2026年高一数学寒假自学课（人教B版）第03讲 同角三角函数的关系及诱导公式（2知识点+8大题型）（解析版）

第03讲同角三角函数的关系及诱导公式内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练题型01：知一求二题型02：正余弦齐次式的运算题型03：，关系的应用题型04：化简、求值题型05：诱导公式——给角求值题型06：诱导公式——化简求值题型07：利用互补互余关系求值题型08：证明恒等式第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：同角三角函数的基本关系式（1）平方关系:.（2）商数关系:.这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切.温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立.（3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦.（4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立.知识点2：三角函数的诱导公式诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，．，，其中知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；（4）；．【题型01：知一求二】1．已知，则“”是“”的（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】（1）因为，所以，又，由，可得，所以；（2）因为，又，当时，，由，可得，此时，当时，，由，可得，此时，综上，，则“”是“”的充分不必要条件，故选：C2．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为是第一象限角，余弦值为正数，所以，则.故选：B.3．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，则，所以，则.故选：C.4．已知锐角满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由锐角满足，即，所以，所以，所以，故选：C.5．已知角的终边与单位圆交于第二象限的点，则.【答案】【详解】因为角的终边与单位圆交于第二象限的点，所以，解得，因为在第二象限，所以，所以.故答案为：6．已知是第三象限的角，则．【答案】【详解】因为是第三象限的角，所以，因为，所以，联立方程组，解得（正根舍去），故答案为：【题型02：正余弦齐次式的运算】7．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，解得．故选：D．8．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，可得.故选：A.9．已知，则.【答案】【详解】由，可得，解得，所以，故答案为：10．若，则=.【答案】【详解】，故答案为：11．如果角的终边在直线上，则【答案】【详解】因为角的终边在直线上，所以设直线上一点，可得．所以．故答案为:12．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为.【答案】/0.5【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为，依题意，，则，即，由，得，则，由，得，所以，故答案为：【题型03：，关系的应用】13．若，则．【答案】【详解】因为，两边平方得，即，解得.故答案为：.14．（多选）已知，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】由得，，又，，所以，所以，A正确；因为，，所以，所以，B正确；结合可得，，C正确；，D不正确．故选：ABC．15．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则．【答案】/【详解】直角三角形中较小的内角为，斜边为1，则直角三角形的两条直角边分别为，所以小正方形的边长为，即，也即，可得，因，因为锐角，则.故答案为：.16．角为的内角，且，则【答案】【详解】由两边平方得，，.故答案为：17．已知，.(1)求的值.(2)求的值.(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】【详解】（1）因为，所以，所以；（2）因为，，所以，所以原式=；（3）由（2）得，则.18．已知，，求证：.【答案】证明见解析【详解】，由，得.代入得，整理，得：，，，∴原等式成立.【题型04：化简、求值】19．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，所以，化简得，因为，所以，所以，解得.故选：B.20．已知集合，且A=B，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．±1【答案】A【详解】因为，又即，所以，则，又，所以，所以.故选：A.21．已知，且，其中，则．【答案】/【详解】因为①，②，联立①②解得，故，整理得到：，解得或，又，故．故答案为：.22．若，且，则．【答案】/【详解】因为，所以，又即，故由平方和关系得即，所以即，故，所以.故答案为：.23．（多选）已知角A为的内角，若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】因为，所以.因为角A为的内角，所以,所以,所以因为,所以,所以所以,或（舍）,所以选项A:,所以选项A正确.选项B:,所以选项B错误.选项C:,所以选项C错误.选项D:,所以选项D正确.故选:AD.【题型05：诱导公式——给角求值】24．设函数满足，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，，∵，∴，故选：A.25．（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】.故选：B26．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，，即，由三角函数的定义得，则．故选：B.27．（多选）下列各式子的值等于1的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】选项A：，不等于1，A错误；选项B：，B正确；选项C：，，，C正确；选项D：，D正确.故选：BCD.28．.【答案】【详解】原式.故答案为：.29．．【答案】【详解】.故答案为：.【题型06：诱导公式——化简求值】30．已知，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【详解】.故选：C.31．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为，所以，或，解得：，或，所以推不出，当，即时，，又，所以，所以推出，因此”是“”的必要不充分条件，故选：B32．化简得（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为.又因为2为第二象限角，所以，.所以.故选：C33．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】当，时，，所以，当，时，，所以，所以由“”可以推出“”；当时，，所以，或，，即，，所以由“”可以推出“”；故“”是“”的充分必要条件.故选：C34．若为第二象限角，且，则．【答案】【详解】由，知，，因为为第二象限角，所以，且，所以原式，又，且，联立两式可得，所以原式.故答案为：.35．角顶点为原点，始边在轴非负半轴，终边上的一点，，.(1)求，的值；(2)角逆时针旋转得到角，，求的值.【答案】(1)，.(2)【分析】【详解】（1）因为，，则点在第一象限，角为第一象限角，所以，.（2）由题意得，，，代入，得，所以.【题型07：利用互补互余关系求值】36．若为第二象限角，且，则＝（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为为第二象限角，所以，所以，所以，又因为，所以.所以.故选：C.37．已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，又，则，所以，则．故选：B38．已知，则．【答案】【详解】由题意，因为，所以.故答案为：.39．已知则.【答案】【详解】.故答案为：40．若，当时，.【答案】【详解】由于,则，又，故，，故答案为：41．已知(1)化简;(2)若，求的值．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】【详解】（1）解：（2）解：由得，故，又，故，因，故为第一、三象限角当为第一象限角时，，当为第三象限角时，，因为所以，故当为第一象限角时，，当为第三象限角时，．【题型08：证明恒等式】42．求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】【详解】（1）因为，所以.（2）因为左边右边，所以原等式成立.43．求证：.【答案】证明见解析【详解】左边右边.∴原等式成立.44．证明下列恒等式：(1)；(2)．【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】【详解】（1）左边右边.则恒等式成立.（2）右边左边.则恒等式成立.45．求证：.【答案】证明见解析【详解】.所以原等式成立．46．求证：(1)；(2)；(3).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】【详解】（1）故成立.（2）因为，所以.（3），，故等式左边，等式成立.一、单选题1．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，而角终边经过点，故，故，故选：B.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，解得，所以，故选：A.3．设甲：，乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若，又，故，即，则或，故甲无法推出乙，充分性不成立；若，则，两边平方得，所以，故乙可以推出甲，必要性成立.综上，甲是乙的必要不充分条件，故选：B.4．设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】已知，是方程的两根，则有，又由，得，解得，故A错误；又，则，又，所以，所以，又，，所以，则，故B错误；又，解得，所以，故C错误；所以，故D正确.故选：D5．若，则的最小值是（

