第一章《三角形的证明》单元测试培优卷-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章《三角形的证明》单元测试培优卷—2025-2026学年北师大版八年级数学下册一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列尺规作图中，一定能得到AD+BD=BC的是（）A． B．C． D．2．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，连接DF，DF＝DB，若AB＝8，AF＝5，则BE的长为（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.54．老师布置了任务：过直线AB上一点C作AB的垂线.在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇给出了如下两种方案，下列判断正确的是（）方案Ⅰ：如图.①利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm.②分别以D，C为圆心，以50cm和40cm为半径画弧交于点E.③作直线CE，CE即为AB的垂线方案Ⅱ：如图，取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点.①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q.②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上的R点处.③将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN，得到点S.④作直线SC，SC即为AB的垂线A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行C．Ⅰ，Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行5．如图，点E、F是∠BAC的边AB上的两点，线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，连接DE、DF，若∠CDF=α，则∠EDF的度数为（）A．α B．43α C．180°−26．如图，已知△ABC，∠BAC>90°，DE垂直平分AC，垂足为D，点F在BC上，且DF=DC，连接AE，AF．下面四个结论中，正确的是（）A．DF=AE B．AF=BF C．∠FAE=∠C D．∠AFD=∠AED7．如图，在△ABC中，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE，CD相交于点P，则下列结论中，不一定成立的是（）A．∠BAP=∠CAPB．△ABP与△ACP的面积比等于边AB与AC之比C．BC=AP+ACD．若∠BAC=60°，则∠BPC=120°8．如图，AB=AC，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，∠EAC，过点D作DM⊥BE于M，DN⊥BF于N．以下结论：①AD∥BC；②∠BAC=∠ADC；③△ABD和△ACD都是等腰三角形；④S△DACA．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F给出以下结论：①ED=DF；②AE+CF=EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF=90°，其中正确的是．10．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为ts．当t=时，△PBQ11．如图，∠AOB=30∘，点M边OA上，OM=4，ON=x+4x>0，点P是边OB上的点，若使点P，M，N12．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(图1)，后人称其为“赵爽弦图”.由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S213．如图，直线m是线段AB的垂直平分线，点C是直线m上位于AB上方的一动点，连接CA和CB，以CA为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形CAD，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E，交直线AC于点F，连接DB，与直线m交于点G，连接CE．则在点C运动的过程中，以下结论：①DC=BC，②AC=DF，③直线CE垂直平分线段DB，④△DAF≌△BGC，⑤∠ACE=∠CDG中，正确的是（请填入正确的序号）．三、解答题（本大题共7小题，共61分）14．2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．15．【阅读】例题：在等腰三角形ABC中，若∠A=80°，求∠B的度数.点点同学在思考时是这样分析的：∠A，∠B都可能是顶角或底角，因此需要进行分类.他认为画“树状图”可以帮我们不重复，不遗漏地分类（如图），据此可求出∠B的度数.【解答】由以上思路，可得∠B的度数为__________；【应用】将一个边长为5，12，13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法.请你利用备用图画出三种可能的情形，使得拼成的等腰三角形腰长为13.（注意：请对所拼成图形中的线段长度标注数据）16．如图1，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，△DCE的顶点D在（1）说明：∠ACD=∠EDB；（2）猜想AD，（3）如图2，若AD=1，CD=5，点F是BD17．已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A．（1）如图1，设∠A=α，请用含α的式子表示∠B和∠BDC；（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．①试说明∠BCD=2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．18．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为△ABC外一点，连接BD，连接AD交BC于点G，且满足BD⊥AB．（1）如图1，点H为线段BC上一点，若BG=CH，证明：△AGH是等腰三角形；（2）如图2，若BG=2，AB=32，求AG（3）如图3，点F为线段BC上一点，连接AF、DF，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，若AF⊥DE，DF=EF．求证：AB=219．项目式学习项目问题证明三角形内角和是180°项目目的通过深入探索并论证三角形内角和定理，从小学的实验验证，逐步迈向初中的严谨论证，体验数学的严谨性和逻辑性．问题提出如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学证明的严谨性．因此不禁要问：是否可以通过逻辑推理来证明三角形内角和定理呢？思路启迪从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？思考·尝试请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于证明三角形内角和定理，要求如下：1．用两种不同的方法（后续论证方法不同）对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．逻辑论证在上述图形中，选择其中一种方法，完成三角形内角和定理的证明．触类旁通小华同学通过思考，发现在△ABC边AB上任意取一点P（如图4），添加合适的辅助线，也能证明“三角形内角和定理”．（1）完成“思考·尝试”中的操作与描述；（2）写出“逻辑论证”中的证明过程；（3）写出“触类旁通”中的证明过程．20．阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.方法1：在BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得.BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题.（1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；（2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，.∠A+∠C=180∘,DA=DC,

