2026年高一数学寒假自学课（人教B版）专题01 集合与常用逻辑用语9大题型（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语9大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1元素与集合1．元素与集合的关系：若属于集合，则记作；若不属于集合，则记作；2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作.4．常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.知识点2集合的基本关系文字语言符号语言基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集且必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.知识点3集合的交集、并集、补集运算运算文字语言符号表示Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合知识点4集合的运算性质①； ②；③； ④；⑤.知识点5充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；p⇒q且qpp是q的充分不必要条件pq且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇔qp是q的充要条件pq且qpp是q的既不充分也不必要条件2．必记结论集合判断法判断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即，p是q的充分条件p是q的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件知识点5全称量词命题与存在量词命题1．全称量词和存在量词量词名称符号表示常见量词全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等2．含有一个量词的命题的否定全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示：命题命题的否定【题型01元素与集合关系的判断及应用】1．元素0与集合的关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据元素与集合的关系可得：.故选：A2．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集；是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误；是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确.故选：B.3．设集合A＝，若，且，则实数的取值范围是（

）A． B．C．，或 D．【答案】B【详解】因，则，即，得或；因，则或，即或，得，综上，实数的取值范围是.故选：B.4．已知集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，解得.故选：A.5．（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】AB【详解】因为集合只有一个元素，当时，方程，解得，此时集合，满足题意；当时，要使得只有一个实根，则满足，即，解得，此时方程的解为，即，满足题意，综上可得，实数的取值可以是或.故选：AB.6．已知集合，若，则【答案】【详解】若，则，此时，集合不满足互异性；若，则或（舍），当时，，符合题意，综上，故答案为：【题型02集合与集合关系的判断及应用】1．下列表述中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误；对于B，集合元素具有无序性，故正确；对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误；对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误；故选：B2．已知集合，则下列集合中不是的子集的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】的子集有，故选项C错误.故选：C.3．设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（

）A． B．C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个【答案】A【详解】由题可得：，因为，当时，；当时，，则或，解得：或，所以实数取值的集合，则，故A正确；B错误；集合的子集为个，真子集为7个，故C错误，D错误；故选：A4．已知，，若，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【详解】因为，且，，①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意；②当时，解得（舍去）或.即，符合题意.所以.故选：D5．若，，则．（填“”或“”或“”）【答案】【详解】对于，当时，，当时，，化简得，令，则，与集合形式相同，故.故答案为：6．已知全集，，，且，则m的取值范围为．【答案】【详解】由，，，当时，，解得；当时，由或，解得.综上所述，m的取值范围为.故答案为：.【题型03集合间的基本运算】1．设集合，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】集合，而集合，所以.故选：C2．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】集合，所以.故选：D3．设集合，，若，则中元素个数为（

