2026年高一数学寒假自学课（人教B版）第04讲 正弦函数及正弦型函数的图象及性质（3知识点+10大考点）（解析版）

第04讲正弦函数及正弦型函数的图象及性质内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01五点作图法画正弦（型）函数图象】【题型02与正弦（型）函数有关的零点问题】【题型03由正弦（型）函数图象解不等式】【题型04正弦（型）函数的周期性及应用】【题型05正弦（型）函数的奇偶性及应用】【题型06正弦（型）函数的单调性及应用】【题型07利用单调性比较大小】【题型08正弦（型）函数的值域问题】【题型09正弦（型）函数的对称问题】【题型10由图象得到正弦型函数的解析式】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：正弦函数的图象1.正弦函数的图象（五点法）①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)．温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数图象最常用的方法．（2）“五点法”画正弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．知识点2：周期函数1.周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.2.最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期知识点3：正弦函数的图象性质函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数单调性在()上单调递增;在上单调递减最值当()时，;当()时，;对称性对称中心为(),对称轴为直线()【题型01五点作图法画正弦（型）函数图象】1．用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】五点作图法在内的五个关键点为，可知不是关键点．故选：A2．（多选）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】ABD【详解】首先画出函数，的图象，

当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有3个交点；当时，有1个交点；当时，有0个交点.故选：ABD3．已知函数，(1)用五点法画函数的图象；(2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数.【答案】(1)图象见解析；(2)答案见解析.【分析】【详解】（1）由题意，列表：010-101211根据五点，作图：

（2）其图象如图：

观察图象得：当或时，有0个交点；当或时，有1个交点；当或时，有2个交点；当时，有3个交点.4．已知函数.(1)用“五点法”作法函数在上的简图；

(2)函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】(1)作图见解析(2)【分析】【详解】（1）0010021232

（2）由，得，即两个函数的图象在上有两个交点，因为，所以，

若两个函数的图象在上有两个交点，则，解得.所以实数的取值范围是.5．已知函数，.(1)在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：00200完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；(2)求函数的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1)答案见解析(2)；单调递增区间：，【分析】【详解】（1）0x0200函数图象如图所示，（2）由，可知；令，，得，.所以函数的单调递增区间：，.6．已知函数．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象.

【答案】作图见解析【详解】列表：012001描点，连线，画出在上的大致图象如图：

【题型02与正弦（型）函数有关的零点问题】7．函数的零点为；【答案】【详解】令，解得，，又因为，所以，所以的零点为，故答案为：.8．时，函数与的图象交点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象，根据图象可知：与的图象在有4个交点，故选：B9．已知函数，则在上的零点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【答案】B【详解】求函数在上的零点个数，即求函数的图象与函数的图象在上的交点的个数．如图所示，显然函数的图象与函数的图象在上的交点的个数为3．10．已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，故，而方程在区间上有两个不相等的实数根，且令，则在区间上有两个不相等的实数根，故，，两个根为，则与在区间上有两个不同的交点，记两个交点横坐标为，由正弦函数性质得关于对称，则，解得，而，得到，即，故C正确.故选：C11．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】函数的零点转化为与的图象的交点的横坐标，因为零点分别为，在坐标系中画出与的图象如图：可知，满足，故选：A12．设函数，已知方程在上有且仅有2个不相等的实数根，则的取值范围是.【答案】【详解】因为所以当时，因为方程在上有且仅有2个不相等的实数根，所以解得.故答案为：【题型03由正弦（型）函数图象解不等式】13．已知，设甲：；乙：，则甲是乙的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【详解】由，得，，则x不一定推出；反之，当时，一定有．故甲是乙的必要不充分条件．故选：B.14．已知，不等式成立的角x的集合是．【答案】或.【详解】，有，，故或，故解集为或.故答案为：或.15．函数的定义域【答案】【详解】由题意有，解得，所以，故答案为：.16．函数的定义域是.【答案】【详解】因为，所以，得，解得，所以的定义域是.故答案为：.17．已知函数，．(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；(2)求函数的对称轴和对称中心；(3)解不等式．【答案】(1)答案见解析，作图见解析(2)对称轴为；对称中心为；(3)【分析】【详解】（1）分别令、、、、得：画出函数在一个周期的图象，如图，··（2）令，解得，所以函数的对称轴方程为，令，解得，所以函数的对称中心为.（3）因为，即，所以，解得．故不等式的解集为.18．已知函数(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；0x(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值．(3)解不等式．【答案】(1)作图见解析；(2)时，取最小值0；时，取最大值1；(3).【分析】【详解】（1）分别令，得：0x0100画出函数在一个周期的图象，如图，（2）由，所以，则当，即时，取最小值0；当，即时，取最大值1.（3）由，得，则，解得，所以不等式的解集是.【题型04正弦（型）函数的周期性及应用】19．关于函数，下列说法正确的是（

