2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第08讲 等差数列（2知识点+9大题型）（解析版）

第08讲等差数列内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：等差数列的判断】【题型02：求等差数列的基本项】【题型03：求等差数列的通项公式】【题型04：等差中项】【题型05：等差数列的证明】【题型06：等差数列的性质】【题型07：对称设元法巧解等差数列】【题型08：等差数列的单调性】【题型09：等差数列的实际应用】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：等差数列的概念与通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中项由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,.3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，通项公式为知识点2：等差数列的性质与应用1.等差数列通项公式的变形及推广（1） （2）.（3）,且.2.若分别是公差为的等差数列,则有数列结论公差为d的等差数列(c为任一常数)公差为cd的等差数列(c为任一常数)公差为2d的等差数列(k为常数)公差为的等差数列(p,q为常数)3.下标性质在等差数列中,若,则.特别的,若,则有【题型01：等差数列的判断】1．（多选）下列数列是递增的等差数列的是（

）A．B．C．D．数列满足【答案】AD【详解】由题意，∵，∴A中数列是公差为6的递增等差数列.故A正确.∵，∴B中数列不是等差数列.故B错误.∵，∴C中数列是公差为0的等差数列，但不是递增数列.故C错误.∵，∴D中数列是公差为3的递增等差数列.故D正确.故选：AD.2．若数列为，，，，…，则是这个数列的第项．【答案】26【详解】易发现该数列指数呈现等差关系，设数列7，10，13，16，…，为数列，则数列是以7为首项3为公差的等差数列，其通项公式为，令，解得；故答案为：26.3．已知数列满足，，则（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【详解】由，可得数列是等差数列，公差，又，.故选：C.4．从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（

）A．16个 B．24个 C．32个 D．48个【答案】C【详解】解：当公差时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7个；当公差时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5个；当公差时，数列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3个；当公差时，数列有1，5，9共1个，同理，当时，有7个，当时，有5个，当时，有3个，当时，有1个，故共有．故选：C．5．由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（

）A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列【答案】C【详解】因为，所以数列是公差为2d的等差数列.故选：C【题型02：求等差数列的基本项】6．已知等差数列，，则＝（

）A．0 B．－1 C．－2 D．－3【答案】B【详解】由数列为等差数列，则，解得，可得公差，所以．故选：B．7．在等差数列中，则等于（

）A． B．15 C．25 D．【答案】B【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得.故选：B.8．已知等差数列的公差为，若，则（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【详解】由题意知，，又，故．故选：C9．已知等差数列的公差为，已知，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】A【详解】因为数列为等差数列，且，若，则，可得.故选：A.10．等差数列中，，，则（

）A．35 B．40 C．55 D．53【答案】D【详解】因为为等差数列，设公差为d，所以，则，又，联立解得，所以.故选：D11．在等差数列中，，，则公差的取值范围是.【答案】【详解】等差数列中，，，所以，解得，即公差的取值范围是．故答案为：.【题型03：求等差数列的通项公式】12．设是等差数列，且，，则的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，则.故选：B.13．已知数列中，，则，数列的通项公式是.【答案】/0.5【详解】由得.因为，所以数列是首项为1，公差为的等差数列.所以.所以数列的通项公式是.所以.故答案为：①，②.14．已知等差数列的公差为1，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】若数列公差为，因为，所以，又，解得，所以.故选：C15．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设的公差为，则，，故.故选：B.16．已知各项均为正数的数列中，，，则（

）A．400 B．600 C．800 D．1000【答案】C【详解】因为数列各项均为正数，且，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，，故选：C17．数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则.【答案】【详解】由题意可得：，即，所以，故答案为：【题型04：等差中项】18．等差数列中，，则数列的公差为（

）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】A【详解】由等差中项可得又，故公差为，故选：A19．为等差数列，若，下列不是定值的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为数列为等差数列，则，解得，对于A选项，；对于B选项，无法确定的值；对于C选项，；对于D选项，.故选：B.20．已知是方程的两个根，则的等差中项为（

）A．1 B．2 C．4 D．不能确定【答案】A【详解】由韦达定理可得，所以的等差中项为1.故选：A21．在等差数列中，，则的值为.【答案】12【详解】由题意得，结合等差数列的性质可知，可得，即，则.故答案为：1222．已知数列与均为等差数列，且，，则（

）A．9 B．18 C．16 D．27【答案】A【详解】因为数列与均为等差数列，且，，所以所以，则.故选：.23．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则．【答案】【详解】因为数列，，为等差数列，所以，即，所以，化简可得，当时，，解得；当时，，此时无解；当时，，解得，不合题意；综上，.故答案为：【题型05：等差数列的证明】24．已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足.(1)数列是不是等差数列?若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；(2)若，求数列的通项公式.【答案】(1)数列是等差数列，证明见解析(2).【分析】【详解】（1）解：数列是等差数列，证明如下：由数列都是等差数列，公差分别为，且，可得，则（常数），所以数列是公差为的等差数列.（2）解：因为，可得由（1）得，数列是首项为，公差为的等差数列，所以.25．已知，若，且（为正整数）.(1)写出数列的前5项；(2)证明是等差数列，并求.【答案】(1)1，，，，(2)证明见解析，【分析】【详解】（1）由已知条件得，即，,,,故数列的前5项为1，，，，.（2）证明：∵，∴,∴，其中首项为，∴是首项为，公差为的等差数列，∴，∴.26．在数列中，，且．证明：是等差数列.【答案】证明见解析【详解】因为在数列中，，且，所以，所以是首项为，公差为2的等差数列．27．已知数列满足，且，证明：是等差数列.【答案】证明见解析【详解】因为，所以，所以，即所以是以为首项，为公差的等差数列.28．已知数列，满足，，记.(1)试证明数列为等差数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见及解析(2)【分析】【详解】（1）证明：,又，∴数列是首项为，公差为的等差数列．（2）由（1）知，因为，所以∴数列的通项公式为.29．已知数列{an}满足，，令.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】【详解】（1）∵，∴，又，∴是首项为，公差为的等差数列．（2）由（1）知，，∴.【题型06：等差数列的性质】30．在等差数列中，，则（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【详解】由等差数列的性质可知，则，故.故选：D31．已知等差数列满足，则（