）A． B． C． D．至少个【答案】C【详解】由，可得，因为、，必有，且，所以，或，解得或，因此，.故选：C.4．设，若，则实数．【答案】1【详解】解：由得，解得或，而，可得，故，故答案为：15．已知全集，，求实数的值.【答案】【详解】因为补集有性质：，且.所以，所以，有两种情况：情况一：且由，可得或，即或.由，移项得，解得或.所以，当同时满足这两个方程，此时，，，成立；所以，情况二：且由，解得，代入得，不成立，故无解；综上，实数的值为6．集合，，若，则．【答案】0或【详解】集合，因为，所以，当时，，符合题意，当时，，则，解得，综上所述，或．故答案为：0或．7．已知集合，.(1)若，求；(2)若，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）当时，则，故（2）由可得,当时，则，解得，当时，则，解得，综上可得【题型04集合的交并补混合运算】1．已知集合，，，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，集合，且，所以.故选：D2．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，又，.故选：B.3．已知全集，，则集合（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可知，集合中没有元素，，故AC错误；若，则，又，则，不符合题意，排除选项B，若，则，又，则，符合，故D正确．故选：D4．（多选）已知全集，，则下列选项正确的为（）A． B．的不同子集的个数为8C． D．【答案】ABD【详解】由题设，又，所以，，，则的不同子集的个数为个，B对，由，则，故，所以，C错，A、D对.故选：ABD5．已知全集，集合，集合，则；【答案】.【详解】全集，集合，则；集合，则；故答案为：.6．已知集合，若，则实数m的取值范围是．【答案】【详解】或，又，所以①当，，解得；②当，，解得；综上，时，实数m的取值范围为．故答案为：．7．已知全集为实数集，集合，.(1)求集合A、B；(2)求，.【答案】(1)；或(2)或；或【分析】【详解】（1），，所以，解得或，所以或.（2）或或或，或或或.【题型05集合的新定义】1．已知，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】且，因为，对于，所以；对于，所以；则，故选：C.2．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得时的值恒为1.当时，；当时，.所以，元素个数为2.故选：B3．定义，已知，则集合中所有元素乘积为．【答案】【详解】因为，所以，又，所以，所以集合中所有元素乘积为，故答案为：4．根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：(1)若，则集合中还有其他两个元素；(2)集合不可能是单元素集合．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】【详解】（1）若，则，若，则，若，则，当时，集合中必含有另两个元素、；（2）假设集合中只有一个元素，由题意可知，集合为单元素集合，，即，而，则此方程无实数解，假设不成立，集合不可能是单元素集合．5．已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性.(1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由；(2)若集合具有“包容”性，求的值.【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性，理由见解析(2)1【分析】【详解】（1）对于集合，集合中的，所以，集合不具有“包容”性；对于集合，该集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以，集合具有“包容”性.（2）若集合具有“包容”性，记，则，易得，从而必有，不妨令，则且，则，且，当时，若得，此时具有包容性.若，得舍去；若无解，当时，则，由且，可知无解，故，所以.【题型06充分条件与必要条件的判断】1．（多选）已知是实数，则下列命题为真命题的有（

）A．“”是“”的充分条件B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的必要条件【答案】AC【详解】对于A选项，当，时，此时，故“”是“”的充分条件，A选项正确；对于B选项，当，满足，而，则“”不是“”的必要条件，B选项不正确；对于C：当时，，所以是“”的充分条件，C选项正确；对于D：当时，满足，但是不满足，所以“”不是“”的必要条件，D选项错误；故选：AC.2．古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫天下”是“能扫一屋”的一个（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【详解】“一屋不扫，何以扫天下”，即如果一个人一屋不扫，那么这个人不可能扫天下，逆否可得：如果一个人能扫天下，那么他一定能扫一屋，即“能扫天下”一定得到“能扫一屋”，所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件．故选：A.3．已知，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若，且或，则或无意义，此时条件“”无法推出结论“”，故充分性不成立；若，因为在上单调递增，可知，因此结论“”可以推出条件“”，故必要性成立.因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：C.4．不等式成立的一个必要不充分条件是.（写出一个符合条件的答案即可）【答案】（满足是其真子集即可，答案不唯一）.【详解】因为，设：，的一个必要不充分条件是，成立的集合记为B，所以，，所以集合A是集合B的真子集，故（满足集合A是集合B的真子集即可）.故答案为：（满足是其真子集即可，答案不唯一）.5．已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】B【详解】使得条件p成立的一个充分不必要条件应为或的真子集，只有或满足要求.故选：.6．“”是“不等式在上恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】不等式在上恒成立，即在上恒成立.令，对称轴，所以函数在区间上单调递增，所以当时，，所以.若，则一定成立，所以“”是“不等式在上恒成立”的充分条件；若，则推不出.所以“”不是“不等式在上恒成立”的必要条件.所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件.故选：A7．已知，则“x，y中至少有1个是无理数”是“是无理数”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当，时，，则“x，y中至少有1个是无理数”是“是无理数”的不充分条件．由是无理数，得x，y中至少有1个是无理数，则“x，y中至少有1个是无理数”是“是无理数”的必要条件．故“x，y中至少有1个是无理数”是“是无理数”的必要不充分条件．故选：B8．我们把称为取整函数，表示不超过x的最大整数．则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由题意得，若“”，则设，，其中，，成立，即“”能推出“”，又当时满足，但不满足，即“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【题型07充分条件与必要条件的求参】1．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得：，∴，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，则需满足；综上所述：实数的取值范围为.故选：A.2．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得或，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，当时，，符合题意；当时，，因为是的真子集，所以，解得；当时，，因为是的真子集，所以，解得，综上所述，实数的取值范围是.故选：C.3．（多选）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则m可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【详解】解不等式得，所以，因为，“”是“”的充分不必要条件，所以，即的取值范围为，所以，可以是.故选：CD4．已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为．【答案】．【详解】由题可得：，，因为“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集；所以，解得：，检验：时，，满足条件；时，，满足条件；所以综上，实数的取值范围为：；故答案为：5．已知集合，．(1)若，求及；(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)，或.(2)【分析】【详解】（1）∵，∴，∴，当时，，，或.（2）“是的充分不必要条件”等价于“且”，∴，即，此时，即.∴实数a的取值范围.6．设，(1)用列举法表示集合A并写出集合A的所有子集；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的值.【答案】(1)，所有子集是，，，(2)或或【分析】【详解】（1）由题可知集合中元素满足方程，解得或，即集合所以集合的所有子集是，，，.（2）因为“”是“”的必要条件，所以，当时，无解，则；当时，，则；当时，，则，综上所述，实数的值为或或【题型08量词命题真假的判断】1．下列命题是真命题的是（