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A．根据尺规作图，可知作一条线段等于已知线段，AC=CD，故选项不符合题意；B．根据尺规作图，可知作已知角的角平分线，得不到AD+BD=BC，故选项不符合题意；C．根据尺规作图，可知作一个角等于已知角，可得AD=CD，即AD+BD=CD+BD=BC，故选项符合题意；D．根据尺规作图，可知作已知线段的垂直平分线，可得AD=BD，得不到AD+BD=BC，故选项不符合题意．故选：C．【分析】由于BC＝BD+CD，若AD+BD＝BC，则有AD＝CD，即点D在线段AC的垂直平分线，故应利用基本尺规作图作线段AC的垂直平分线即可．2．【答案】D【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．故选D．【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．3．【答案】D【解析】【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=CD，在Rt△ACD和Rt△AED中，CD=EDAD=AD∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AE=AC，在Rt△FCD和Rt△BED中，CD=EDDF=BD∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL)，∴BE=CF，∵AE=AB−BE，AC=AF+CF，AB=8，AF=5，∴8−BE=5+BE，∴BE=1.故选：D．【分析】由角平分线的性质定理可得DE=CD，证明Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，得出AE=AC，证明Rt△FCD≌Rt△BED(HL)，得出BE=CF，再由AE=AB−BE，AC=AF+CF，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．4．【答案】D【解析】【解答】解：方案Ⅰ：连接DE.因为CD2+CE2=302+4025．【答案】D【解析】【解答】解：∵线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，∴DE=DF,AE=DE，∴∠DFE=∠DEF,∠EAD=∠EDA，∵∠DEF=∠EAD+∠EDA,∠CDF=∠EAD+∠DFA，∴∠EAD=1∴∠CDF=1∴∠DFA=2∴∠EDF=180°−2∠DFA=180°−4故选D．【分析】根据垂直平分线性质可得DE=DF,AE=DE，咋根据等边对等角可得∠DFE=∠DEF,∠EAD=∠EDA，根据三角形外角性质可得∠DEF=∠EAD+∠EDA,∠CDF=∠EAD+∠DFA，则∠EAD=16．【答案】D【解析】【解答】解：①∵DE垂直平分AC，垂足为D，

∴AD=CD，

∵在Rt△ADE中，AE＞AD，

∴AE＞CD，

∵DF=DC，

∴AE＞DF，故①错误，

②∵DF=DC，

∴DF=AD，

∴∠DFA=∠DAF，

∴∠AFC=∠DFA+∠DFC=∠DAF+∠C，

∴∠AFC+∠DAF+∠C=2∠AFC=180°，即∠AFC=90°，

∴∠AFB=180°−∠AFC=90°，

若AF=BF，则∠B=∠BAF=12180°−∠AFB=12180°−90°假设∠FAE=∠C，则∠FAE=∠EAC，∵∠C+∠FAE+∠EAC=90°，∴∠C+∠FAE+∠EAC=3∠C=90°，即∠C=30°，但已知条件中没有说明∠C=30°，故③错误；∵∠AFC=90°，∠DAF=∠DFA，∠EAC=∠C，∴∠DFA=∠DAF=90°−∠C=90°−∠EAC=∠AED，即∠AFD=∠AED，故④正确，故答案为：D．

【分析】根据垂直平分线的性质和直角三角形斜边大于直角边即可判断A，由垂直平分线的性质和三角形的内角和定理可推出∠AFB=90°，假设结论成立，即可判断B，假设结论成立，可推出∠C=30°，即可判断C；根据垂直平分线的性质及直角三角形两锐角互余，∠DFA=∠AED=90°即可判断D．7．【答案】C【解析】【解答】解：过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AC于点N，作PH⊥BC于点H

