让数学探究支持深度学习-以“集合”教学为例

让数学探究支持深度学习--以“集合”教学为例【课前思考】“集合”是人教版《数学》三年级上册内容，本课的目标是让学生感悟集合中蕴含的数学思想方法（以下简称“集合思想”）。而集合思想的形成需要让学生在探究中经历解构、重组和建构的过程。因此，认为此内容的教学是践行深度学习非常好的素材。教学中，教师大多是先创设情境，即提供有重叠部分的两组参赛名单以引发学生的认知冲突；再让学生重新整理两份名单，让人一眼就能看出参赛情况；接着全班展示、交流，形成集合图；最后在不同层次的练习中进行巩固提升。这样的教学以了解集合知识为主要教学目标，虽然让学生经历了集合图的构建过程，也感悟了集合思想，但在探究环节却未能充分考虑真实学情，教师缺乏让学生自主探究集合的意识，集合思想的形成过程不够到位，深度学习未能真正发生。主要存在以下问题：缺少对集合思想形成过程的感悟与理解；缺少对集合思想作整体关联和结构化。对于上述问题，该怎么突破呢？通过参与“以数学探究支持深度学习”的系列主题研讨活动，对这一教学内容作了一番思考和尝试，并采用在每个教学环节不停追问的方式推进教学，收到了较好的效果。【追问一：如何基于学情激发学生的探究欲望？】人教版教材的编排从学生身边熟悉的情境引入，让学生发现问题，尝试探究，获得结论。教材编排思路清晰，主要分为以下三步：按照这样的环节展开教学虽能达成教学目标，但教学材料（即直接给学生提供名单）具有较强的暗示性。这样的教学更多的是教师要学生探究，而非源自学生内心的“我要探究”，缺乏引发深度学习的条件——挑战性。那么，该如何改变呢？（一）创设能引发学生深度学习的问题情境所谓深度学习，就是在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心地积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。在第一环节创设如下情境引发学生思考：学生纷纷回答“9人”。教师随即发问“真的是9人吗”，并出示“张老师说她只派了7名学生参加这两项比赛”的信息，从而引发学生的认知冲突。课堂实践表明，此情境的创设是可行的，基于学生的真实经验，绝大部分学生都能想到“重复报名”的情况，并能清楚解释“重复”的含义，即2人既参加了跳绳比赛，又参加了踢毽子比赛。这样的情境具有一定的挑战性，充分体现了重叠问题的本质，使学生的经验和前概念发生冲突，即加法模型“A+B”与重叠模型“A+B-C”之间的冲突，激发了真实的探究欲望，为后续自主探究表征方式提供了支持。（二）组织能引发学生深入探究的操作活动通过上述情境创设，研究重叠问题便成了学生发自内心的学习需求。认为，本节课的落脚点应是让学生充分经历探究过程，在过程中感悟集合思想。那么，如何让学生在解决“明明共有9人参加，却只派了7人”这一矛盾冲突的过程中，通过探究来理解数学本质，并产生持续探究的需求，最终达到培育核心素养的目的呢？由此想到组织能引发学生深入探究的操作活动，给学生足够的时间和空间去探究表征方式。因此，课上进一步提出要求：此探究任务的设计，充分尊重了学生已有的知识经验，体现了问题解决策略的多样性，允许不同学生依据自身已有的认知基础、思维习惯、学习水平等开展学习，展现出求解重叠问题的不同策略和方法。【追问二：如何让学生真正经历韦恩图的形成过程？】对人教版、青岛版和浙教版三个版本教材中“集合”的编排作了对比研究。发现人教版、青岛版教材在例题中编排了“韦恩图”，以此让学生明白用图来表征重叠问题更清楚，理解重叠问题是集合问题中的相交情况；而浙教版教材则从生活情境入手，更加重视实际应用。