）A．，；B．，；C．是的充分不必要条件；D．是的必要不充分条件．【答案】B【详解】对于A，当，显然不成立，故A错误；对于B，若取，则，满足，故B正确；对于C，对于，如，但，即充分性不成立，故C错误；对于D，由必能得到，而由不一定得到，如，故是的充分不必要条件，即D错误.故选：B.2．已知命题，命题，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】C【详解】对于命题：当时，，因此命题为真命题，从而为假命题；对于命题：当，时，，，可得：，故命题为假命题，从而为真命题；综上可得：命题与命题均为真命题.故选：C3．有下列四个命题：①，；②，；③，；④，.其中真命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】对于①，，，则，①是真命题；对于②，当时，，，②是假命题；对于③，当时，，③是真命题；对于④，当且仅当或时，，而，且，④是假命题，所以真命题的序号是①③，共2个.故选：B4．（多选）已知集合，，则下列正确的有（

）A．， B．， C．， D．，【答案】AD【详解】依题意集合，，所以是的真子集，所以，；，，即AD选项正确，BC错误；故选：AD.【题型09量词命题求参数】1．已知命题：；命题：，若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】命题中，不等式变形为，又，即，令，因为函数、在均单调递减，所以在上单调递减，因此在上的最大值为，要使对所有恒成立，需，即命题p为真时，；令，由幂函数的性质可知在区间上是增函数，所以，则，题目中q为假命题，所以或，结合p真、q假的条件，取上述两者a的交集，所以的取值范围为．故选：D．2．若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】因为命题p：“，”是假命题，所以命题p的否定“，”是真命题，则方程无解，即，解得；又因为命题q：，是真命题，所以，对任意恒成立，故应小于等于在的最小值，当时最小值为，即综上所述，实数a的取值范围是.故答案为：.3．写出满足条件，恒成立的一个实数a的值为．【答案】（答案不唯一）【详解】对于恒成立，即在上恒成立，设，可得函数在为单调递减函数，所以，所以，即实数的取值范围为，可取.故答案为：（答案不唯一）.4．若“，使得成立”是假命题，则实数λ的最大值为【答案】【详解】由题意，得“成立”是真命题，故当时，恒成立，由基本不等式，得，当且仅当，即时，等号成立，故.故答案为：5．已知，，，.(1)写出命题的否定；命题的否定；(2)若为真命题，求实数的取值范围；(3)若为真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)，；，.(2)(3)【分析】【详解】（1）因为，，所以，；又，，所以，.（2）若，为真命题，当时，恒成立；当时，则，解得，所以命题为真命题时实数的取值范围为；因为，为真命题，则，即为真命题时实数的取值范围为；（3）因为，为真命题，则，解得，所以为真命题时实数的取值范围为.6．已知，；(1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围(2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或【分析】【详解】（1）由题意，的否定为，若的否定为真命题，则对任意恒成立，所以只需，解得；（2）由（1）可得，当的否定为真命题时，，所以当为真命题时，.若为真命题，则对于任意的，恒成立，因此只需，解得.因为，中有且只有一个为真命题，所以可分为两种情况：若为真命题，为假命题，则有或，解得；若为假命题，为真命题，则有，解得.综上可知，实数的取值范围是或.7．已知命题，命题．(1)写出命题p的否定，并判断当时命题p否定的真假（直接判断，无需说明理由）；(2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】【详解】（1）命题p的否定：，当时，命题p的否定是一个真命题．（2）命题p和均为真命题，所以是真命题，是假命题，命题是真命题，所以，恒成立，所以；是假命题，所以关于的方程没有实数根．，解得．综上，实数的取值范围是．一、单选题1．命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】由全称量词命题的否定形式可知：命题“，”的否定为“，”.故选：C.2．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当时，可得且，则“”是“”的必要条件；当且“”，则“”，所以“”是“”的不充分条件．故选：B.3．已知集合，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．0或1【答案】A【详解】由，且，可知，且，解得：，符合集合元素特性.故选：A4．已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【详解】解：由，得或，即：或；由，解得,即：，是的充分不必要条件，或，即或．实数的取值范围是或．故选：A．5．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，故，故选：D6．设集合，则的子集个数有（