∵BE平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥AC

∴PM=PN

∵CD平分∠ACB，PN⊥AC，PH⊥BC

∴PN=PH

∴PM=PN

∵PM⊥AB，PN⊥AC

∴AP平分∠BAC

∴∠BAP=∠CAP，A选项正确，不符合题意

∴S△ABPS△ACP=12AB·PM12AC·PN=ABAC，B选项正确，不符合题意

∵∠BAC=60°

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°

∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB

∴∠PBC=128．【答案】C【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC=2∠EAD，∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；∵∠BAC=180°−∠EAD−∠DAC=180°−2∠DAC，∵∠ADC=180°−∠DAC−∠ACD，∵∠DAC不一定等于∠ACD，∴∠BAC不一定等于∠ADC，故②错误；∵∠ADB=∠DBC，在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCF，∴∠ACD=∠ADC，∴AD=AC，∴△ACD是等腰三角形，∵∠ABC=∠ACB，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴△ABD是等腰三角形，故③正确；过D作DH⊥AC于H，∵DM⊥BE于M，DN⊥BF于N，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，∠EAC，∴DM=DH=DN，∠DMA=∠DHA=∠DHC=∠DNC=90°，∵AD=AD，CD=CD，∴Rt△ADM≌△ADH，Rt△DHC≌△DNC，∴S△DAC=故选：C．

【分析】根据角平分线的定义得到∠EAC=2∠EAD，根据三角形的外角性质可得∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，进而求得∠EAD=∠ABC，然后根据同位角相等，两直线平行，可得AD∥BC，故①正确；根据三角形的内角和定律可得：∠BAC=180°−∠EAD−∠DAC=180°−2∠DAC，

∠ADC=180°−∠DAC−∠ACD，进而得到∠DAC不一定等于∠ACD，于是得到∠BAC不一定等于∠ADC，故②错误；根据角平分线的定义得到∠ACD=∠DCF，根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCF，

进而得出∠ACD=∠ADC，根据等角对等边，可得AD=AC，推出△ACD是等腰三角形，根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，根据等角对等边，可得AB=AD，得到△ABD是等腰三角形．故③正确．过D作

DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DM=DH=DN，∠DMA=∠DHA=∠DHC=∠DNC=90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt△ADM≌△ADH，Rt△DHC≌△DNC，于是得到S△DAC=S9．【答案】②③④【解析】【解答】∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∠ACD=∠FCD∵EF∥AC∴∠EDA=∠CAD，∠FDC=∠ACD∴∠EAD=∠EDA，∠FDC=∠FCD∴AE=DE，DF=CF∴AE+CF=ED+DF=EF，故②正确；∵AB≠AC∴AE≠CF∴ED≠DF，故①错误；∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，

∴点D到线AC，AE，CF的距离相等

∴点D在∠ABC的角平分线上，即BD平分∠ABC，故③正确；∴∠ABD=∠CBD∴∠ADB=∠EAD−∠ABD∵∠ACD+∠FCD=∠ABC+∠BAC∴2∠FCD=2∠ABD+180°−2∠EAD∴∠CDF=∠ABD+90°−∠EAD∴∠ADB+∠CDF=∠EAD−∠ABD+∠ABD+90°−∠EAD=90°，故④正确，综上所述，其中正确的是②③④．故答案为：②③④．【分析】根据角平分线的概念和等角对等边即可判断②；由AB≠AC，EF∥AC即可判断①；根据三角形内角的平分线和另外两个内角的外角平分线交于一点即可判断③；根据角平分线的概念和三角形外角的性质求解即可判断④．10．【答案】43或【解析】【解答】解：∵点P的运动时间为ts，∴AP=BQ=t，PB=4−t，∵△ABC是边长为4cm的等边三角形，∴∠B=60°，①当∠PQB=90°时，∴∠BPQ=30°，∴PB=2BQ，得4−t=2t，解得：t=4②当∠BPQ=90°时，∴∠BQP=30°，∴BQ=2BP，得t=24−t解得：t=8∴当第43秒或第83秒时，故答案为：43或83．