）A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为【答案】A【详解】函数，定义域为，因为，所以为偶函数，又因为，所以的最小正周期为，故选：A.20．若实数，则“”是“函数的最小正周期为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若函数的最小正周期为，则，解得，所以“”时，可得“函数的最小正周期为”，“函数的最小正周期为”，不能推出“”.所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件.故选：A.21．函数的最小正周期是．【答案】【详解】函数，，则，即函数的最小正周期为.故答案为：22．函数的最小正周期为，则的值为.【答案】【详解】函数的最小正周期为，即，则.故答案为：23．我们称正弦函数图象上取得最大值处的点为峰点，取得最小值处的点为谷点.设函数，若曲线相邻峰点与谷点的距离为5，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，即，解得，所以，则，.故选：D.24．若函数的最小正周期为，则．【答案】【详解】因的最小正周期为，则，结合可得，则，得.故答案为：【题型05正弦（型）函数的奇偶性及应用】25．已知函数，若，则．【答案】【详解】令，则，函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是定义在的奇函数，因为，所以，解得.故答案为：26．已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】若，则，则，，所以，则为奇函数.若为奇函数，则一定有.则“”是“函数为奇函数”的充要条件.故选：A.27．函数且的所有零点的和等于.【答案】0【详解】由可得，易知函数和函数都为奇函数，在同一坐标系下作出两函数在内的图象，如下图所示：所以两函数图象交点都关于原点成中心对称，因此函数且的所有零点的和等于0.故答案为：028．若函数为偶函数，则.【答案】【详解】因为函数为偶函数，而是偶函数，是奇函数，所以为奇函数，，得；若，函数，定义域为空集，函数不存在，若，代入验证符合题意.故答案为：29．已知函数，则．【答案】【详解】令，则，因为，所以函数为奇函数，可得，则故答案为：.30．已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【详解】设函数，易知定义域为，由，可知为奇函数，所以在区间的最大值与最小值互为相反数，即，即，可得，解得；故选：D.【题型06利用单调性比大小】31．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，而，故，故选：B.32．设均为锐角，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由，得到，，故充分性成立；由得因为在上是单调增函数，，可得，，必要性成立．故“”是“”的充要条件．故选：C.33．（

）A．大于 B．大于 C．小于 D．小于【答案】A【详解】因为，故选：A．34．函数值，，从大到小的顺序为．（用“＞”连接）【答案】【详解】∵，又函数在上单调递减，∴．故答案为：.35．已知，，，则，，三个数从小到大的顺序是.【答案】【详解】因为在定义域上单调递增，则，又在上单调递增，则，又在定义域上单调递增，则，所以.故答案为：.36．定义在R上的偶函数满足，且在上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则，的大小关系为．【答案】【详解】定义在R上的偶函数在上是减函数，所以在上是增函数；因为，所以函数周期是2，则函数在上是增函数，因为，是锐角三角形的两个内角，所以，，因为在上是增函数，所以，从而.故答案为：.【题型07正弦（型）函数单调性及应用】37．函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由于函数，故函数的单调递增区间，即函数的减区间．令，，求得，故所求的函数的单调递增区间是.故选：B38．函数的单调增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由对数函数的定义域可知结合对数型复合函数单调性的性质“同增异减”可知,为单调递减区间所以化简不等式组可得所以不等式组的解集为即函数的单调增区间为故选:A【点睛】本题考查了复合函数单调性的性质及应用,对数函数定义域的特殊要求,属于中档题.39．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于，则,由，，.由，，.所以得：.故选：B40．（多选）下列关于函数的单调性的叙述，不正确的是（

）A．在上单调递增，在上单调递减B．在上单调递增，在上单调递减C．在及上单调递增，在上单调递减D．在上单调递增，在及上单调递减【答案】ABD【详解】由正弦函数的性质知，在是单调递增，在上单调递减，在上单调递增，ABD均错，只有C正确．故选：ABD．41．已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是.【答案】【详解】令，，解得，，所以的单调递增区间为，，因为在上单调递增，所以，解得，所以，即的取值范围是.故答案为：.42．函数在上的单调递增区间为．【答案】【详解】由函数，令，可得，当时，可得；当时，可得，所以在上的单调递增区间为．故答案为：.43．已知函数的最小正周期为(1)求在区间上的值域；(2)若在区间上单调递减，求正数的最大值.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）因为的最小正周期，所以，所以，当时，，，所以在上的值域为.（2）令，得，所以的单调递减区间为，由题意知，因为在该区间中，所以，即，所以，解得，即正数的最大值为.【题型08正弦（型）函数的值域问题】44．已知函数在处取最大值，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数在处取最大值，所以，即，当时，.故选：B45．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，则，由题意可得，解得.当时，令，解得，易知，则函数在上单调递增，在上单调递减，由题意可得，则，即，化简可得，解得.综上所述，的取值范围为.故选：A.46．函数在上的最大值与最小值之和是【答案】/【详解】∵，∴，∴，∴最大值与最小值之和为，故答案为：.47．函数的最大值为．【答案】6【详解】，又，函数在上单调递增，所以函数最大值为．故答案为：6．48．函数（）的最大值为．【答案】【详解】当时，，令，，设，该二次函数的对称轴为，且开口向下，当时，当时，函数有最大值，即时，取得最大值．故答案为：49．已知函数，其中．(1)若函数的周期为，求函数在的值域；(2)若在区间上为增函数，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）由，由周期为且，得，解得，即，由，得，故，所以函数在上的值域为．（2）因为在区间上单调递增，故在区间上为单调递增．由题知，存在使得成立，则必有则，解得，故，所以的最大值为．【题型09正弦（型）函数的对称问题】50．已知函数，则下列说法错误的是（

