2026年高一数学寒假自学课（人教B版）第01讲 任意角的概念与弧度制（4知识点+8大题型）（解析版）

第01讲任意角的概念与弧度制内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：与任意角有关的概念】【题型02：终边相同的角】【题型03：象限角和区域角】【题型04：和的所在象限】【题型05：角度与弧度的互化与应用】【题型06：用弧度制表示角】【题型07：扇形弧长与面积的计算】【题型08：扇形周长、面积的最值】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．角的表示如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边．“角”或“”可以简记成“”．（3）角的分类类型定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角（4）相等角与相反角①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称．②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为．③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是．④角的减法可以转化为角的加法．知识点2：象限角和终边相同的角1．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏；（2）与中间用“”连接，如可理解成．知识点3：弧度制1．角的单位制（1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．（2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．2．角度与弧度的换算角度化弧度弧度化角度度数弧度数弧度数度数知识点4：扇形的弧长公式及面积公式弧长公式面积公式角度制弧度制温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制．（2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①【题型01：与任意角有关的概念】1．“为锐角”是“为第一象限角”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】为锐角，则，故为第一象限角，充分性成立，当为第一象限角，取，为第一象限角，但不是锐角，故必要性不成立，因此“为锐角”是“为第一象限角”的充分不必要条件，故选：B2．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么、、的关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】锐角是第一象限角，而第一象限角不一定是锐角，如角，因此是的真子集，D错误；角是第一象限角，而大于，因此不是的子集，C错误；角是第一象限角且是小于的角，而角不是锐角，，A错误；锐角是大于小于的角，因此是的真子集，，B正确.故选：B3．已知O为坐标原点，且射线OA的始边与x轴的非负半轴重合，若射线OA绕端点O逆时针旋转到达OB位置，由OB位置顺时针旋转到达OC位置，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以.故选：B4．下列说法正确的是（

）A．第二象限角比第一象限角大B．角与角是终边相同角C．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角D．将表的分针拨快分钟，则分针转过的角的弧度数为【答案】C【详解】选项A：第二象限角可能为负角，如，第一象限角也有可能为正角，如，故A错误；选项B：，故角与角终边不同，故B错误；选项C：斜三角形的内角为锐角或者钝角，故其内角为第一象限角或第二象限角，故C正确；选项D：分针拨快是顺时针旋转，得到的角为负角，故D错误.5．如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则．【答案】．【详解】由角的定义可得．故答案为：【题型02：终边相同的角】6．与角的终边相同的最小正角是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以角的终边相同的最小正角是，故选：A7．在0°~360°范围内，与终边相同的角是.【答案】165°【详解】.所以是，故答案为：8．若角的终边相同，则的终边在（

）A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上【答案】A【详解】由角的终边相同，则，即，所以的终边在轴的非负半轴上.故选：A9．角的终边与的终边关于轴对称，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称，所以.故选：D.10．已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与角的倍角的终边重合，则角=．【答案】或【详解】角的终边顺时针旋转所得的角为，由题意，，则，注意到，则只有符合题意，故或．故答案为：或．11．（多选）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】因为角与角的终边相同，所以，同理得，所以，故选：AD．【题型03：象限角和区域角】12．是第几象限角（

）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【详解】，且是第三象限角，则是第三象限角.故选：C13．若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】由题知，则，故角的终边所在的象限是第三象限．故选：C14．已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确，又第二象限角的范围为，不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误，故选：C.15．若为第二象限角，则的终边所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限【答案】D【详解】因为为第二象限角，则，因此，而为偶数，当为奇数时，为奇数，则为第四象限角，当为偶数时，为偶数，则为第二象限角，所以的终边所在的象限是第二、四象限.故选：D16．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是，故选：C17．写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】【详解】依题意，角的集合为，所以所求的集合为.【题型04：和的所在象限】18．已知为第三象限角，那么不可能是（

）A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角【答案】C【详解】由题意是第三象限角，即，故，当时，，是第一象限角；当时，，是第三象限角；当时，，是第四象限角；故不可能是第二象限角.故选：C19．已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（