【分析】分∠PQB=90°和11．【答案】2<x<4【解析】【解答】解：∵OM=4，ON=x+4x>0∴MN=x(x>0)，

当x>4时，

∴点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有四个；

当x=4时，如图，

∴点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有一个；

当2<x<4时，如图，

∴当x=2时，如图，∴点P，M，当0<x<2时，如图，∴点P，M，N构成等腰三角形的点P只有一个，

综上所述：若使点P，M，故答案为：2<x<4．

【分析】根据图形找出临界位置进行讨论即可得出答案.12．【答案】24【解析】【解答】解：设每个全等的直角三角形的面积为S，则根据图形可得：S故答案为：24.【分析】根据已知图形的面积分割即正方形ABCD的面积等于正方形EFGH的面积加上正方形MNKT的面积再加上8个全等三角形的面积列出关系式，再根据正方形EFGH的面积等于正方形MNKT的面积加上4个全等三角形的面积，列出等式，然后再变换进行求解即可.13．【答案】①③⑤【解析】【解答】解：∵直线m是AB的垂直平分线，∴CA=CB，∵△ACD是等腰直角三角形，∴CA=CD，∴DC=BC，故①正确，符合题意；∵在△CDF中，∠DCF=90°，则DF>CD，

又∵CA=CD∴DF>AC，故②不正确，不符合题意；

过点D作DN⊥m于点N，如下图：

则∠DNC=∠AOC=∠DCA=90°，

∴∠DCN+∠ACO=∠DCN+∠NDC=90°

∴∠DCN=∠CAO

又∵AC=CD

∴△DCN≌△CAOAAS

∴DN=CO

由题意可得：DN=OE

∴DN=OE

，延长EC交BD于点H，过C作CM⊥CE，如下图：

则CM=CE,∠MCE=90°=∠ACD，∴△MCE是等腰直角三角形，∴∠ACD+∠ACE=∠ACE+∠ECM，即∠DCE=∠ACM，

又∵DC=AC，CE=CM

∴△DCE≌△ACMSAS∴DE=AM，设直线m交AB于点O，则OE=OM,OA=OB，∴AE=BM，∴AM=BE=DE，在△EHD和△EHB中，EH=EHED=EB∴△EHD≌△EHBSSS∴DH=BH，∠EHD=∠EHB，∵∠EHD+∠EHB=180°，∴∠EHD=∠EHB=90°，∴CE垂直平分线段BD，故③正确，符合题意；∵DF>AC=BC，∴△DAF不全等于△BGC，故④错误，不符合题意；∵DE=BE，∴△BDE为等腰直角三角形，∴∠EDB=∠EBD=45°，∴∠CDG=45°−∠CDF，∵△MCE是等腰直角三角形，∴∠CEM=45°，∴∠ACE=∠CEM−∠CAE=45°−∠CAE，∵∠AEF=∠DCF=90°,∠AFE=∠DFC，∴∠CAE=∠CDF，∴∠ACE=∠CDG，故⑤正确，符合题意；综上，①③⑤正确，故答案为：①③⑤．