）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．在上单调递增D．在上单调递减【答案】D【详解】A：，所以的图象关于点对称，正确；B：是函数的最大值，故直线是图象的一条对称轴，正确；C、D：由，解得，所以的单调递增区间为，当时，在上单调递增，而，故C正确，D错误.故选：D51．已知函数，若的图象关于对称，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，图象关于对称，，，解得，，，故A正确．故选：A．52．函数图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，得：，所以函数图象的对称轴方程为：.令得：，令得：，令得：，故只有B正确.故选：B53．已知函数，则的图象的对称中心可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数的对称中心的横坐标为：，解得，当时，得到对称中心.故选:B.54．函数的图象的对称轴方程为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】由题意可知：图象的对称轴，就是函数的图象的对称轴，所以对称轴方程为，解得，故选：B55．设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】已知，，当时，.正弦函数的对称轴满足（），要使在内恰有三条对称轴，，，，，因此，正弦函数的零点满足（），要使在内恰有两个零点，则，，，因此，联立两式：，解得.故选：C56．函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【详解】由函数的最小正周期满足，得，解得：.又因为函数图像关于点对称，所以，所以，，所以，因此可得：，所以.故选：A【题型10由图象得到正弦型函数的解析式】57．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由图可知,,则由图像根据五点法，当时,对应得到,即，因为，所以或，当，验证单调递增区间：令，当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾，所以.故选：D58．已知函数的部分图象如图所示，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由图可知，又因为，故.又，即，由“五点法作图”可知，，解得，所以.又因为，，所以为函数的零点，即，所以，故.故选：C59．（多选）已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（

）A．函数的最小正周期为B．点为曲线的一个对称中心C．直线为曲线的一条对称轴D．函数在区间上单调递减【答案】AC【详解】对于A，由函数的图像，函数，所以，因为阴影部分的面积为，可得，所以，所以A正确；对于B，由，可得，所以，将点代入，可得，即，因为，所以，所以，令，可得，取，可得，对称中心为；取，可得，对称中心为，所以点不是曲线的对称中心，所以B错误；对于C，由，可得，取，可得，所以直线为曲线的一条对称轴，所以C正确；对于D，由，可得，当时，可得，函数在区间内单调递增，因为，所以函数在区间上单调递增，所以D错误．故选：AC．60．函数部分图象如图所示，则函数解析式为.

【答案】【详解】由图象可知：，设函数的最小正周期为T，则，即，且，则，解得，所以，又因为，且，则，可得，解得，所以.故答案为：.61．函数的部分图像如图所示，则．

【答案】【详解】由题知：函数的振幅为，周期满足，所以，即，所以，又，故，所以，即，所以所以，，，，，，所以故答案为：62．已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

【答案】【详解】设，由可得，由可得或，，由题意，可知，解得，又，所以，，即，，故，即或，又因为，故，故．故答案为：．一、单选题1．下列区间中，函数不单调的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，得，，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为；由，，得，，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，所以在区间不单调.故选：B2．若函数是奇函数，则（

）A．0 B． C． D．【答案】D【详解】因为是奇函数，故，，检验符合，所以.故选：D.3．已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【详解】由函数的图象的一条对称轴为，得，解得，又因为，所以或，因此“函数的图象的一条对称轴为”是“”的必要不充分条件.故选：B．4．已知函数，则.【答案】8082【详解】令，则，由于为奇函数，故，其中，，∴故答案为：80825．已知函数图象的一条对称轴为直线，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，，得.因为，所以.故选：A.6．已知函数在上单调，则的最大值为（

）A． B．3 C．2 D．【答案】B【详解】方法一：由正弦函数的单调性，令，解得，又在单调，所以当时，，即，解得，所以的最大值为3.方法二：在单调，故，所以的最大值为3.故选：B二、多选题7．下面关于函数叙述中正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在上的最大值为D．不等式的解集为【答案】ACD【详解】对于A，所以的图象关于直线对称，故A正确；对于B：因为的图象关于点对称，故B错误；对于C：由，得，当，即时，，C正确；对于D：又，即，所以，所以D正确．故选：ACD8．已知函数在区间上有且只有三个零点，则（

）A．是的一个周期 B．的最大值为1C．的取值范围是 D．有两个极大值点【答案】BD【详解】因，设，则，作出函数的图象如下：要使函数在区间上有且只有三个零点，需使，解得，故C错误；不妨取，则，，因，故不是的一个周期，故A错误；又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B，D正确.故选：BD.三、填空题9．已知函数，若关于的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根，则正数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，∵，∴，设，若关于x的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根，则在上有且仅有4个不相等的实数根，∴，故选：D.10．已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则．【答案】【详解】因为的最小正周期为，所以，解得，因为图象关于直线对称，所以，解得，因为，所以令，则，所以，则.故答案为：