）A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角【答案】B【详解】由与210°角的终边关于x轴对称，可得，∴，取可确定终边在第一或第三象限角.故选：B．20．（多选）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】AB【详解】因为角α是第二象限角，所以，所以所以2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角，即其终边不可能在第一、二象限.故选：AB21．已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】解：因为角的终边与的终边重合，所以，，所以，，令，则，此时的终边位于第二象限；令，则，此时的终边位于第三象限；令，则，此时的终边位于第四象限．所以的终边不可能在第一象限，故选：A．22．（多选）已知是第三象限角，则不可能是第几象限角（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】CD【详解】因为是第三象限角，则，于是，显然终边在x轴上方，所以不可能是第三象限角，不可能是第四象限角.故选：CD23．（多选）如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】AC【详解】依题意，得，所以，当为偶数时，的终边在第一象限；当为奇数时，的终边在第三象限．故选：AC.【题型05：角度与弧度的互化与应用】24．化成弧度制是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由于，所以故选：D.25．把下列各角的角度化成弧度、弧度化成角度，并指出各角所在象限：(1)；(2)；(3).【答案】(1)，第四象限角.(2)，第三象限角(3)，第二象限角.【详解】（1），是第四象限角；（2），是第三象限角；（3），是第二象限角.26．3弧度是第象限角．【答案】二【详解】1弧度，3弧度，3弧度的角的终边在第二象限，3弧度是第二象限角.故答案为：二.27．已知，则间的大小关系为．【答案】【详解】由题意可得，，所以．故答案为：.28．（多选）以下说法正确的有（

）A．化成角度为B．化成的形式是C．如果是第一象限的角，则是第四象限的角D．若是第二象限角，则是第二或第四象限角【答案】ABC【详解】对于A选项，，A正确；对于B选项，，B正确；对于C选项，如果是第一象限的角，则，那么，这表明是第四象限的角，C正确；对于D选项，若是第二象限角，则，则，当为奇数时，为第三象限角；当为偶数时，为第一象限角，所以是第一或第三象限角，D错误.故选：ABC.【题型06：用弧度制表示角】29．设函数的图象经过定点，则以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，解得，，故点坐标为，结合图象，由终边相同的角的表示可知.故选：C.30．已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】D【详解】A表示角β和α的终边相同；B表示角β和α的终边关于原点对称；C表示角β和α的终边关于x轴对称；D表示角β和α的终边关于y轴对称.故选：D31．终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，所以终边落在边上的角为，所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为.故选：C.32．若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的范围是，所以角的取值范围是．故选：D．33．时钟的分针在8点10分到8点20分这段时间里转过的弧度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】时钟的分针从8点10分到8点20分顺时针转动了，所以转过的弧度数为.故选：B.34．午夜零时时针和分针重合，则午夜零时后，时针和分针第1次重合所需时间为小时，第3次重合时时针所转的角度为.【答案】/【详解】设从午夜零时起，分针走了小时后与时针重合，分针的角速度为，时针的角速度为，则，得.当时，,当时，，这时时针所转的角度为.故答案为：；【题型07：扇形弧长与面积的计算】35．已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为（

）A． B．6 C． D．【答案】C【详解】设扇形半径为，，，，，解得，，故C正确．故选：C．36．如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可知，所以是等边三角形，所以，,所以扇形的面积为，的面积为，又半圆的面积为，所以图中阴影部分的面积为.故选：B.37．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（

）A． B．8 C． D．【答案】C【详解】由题意，在中，，即，解得，故，所以，因此.故选：C.38．小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（

）A． B．弧长C．扇形的周长为 D．扇形的面积为【答案】D【详解】对于A：，A正确；对于B：，B正确；对于C：扇形的周长为，C正确；对于D：扇形的面积为，D错误；故选：D39．如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为．