【分析】根据垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质可判定①；根据等腰直角三角形，直角三角形边的关系可判定②；如图所示，延长EC交BD于点H，过C作CM⊥CE，则CM=CE,∠MCE=90°=∠ACD，可证△DCE≌△ACMSAS，得到DE=AM，则有AM=BE=DE，再证△EHD≌△EHBSSS，则DH=BH，∠EHD=∠EHB，可判定③；由DF>AC=BC，可得△DAF不全等于△BGC，可判定④；根据DE=BE，得到△BDE为等腰直角三角形，则∠CDG=45°−∠CDF，由△MCE是等腰直角三角形，得到∠ACE=∠CEM−∠CAE=45°−∠CAE，由因为∠CAE=∠CDF，所以得到∠ACE=∠CDG，可判定14．【答案】（1）（1）解：由题意得AB=250米，AC=150米，BC=200米，如图，过C作CD⊥AB，∵150∴AC∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，S△ABC∴1解得：CD=120（米），答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米（2）（2）解：按照安全要求，A、B之间的公路需要暂时封锁，理由如下：如图，由（1）可知，CD=120<130，∴公路上存在两点E、F到C的距离为130米，公路上EF之间到燃放点C的距离匀小于130米，∴按照安全要求，A、B之间的公路EF段需要暂时封锁，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交AB于点E、F连接CE、CF，∵CE=CF=130，CD⊥AB，∴DE=DF，在Rt△CDE中，DE=C∴EF=2DE=100，即需要封锁的公路长为100米．【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；（1）过C作CD⊥AB，由勾股定理得逆定理得△ABC是直角三角形，所以S△ABC（2）过C作CD⊥AB，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交AB于点E、F连接CE、CF，因为CD=120<130，所以判断有危险，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出DE，进而求出EF即可．（1）解：由题意得AB=250米，AC=150米，BC=200米，如图，过C作CD⊥AB，∵150∴AC∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，S△ABC∴1解得：CD=120（米），答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；（2）解：按照安全要求，A、B之间的公路需要暂时封锁，理由如下：如图，由（1）可知，CD=120<130，∴公路上存在两点E、F到C的距离为130米，公路上EF之间到燃放点C的距离匀小于130米，∴按照安全要求，A、B之间的公路EF段需要暂时封锁，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交AB于点E、F连接CE、CF，∵CE=CF=130，CD⊥AB，∴DE=DF，在Rt△CDE中，DE=C∴EF=2DE=100，即需要封锁的公路长为100米．15．【答案】[解答]20°或50°或80°；[应用]如下图任选其三即可.【解析】【解答】解：[解答]当∠A为顶角时，∠B为底角等于180°−∠A2当∠A为底角时，∠B若也为底角则∠B=∠A=80°，∠B为顶角，则∠B=180°−2∠A=20°，故∠B为20°或50°或80°；【分析】[解答]根据等腰三角形性质，结合三角形内角和定理即可求出答案.[应用]拼的三角形与边长为5的直角边重合和边长为12的直角边重合两种情况去拼，每种情况都有两种拼法.16．【答案】（1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，∴∠A=∠ABC=∠CDE=45°，

∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠EDB（2）解：AD2+DB2=DE2，理由如下：如图1，连接BE，

∵∠ACD+∠BCD=90°=∠BCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，

∴△ACD≌△BCESAS，

∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°（3）解：由勾股定理得，DE2=CD2+CE2=10，由（2）可知，BE=AD=1，BE2+DB2=DE2，

∴12+DB2=10，

解得，DB=3，或DB=−3（舍去），

∴BF=12DB=32，AB=AD+DB=4，

如图2，过C作CH⊥AB于H，

【解析】【分析】（1）由于△ABC是等腰直角三角形，故∠A=∠ABC=45°。同理，△DCE也是等腰直角三角形，因此∠CDE=45°。由于∠CDB是△CDB的外角，根据外角定理，∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠EDB。由于∠A=∠CDE=45°，进而可以得出结论；（2）如图1，连接BE，因为∠ACD=∠BCE（已证），AC=BC（等腰直角三角形的两腰相等），CD=CE（等腰直角三角形的两腰相等），所以△ACD≌△BCE（SAS定理）。这意味着AD=BE。由于∠ACD=∠BCE，且∠A=∠CBE=45°，所以∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°。因此，△DBE是直角三角形，根据勾股定理，BE2+DB2=DE2。因为AD=BE，所以AD2+DB2=DE2；（3）由勾股定理得，DE2=CD2+CE2=10，由（2）可知，BE=AD=1，BE2+DB2=DE2，则12+DB2=10，解得，DB=3，或17．【答案】（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BCD=∠A=α

