8.1平方根第2课时算术平方根与平方根关系、算术平方根的性质及应用（导学案）（解析版）初中数学人教版（2024） 七年级下册

8.1平方根（第2课时，算术平方根与平方根关系、算术平方根的性质及应用)（导学案）（1）掌握平方根的性质，明确正数有两个平方根、0的平方根是0、负数没有平方根；能正确区分算术平方根与平方根的符号表示，会用符号表示一个数的平方根；能根据平方根的性质进行简单的计算（如求一个数的平方根、根据平方根求原数）。（2）通过类比算术平方根的定义，探究平方根的概念与性质，体会“从特殊到一般”的探究方法；借助实例对比算术平方根与平方根的区别与联系，提升分析、归纳能力；通过典型例题和真题练习，巩固知识应用，培养规范解题的习惯。（3）在探究过程中感受数学知识的连贯性与逻辑性，激发学习数学的兴趣；增强学好数学的自信心；培养严谨的数学思维和实事求是的科学态度。重点是:平方根的性质（正数、0、负数的平方根情况）；平方根的符号表示与解决实际问题及简单计算；算术平方根与平方根的区别与联系。难点是：理解“负数没有平方根”的本质原因（平方运算的非负性）；准确区分如和的含义，探究有多大。第一环节自主学习温故知新：回顾旧知：上节课我们学习了算术平方根，谁能说说“4的算术平方根是多少？”“0的算术平方根是多少？”“-4有算术平方根吗？”（学生交流回答：；；-4没有算术平方根）。提出问题：小明家有一块面积为25平方米的正方形花园，他想知道“这个正方形花园的边长是多少？”，我们可以用算术平方根求出边长为5米。但如果问题变成“这个正方形花园的边长的平方等于25，那么边长可能还有其他值吗？”“如果面积是16平方米、9平方米，情况又会怎样？”【学法指导】新知自研：自研课本第42-43页的内容【学法指导】自研课本P42-43页内容，（一）平方根与算术平方根的定义与性质1：平方根和算术平方根的定义是什么？你能举例说明吗？一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果，那么叫做a的平方根。举例说明：因为，，所以5和-5都是25的平方根；因为，所以0的平方根是0；因为任何数的平方都不是负数，所以-25没有平方根。总结归纳：抽象定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）。2：平方根有什么性质？①正数有几个平方根？它们之间有什么关系？②0有几个平方根？是多少？③负数有平方根吗？为什么？正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。3：平方根和算术平方根的符号如何表示？正数a的两个平方根，一个是算术平方根，另一个是，合起来记作（读作“正、负根号\(a\)”）。其中a叫做被开方数，且。（二）平方根与算术平方根的关系1.思考类比:算术平方根与平方根的区别与联系：思考讨论填写下表：对比项目算术平方根平方根定义如果，则是a的算术平方根如果，则是a的平方根符号表示个数1个2个（互为相反数）取值范围非负数（）一正一负（正数的平方根）、0（0的平方根）联系算术平方根是平方根中的非负部分；平方根包含算术平方根（三）算术平方根值的性质问题:求下列各数的算术平方根:(l)100;(2)(3)0.0001.学生根据定义得出结论:（1)因为10²=100、所以100的算术平方根是10，即;(2）因为，所以的算术平方根是,即;(3)因为0.01²=0.0001,所以0.0001的算术平方根是0.01,即.观察上面的结论,你能得出被开方数与它的算术平方根有什么关系:被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这个结论对所有正数都成立.（四）面积为2dm²的正方形边长是多少?它有多大?探究:怎样用两个面积为1dm²的小正方形拼成一个面积为2dm²的大正方形，这个大正方形的近长是多少?引导学生利用下面的方法探究面积为2dm²正方形连长:如图81-2，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形排在一起，就得到一个面积为2dm”的大正方形设大正方形的边长为：，则由边长的实际意义可知，所以大正方形的边长是dm.探究：有多大呢？因为,，，所以；因为，,，所以；因为，,，所以；1.41²=1.9881,1.42²=2.0164,1.41²<2<1.42²，所以1.41<<1.42;因为1.414²=1.999396,1.415²=2.002225,1.414²<2<1.415²，所以1.414<<1.415;......如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围，事实上，=1.414213562373...，它是一个无限不循环小数。实际上，很多正有理数的算术平方根（例如3，5，6等）都是无限不循环小数.归纳:无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数。我们前面学习的圆周率就是一个无限不循环小数.【自研自探】自研课本P42-43页内容典型例题例1：已知一个数的平方根是2x-3和x+6，求这个数【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可得2x-3与x+6的和为0。【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以(2x-3)+(x+6)=0解得：x=-1则2x-3=-2-6=-5，x+6=-1+6=5,因为，所以这个数是25.例2.已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值。【分析】因为，所以的整数部分a=2，小数部分；可以求出的值。【详解】因为，所以，所以的整数部分a=2，所以小数部分；所以第二环节合作探究1.进一步复习讨论平方根与算术平方根的定义与性质；2.讨论平方根与算术平方根的关系；3.讨论算术平方根值的性质；4.讨论面积为2dm²的正方形边长是多少?它有多大?拓展提升：1.已知．(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；(2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．【详解】（1）解：∵的算术平方根为3，∴，解得；（2）①当时，即，解得，∴，，∴这个数为；②当时，即，解得，∴，，∴这个数为，综上所述，这个数为1或25．课本课堂练习1、2、3.；参考答案：1.(1)0.3;(2);(3)5.2.（1）6；（2）；（3）.3.1．(2025.岳西质检)若一个正数m的两个平方根分别是和，求a和m的值．【详解】解：根据题意可得：，解得：，2.(2025.安庆校考)求式子中的值：【详解】3．(2025.揭阳质检)数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分”．张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：(1)的小数部分是a，的整数部分是b，求的值．(2)已知，其中x是一个整数，，求的值．【详解】（1）解：∵，，∴，．∴，．∴；（2）解：∵，∴，∵x是一个整数，，∴，，∴．∴原式．知识总结：(1)平方根的定义：若，则是的平方根；(2)平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；符号表示：正数a的平方根为，算术平方根为；(3)很多正有理数的算术平方根（例如3，5，6等）都是无限不循环小数,无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数,(4)算术平方根与平方根的联系：算术平方根是平方根的非负部分。方法总结：(1)求一个数的平方根时，先判断被开方数是否为非负数，再根据平方运算逆推；(2)解决与平方根相关的含字母问题时，利用“正数的两个平方根互为相反数”或“被