)coseq\f(5π,11)＝eq\f(－24sin\f(π,11)cos\f(π,11)cos\f(2π,11)cos\f(4π,11)cos\f(8π,11)cos\f(5π,11),24sin\f(π,11))＝eq\f(－sin\f(16π,11)cos\f(5π,11),24sin\f(π,11))＝eq\f(sin\f(5π,11)cos\f(5π,11),24sin\f(π,11))＝eq\f(\f(1,2)·sin\f(10π,11),24sin\f(π,11))＝eq\f(sin\f(π,11),25sin\f(π,11))＝eq\f(1,32)．点评：本题体现了对二倍角的巧用，通过分子、分母同乘以24sineq\f(π,11)后，出现了“多米诺”链接效应，连续逆用二倍角正弦公式后获得结果，具体计算时要注意“2”的方幂，不要数错．一般地，sin2nα＝2·sin2n－1αcos2n－1α⇒cosαcos2αcos22α…cos2n－1α＝eq\f(sin2nα,2nsinα)．三、学业达标（一）选择题1．已知sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，则sin2α等于（）A．eq\f(7,5)B．eq\f(12,5)C．eq\f(12,25)D．eq\f(24,25)解析：sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(24,25)．答案：D2．计算2sin2105°－1的结果等于（）A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)解析：2sin2105°－1＝－cos210°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)．答案：D3．已知sinα＝3cosα，那么tan2α的值为（）A．2B．－2C．eq\f(3,4)D．－eq\f(3,4)解析：因为sinα＝3cosα，所以tanα＝3，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×3,1－32)＝－eq\f(3,4)．答案：D4．已知α∈（0，π），且sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，则cos2α的值为（）A．±eq\f(\r(7),4)B．eq\f(\r(7),4)C．－eq\f(\r(7),4)D．－eq\f(3,4)解析：因为sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，α∈（0，π），所以1＋2sinαcosα＝eq\f(1,4)，所以sin2α＝－eq\f(3,4)，且sinα>0，cosα<0，所以cosα－sinα＝－eq\r(1－2sinαcosα)＝－eq\f(\r(7),2)，所以cos2α＝（cosα－sinα）（cosα＋sinα）＝－eq\f(\r(7),4)．故选C．答案：C（二）填空题5．eq\f(1－tan215°,2tan15°)等于________．解析：原式＝eq\f(1,tan30°)＝eq\f(1,\f(\r(3),3))＝eq\r(3)．答案：eq\r(3)6．已知sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(2\r(3),3)，那么sinθ＝________，cos2θ＝________．解析：∵sineq\f(θ,2)＋coseq\f