）A．16 B．64 C．128 D．212【答案】C【详解】由集合，所以集合的子集个数有．故选：C．7．设：关于的不等式对一切恒成立，：指数函数（且）在上单调递减，那么是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】对于来说，若，则有，显然成立，若，要想关于的不等式对一切恒成立，只需，综上所述，的取值范围为；因为指数函数（且）在上单调递减，所以有，则的取值范围为，显然，所以是的必要不充分条件，故选：B8．已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间上有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】因为函数的图象在上连续不断，若，则在区间上有零点，所以“”是“在区间上有零点”的充分条件；若，满足在区间上有零点，但是，所以“”不是“在区间上有零点”的必要条件，所以“”是“在区间上有零点”的充分不必要条件．故选A．二、多选题9．已知集合，则（

）A．若，则B．若，则有两个子集C．若中只有一个元素，则D．不可能为【答案】AB【详解】对于A，由，得，解得，A正确；对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确；对于C，若集合只有一个元素，当时，，合乎题意，当时，则有，解得，故当中只有一个元素时，或，C错误；对于D，当时，则关于的方程无实数解，所以，解得，故当时，，D错误.故选：AB.10．对任意实数x，y，z，下列命题是真命题的是（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．是“”的充要条件C．“”是不等式成立的充要条件D．“”是“”的充分不必要条件【答案】AD【详解】，则“”是“”的必要不充分条件，故A正确；若则必有，但若，，则不成立，故B错误；，则或，得，故C错误；若，则；反之，若，则但，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：AD11．“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（）A． B． C． D．【答案】CD【详解】因为集合只有个真子集，所以集合中有个元素，因为，则有：当时，，当时，，当时，，因集合中只有个元素，则，所给选项中：，，所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件，故选：CD.12．若，，，，则下列结论正确的是（

）A． B．A的真子集个数为7C． D．【答案】BC【详解】，由，，，作出图，如图所示，由图可知，，，故A错误，正确；集合的真子集个数为个，故B正确；因为，所以，错误.故选：BC.三、填空题13．若，则.【答案】【详解】由题意可得，，由可知，故，故，则，解得或；由元素的互异性可知，故；此时，符合题意，故.故答案为：.14．其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》.其数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的条件.【答案】充要【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不正，虽令不从”的逆否命题是“若令行，则身正”，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”的充要条件.故答案为：充要15．已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是．【答案】【详解】因为是的必要条件，所以是的子集，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：.16．已知全集，且，则=【答案】【详解】由题意，知全集，又，画出Venn图如下图所示，即得.故答案为：.

17．已知命题有两个不