课前，团队教师通过访谈、问卷等方式对本校六个班级245名学生进行了前测，通过汇总、分析数据，发现43.7%的学生基本能用各种图示或算式来表征重叠问题（图1）其中部分学生的表征方式已有韦恩图的雏形。通过对教材和学情的分析，思考：对集合思想的理解和感悟一定要形成“韦恩图”吗？能否基于学生经验让他们在认知冲突中自主萌发集合思想，在多元表征中实现直观与抽象的互相转化，从而促进思维的深度发展呢？基于此，开始了进一步的尝试。（一）关键问题引领，多元表征，经历过程集合思想是学生在核心问题的引领下，在探究、表征和表达的过程中慢慢形成的，这一过程需要学生全程的积极参与。前一环节，让学生用画一画或算一算的方式研究重叠问题这一具有挑战性和趣味性的学习任务，将课堂中的学习任务和现实中的生活情境有效联结，激发了学生的探究欲望。紧接着进入操作和反馈环节，这是整堂课的核心环节。课堂反馈中，学生借助对重叠部分的理解，纷纷用自己喜欢的方式表达了其中2人两项比赛都参加的情况。教学中，针对性地选择了2名学生的作品进行了全班反馈，具体如下。接着，教师出示探究环节中部分学生所画的粗略韦恩图（图7），让学生在两幅图（图6、图7）的对比中实现新知与已有经验的成功对接，学生发现解决“用7人表示9人”这一问题的过程其实就是韦恩图形成的过程。整个反馈环节，通过启发、追问和说理，学生经历了自主研究、自主表征、自主表达、自主质疑和自主修改，真正感悟了集合思想。（二）数形紧密结合，自主表达，理解算理在自主探究环节，有部分孩子想到了用算式来表征。于是，教师让学生将列出的算式与韦恩图结合起来，建立图与式之间的对应关系。有的学生用“5+4-2”表征，教师引导学生重点说清为什么要减去2，从而理解重叠问题的本质。有的学生用“3+2+2”表征，教师则让学生重点说清每一个数分别对应韦恩图的哪一部分，进一步理清韦恩图各部分的含义。整个过程，从情境的创设到图形的绘制，体现了图形符号的便捷性；从图形到算式，又体现了数字符号的逻辑性。这样的过程不仅强化了学生的抽象逻辑思维，又能在表征分享中培养学生倾听、表达、合作的习惯，较好地诠释了深度学习“理解性、参与性、个性化和社会化”的要义。【追问三：如何帮助学生整体建构集合图的几种形式？】教材只涉及了集合问题中的相交情况，而生活中的集合问题还包括不相交、包含等情况。认为，有必要帮助学生整体建构，开阔视野，指向学科本质，彰显学科价值，体现知识生长性，为学生的后续学习奠基。（一）展开变式，凸显知识间的关联性在解决了2个人重复问题后，教师追问又一关键问题：想一想，张老师还可能派几人，也能符合5人跳绳，4人踢毽子？最多可以派几人？最少可以派几人？请你分别用韦恩图及相应的算式表示出来。这样的问题极具挑战性，用联系的而不是孤立的观点来解释数学问题，强调知识间的关联与结构化。通过讨论研究，学生发现，张老师派8人、7人、6人，分别重复了1人、2人和3人，且与今天学习的2人重复问题是一样的，都是相交的情况；还可以派9人参加，此时没有重复人数，属于不相交情况，且这时派出的人数是最多的；也可以派5人，即所有参加踢毽子比赛的学生都参加了跳绳比赛，重复4人，属于包含情况，且这时派出的人数是最少的。（二）情境拓展，建立数学模型总结环节，通过梳理让学生明白，两个项目共9人，可以有五种不同的参赛情况。研究集合问题时，可以借助画两个圈来帮助分析：不重复时，两个圈是分开的，且此时总人数最多；若有重复，两个圈是交叉的；重复最多时，大圈完全包含小圈，且此时总人数最少。课尾，让学生一边看图一边举例说说生活中类似的情况，学生感叹类似情况有很多，教师则顺势引导学生分别用字母来表示所有类似情况，并从具体的情境中抽