）A． B．3 C． D．6【答案】B【详解】由，若的公差为，则.故选：B32．设数列是等差数列，“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【详解】在等差数列中，若，则成立，故充分性满足；下面讨论必要性：取，若，则不一定成立，故必要性不满足，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A．33．已知正项等差数列满足，则（

）A．670 B．675 C．2025 D．4050【答案】B【详解】因为数列为正项等差数列，则，即，可得，，，，累乘可得.故选：B.34．已知正项等差数列满足，则（

）A．5 B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，又，所以，则，则，解得或，又，所以.故选：C35．正项等差数列中，，则的最小值为．【答案】【详解】由正项等差数列中，由，得，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：36．（多选）记等差数列的公差为，已知，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】等差数列的公差为，，对于A，，A正确；对于B，的符号无法确定，B错误；对于C，，C错误；对于D，，，则，D正确.故选：AD【题型07：对称设元法巧解等差数列】37．在与15之间插入5个数，使这7个数成等差数列，则插入的5个数之和为（

）A．21 B．24 C．27 D．30【答案】D【详解】设插入的5个数依次为，则数列成等差数列，因此，解得，所以.故选：D38．已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（

）A． B．20 C． D．【答案】C【分析】【详解】设这五个数分别为，，由题意可得，解得，且，解得，则最大的数为.故选：C39．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为．【答案】【详解】设所求三个数依次为，则成等差数列，因此，解得，所以这3个数为.故答案为：40．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为．【答案】2，5，8，11或11，8，5，2．【详解】设这四个数依次为(公差为)．因为四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，所以，解得：或，∴这个数列为或故答案为：2,5,8,11或11,8,5,2．41．四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40．求这四个数．【答案】11，8，5，2【详解】设这四个数为，，，（公差为2d），依题意，得，解得或，又四个数成递减的等差数列，即，因此．所以所求的四个数为11，8，5，2.【题型08：等差数列的单调性】42．（多选）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（

）A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列C．是单调递增数列 D．是单调递增数列【答案】BCD【详解】对于A选项，不妨取，则，且对任意的，，但，，此时数列不单调，A错；对于B选项，若，由于，故数列是单调递增数列，B对；对于C选项，对任意的，由于，故数列是单调递增数列，C对；对于D选项，对任意的，，因为，所以，故数列是单调递增数列，D对.故选：BCD.43．（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（

）A．数列是等差数列 B．数列是等差数列C．数列是递增数列 D．数列是递增数列【答案】ABD【详解】设等差数列的首项为，所以，对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确；对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确；对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确；对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确；故选：ABD44．设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】【详解】对于无穷等差数列，由于，当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值，当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值，所以公差不能推出有最大值，当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值，所以当有最大值时，只能，综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件，故选：A45．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是.【答案】8【详解】若等差数列的各项均为正整数，则数列是严格递增数列，于是公差，因此为正整数，因为关于单调递减，而，则当时，取得最小值为.故答案为：46．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝．【答案】16【详解】由题意，，令，得，解得，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；又，，则，因此当最小时，，故答案为：【题型09：等差数列的实际应用】47．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】B【详解】从冬至日起，依次构成等差数列，设为，由题意得：，解得，又冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺：，所以，所以，所以，故选：B48．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，余数为0，故100年后天干为壬，由于，余数为4，故100年后地支为午，综上：100年后的2122年为壬午年.故选：A49．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为.【答案】167【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，则既是3的倍数，也是4的倍数，故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列，所以，令，即，且，解得，且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167．故答案为：16750．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为；2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.【答案】；.【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假，所以有，若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有，此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为，设共有项，所以有；若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有，此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为，设共有项，所以有，所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天，故答案为：；一、单选题1．已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】令，则，因为，所以，即为等差数列，故充分性成立.反之，若为等差数列，设公差为，则，当时，，故必要性不成立.故选：A.2．在等差数列中，，，则（

）A．4 B．5 C．7 D．6【答案】D【详解】由等差数列的性质得，解得，又因为，，解得.故选：D.3．在等差数列中，，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设等差数列的公差为．因为，所以，解得．所以，所以．故选：D.4．某公司购置了一台价值为300万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的10%，设备将报废.则d的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设使用年后该设备的价值为，则由，有，又由，有，可得.故选：D.5．已知做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.8m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2.4m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（

）A．0.6m B．0.7m C．0.8m D．0.9m【答案】B【详解】记7根横梁的长度从上到下成等差数列，由题意得，，∴，，故，，∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是0.7m.故选：B.6．已知数列满足，，记，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，即，C对；对于D选