）A． B．4 C． D．3【答案】C【详解】因为，所以，因为，所以，所以根据基本不等式的性质可得，当且仅当，即时，等号成立，此时取最小值为.故选：C.6．已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，，，又由函数是定义在上的偶函数，则，则有，又由函数在上是增函数，故，即.故选：A．二、多选题7．已知，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】解：对于A，因为，又因为，所以，所以，故A正确；对于B，因为，又因为，所以，所以，故B正确；对于C，由A，B可得，所以，故C正确；对于D，由C可知，故D错误.故选：ABC.8．已知，则下列等式正确的是（）A． B．C． D．【答案】BC【详解】已知，所以，所以，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选：BC.9．下列命题，其中正确的命题有（

）A．若角的终边经过点，则B．若，则C．若，且为第四象限角，则D．若，且，则【答案】ACD【详解】对于A：，所以，故A正确：对于B：因为，则，故B错误；对于C：因为，则，又为第四象限角，则，又，故C正确；对于D：根据诱导公式可得，又，则，，则有，故D正确．故选：ACD三、填空题10．已知，，其中，则的值为.【答案】【详解】因为，所以，解得或，因为，所以，，当时，，，不符合题意，舍去；当时，，，符合题意.综上，.故答案为：.11．为锐角的内角，且，则【答案】/0.75【详解】由为锐角的内角，得，依题意，，解得，所以.故答案为：12．已知是三角形的内角，，则的取值范围是．【答案】【详解】设，则．因为，所以，得到，又，所以．设，则，因为，所以，又，则，所以，故答案为：.四、解答题13．（1）已知，且x是第四象限角，求，的值；（2）已知，，求，的值．【答案】（1），；（2），【详解】（1）由题意得是第四象限角，则，由同角三角函数的基本关系得，故.（2）因为，所以，，且，而，解得，.14．已知，且为第