【答案】【详解】设圆的半径为，由题有，解得，又，所以，又点在圆上，，则所以矩形的面积为，又扇形的面积为，所以矩形在圆外部分的面积为，故答案为：.40．已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为【答案】【详解】由题意得可化为，且所对的弧长为，设半径为，则，解得，由扇形的面积公式得面积为.故答案为：41．（多选）在半径为r的圆中，扇形的弧长，面积为，圆心角，弦，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．的面积为【答案】BC【详解】设扇形半径为，作，在直角中，，A选项错误，结合弧长公式，B选项正确；根据扇形的面积公式，，C选项正确；，D选项错误.故选：BC【题型08：扇形周长、面积的最值】42．已知扇形的周长为，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是．【答案】【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，已知扇形的周长，由扇形周长公式，可得，移项可得，又扇形面积，将代入面积公式可得，根据二次函数的图像性质，可得当时，面积取得最大值，当时，可得，所以圆心角.故答案为：43．已知扇形的面积为4，则该扇形的周长的最小值为.【答案】8【详解】设扇形所在圆的半径为，弧所对的圆心角为，弧长为，面积为，则，，即，所以扇形的周长，当且仅当时取等号，所以扇形的周长的最小值为8.故答案为：8.44．如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为.【答案】【分析】【详解】，所以在扇形中，弓形面积为，在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为，所以所以阴影面积.故答案为：.45．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．【答案】(1)；(2)当时，y的值最大，最大值为．【分析】【详解】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，，．（2）依据题意，可知，化简得：，，当，．∴当时，y的值最大，且最大值为．一、单选题1．同学们刚过完元旦假期，已经进入年了，那么角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【详解】，，，与终边相同，，是第三象限角，故是第三象限角，故C正确．故选：C．2．与终边相同的角可以表示为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以与终边相同的角可以表示为.故选：C．3．“是小于的钝角”是“是第三象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若是小于的钝角，则，则，所以是第三象限角；若是第三象限角，则可以取，即可以取，但不是钝角.故“是小于的钝角”是“是第三象限角”的充分不必要条件.故选：A4．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流.如图，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以扇形的面积为；扇形的面积为.所以扇面（曲边四边形）的面积为.故选：A.5．已知扇形的圆心角，半径．若仅将减小，则扇形的面积减小了（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，半径．且减小的部分也为扇形，则由扇形面积公式可得则扇形的面积.

故选：D.6．挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（

）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【详解】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时，根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内，因此从1时开始，1时到2时之间重合一次，2时到3时之间重合一次10时到11时之间重合一次，11时到13时之间重合一次（12时），13时到14时之间重合一次.每个小时分针与时针会重合1次，所以一共会重合12次.故选：B.二、多选题7．下列各角中，与1120°角终边相同的是（

）A． B．40° C．60° D．400°【答案】BD【详解】与角终边相同的角可以表示为.当时，，，所以A错误；当时，，，所以B正确；当时，，，所以C错误；当时，，，所以D正确.故选：BD.8．下列结论正确的有（

）A．若角为锐角，则角为钝角B．终边在直线上的角的集合是C．若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角D．若是第三象限角，则可能是第二象限角【答案】BC【详解】若取为锐角，但也是锐角，A错误；终边落在直线上的角的集合是，终边落在直线上的角的集合是，所以终边在直线上的角的集合是，B正确；若是第二象限角，则，，所以，，所以是第一象限角或第三象限角，C正确；若是第三象限角，则，所以.当时，；当时，；当时，，所以可能是第一、三或四象限角，不可能是第二象限角，D错误.故选：BC.三、填空题9．已知是第一象限角，那么是第象限角.【答案】一或三【详解】因为是第一象限角，所以()，所以()，当时，()，此时是第一象限角，当时，()，此时是第三象限角，故答案为：一或三.10．已知角的终边在如图所示的涂色部分表示的范围内（不包括边界），则角用集合可表示为．

【答案】【详解】在内，终边落在涂色部分的角的集合为，所以所求角的集合为.故答案为：.11．如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直