∴∠B=12180°−∠A=90°−12α，

（2）解：①∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，

∴∠CBE+∠ACB=90°，

设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，

由（1）可得∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，

∴∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−90°−α−90°−α=2α，

∴∠BCD=2∠CBE；

②∵∠BFD是△CBF的一个外角，

∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α，

分三种情况：

当BD=BF时，

∴∠BDC=∠BFD=3α，

∵∠BDC=90°−α，

∴90°−α=3α，

∴α=22.5°，

∴∠A=∠BCD=2α=45°；

当DB=DF时，

∴∠DBE=∠BFD=3α，

∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=90°−α−α=90°−2α，

∴90°−2α=3α，

∴α=18°，

∴∠A=∠BCD=2α=36°；

当FB=FD时，

∴∠DBE=∠BDF，

∵∠BDF=∠ABC>∠DBF，

∴不存在FB=FD，

综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为【解析】【分析】（1）根据AB=AC和∠A=α可得∠B=12180°−∠A=90°−1（2）①由BE⊥AC可得∠BEC=90°，得到∠CBE+∠ACB=90°，设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，由（1）可得∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，再根据三角形内角和定理可得∠BCD=2α，即可解答；②由三角形外角的性质可得∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α，根据△BDF是等腰三角形分三种情况：BD=BF；DB=DF；FB=FD；利用等腰三角形的性质，求解即可．（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BCD=∠A=α∴∠B=1∴∠BDC=180°−∠B−∠BCD=180°−=90°−1（2）解：①∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠ACB=90°，设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，由（1）可得∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，∴∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−90°−α∴∠BCD=2∠CBE；②∵∠BFD是△CBF的一个外角，∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α，分三种情况：当BD=BF时，∴∠BDC=∠BFD=3α，∵∠BDC=90°−α，∴90°−α=3α，∴α=22.5°，∴∠A=∠BCD=2α=45°；当DB=DF时，∴∠DBE=∠BFD=3α，∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=90°−α−α=90°−2α，∴90°−2α=3α，∴α=18°，∴∠A=∠BCD=2α=36°；当FB=FD时，∴∠DBE=∠BDF，∵∠BDF=∠ABC>∠DBF，∴不存在FB=FD，综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．18．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=45°，

∵BG=CH，

∴△BGA≌△CHASAS，

∴AG=AH，

∴△AGH（2）解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠EAB=∠EBA=45°，

∴AE=BE=22AB=3，

∴GE=BE−BG=1，

∴AG=AE2+GE2=10；

（3）证明：如图所示，在BC上取一点H，使得HF=CF，连接DH，

在△HDF和△CEF中，

∵HF=CF，∠HFD=∠CFE，DF=EF，

∴△HDF≌△CEFSAS，

∴∠HDF=∠E，

∴DH∥CE，

又CE∥AB，

∴CE∥AB∥DH

∵AB⊥BD，

∴DH⊥BD，∠ABD=90°，

∵∠DBH=45°，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴BH=2BD，

同理BC=2AB，

∵BC=BH+CH=BH+2CF，

∴2AB=2BD+2CF，

∴AB=BD+2CF．

【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证出△BGA≌△CHA，利用全等三角形的性质可得AG=AH，即可证出△AGH是等腰三角形；

（2）过点A作AE⊥BC于点E，先求出AE=BE=（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，∵BG=CH，∴△BGA≌△CHASAS∴AG=AH，∴△AGH是等腰三角形；（2）解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠EAB=∠EBA=45°，∴AE=BE=2∴GE=BE−BG=1，∴AG=A（3）证明：如图所示，在BC上取一点H，使得HF=CF，连接DH，在△HDF和△CEF中，∵HF=CF，∠HFD=∠CFE，DF=EF，∴△HDF≌△CEFSAS∴∠HDF=∠E，∴DH∥CE，又CE∥AB，∴CE∥AB∥DH∵AB⊥BD，∴DH⊥BD，∠ABD=90°，∵∠DBH=45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴BH=2同理BC=2∵BC=BH+CH=BH+2CF，∴2AB=∴AB=BD+219．【答案】（1）解：图2、图3添加辅助线如下：

添加辅助线的操作进行描述如下：图2：延长BA至点D，过A作AE∥BC．图3：过点A作DE∥BC.（2）证明：选择图2，

∵AE∥BC，

∴∠B=∠DAE，∠C=∠EAC，

又∵∠BAC+∠DAE+∠EAC=180°，

∴∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴△ABC内角和为180°.（3）证明：如图4，

过点P作PD∥BC交AC于D，过点P作PE∥AC交BC于点E，

∵PE∥AC，

∴∠A=∠1，