2026年数学建模与应用题集

2026年数学建模与应用题集一、线性规划问题（共3题，每题10分）1.题目：某农场有土地1000亩，计划种植玉米和蔬菜。玉米每亩需化肥20公斤，蔬菜每亩需化肥30公斤，农场最多可购买化肥30000公斤。玉米每亩产值为500元，蔬菜每亩产值为800元。为使农场总产值最大，应如何安排玉米和蔬菜的种植面积？2.题目：某工厂生产A、B两种产品，每件A产品需消耗原材料1公斤，工时2小时；每件B产品需消耗原材料1.5公斤，工时1.5小时。工厂每周原材料供应量为1000公斤，工时供应量为600小时。A产品每件利润为200元，B产品每件利润为150元。为使工厂每周利润最大，应如何安排A、B两种产品的生产数量？3.题目：某城市公交公司有100辆公交车，计划安排线路1和线路2运营。线路1每辆公交车每天需运行200公里，线路2每辆公交车每天需运行150公里。公交车每天最多运行250公里。线路1每辆公交车每天收入为1000元，线路2每辆公交车每天收入为800元。为使公交公司每天收入最大，应如何安排线路1和线路2的公交车数量？二、整数规划问题（共2题，每题10分）1.题目：某公司计划投资建设A、B两种项目。项目A每投资1万元可获利0.4万元，项目B每投资1万元可获利0.5万元。公司现有资金100万元，且项目A至少投资20万元，项目B至少投资30万元。为使公司获利最大，应如何安排A、B两种项目的投资金额？2.题目：某学校有200名学生，需要安排住宿。宿舍分为单人间和双人间，单人间每间最多住2人，双人间每间最多住4人。单人间每晚费用为100元，双人间每晚费用为150元。学校每晚住宿费用预算为20000元。为使学校每晚住宿费用最低，应如何安排单人间和双人间的数量？三、动态规划问题（共2题，每题10分）1.题目：某公司有5台机器，计划分配给三个生产车间使用。每个车间最多可使用2台机器。机器A、B、C、D、E的效率分别为10、15、20、25、30。为使三个车间的总效率最大，应如何分配机器？2.题目：某城市有五个区，需要修建一条从区1到区5的道路。道路经过区i和区j时，建设成本为(i+j)×100万元。为使道路建设成本最小，应如何选择道路路线？四、图论与网络流问题（共3题，每题10分）1.题目：某城市有六个区，需要修建道路连接各区。区间道路建设成本如下表所示：|区间|1-2|1-3|2-3|2-4|3-4|3-5|4-5|4-6|5-6||--|--|--|--|--|--|--|--|--|--||成本（万元）|50|60|40|70|50|60|80|70|50|为使道路建设成本最小，应如何选择道路路线？2.题目：某公司有四个仓库，需要将货物配送给三个销售点。仓库到销售点的运输能力如下表所示：|仓库-销售点|1-2|1-3|2-1|2-3|3-1|3-2|4-2|4-3||--|--|--|--|--|--|--|--|--||运输能力（吨）|20|30|10|20|30|20|40|30|为使货物配送效率最高，应如何安排货物配送方案？3.题目：某城市有七个路口，需要安排交通信号灯。每个路口的通行能力如下表所示：|路口-路口|1-2|1-3|2-1|2-4|3-1|3-5|4-2|4-6|5-3|5-7|6-4|6-7|7-5|7-6||--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--||通行能力（车/小时）|100|80|100|120|80|100|120|100|100|120|120|100|120|100|为使城市交通效率最高，应如何安排交通信号灯的绿灯时间？五、概率统计问题（共3题，每题10分）1.题目：某商场每天顾客流量服从泊松分布，平均每天有200名顾客。为使顾客等待时间不超过10分钟的概率达到90%，应安排多少名收银员？2.题目：某公司生产的零件寿命服从指数分布，平均寿命为1000小时。为使零件的平均故障间隔时间达到95%，应如何确定零件的可靠性指标？3.题目：某城市空气质量指数（AQI）服从正态分布，均值为50，标准差为20。为使AQI超过100的天数不超过5%，应如何控制空气质量？六、微分方程问题（共2题，每题10分）1.题目：某城市人口增长服从逻辑斯蒂增长模型，初始人口为100万，最大人口容量为1000万，人口增长率为0.05。求该城市人口达到500万时所需的时间。2.题目：某公司产品销售量服从微分方程模型，初始销售量为1000件，销售速度与剩余销售量成正比，比例系数为0.01。求该产品销售量下降到500件时所需的时间。七、机器学习问题（共2题，每题10分）1.题目：某银行有1000名客户，需要根据客户的年龄、收入和信用评分预测客户的贷款违约概率。已知部分客户数据如下表所示：|年龄|收入（万元）|信用评分|违约概率|||-|-|-||30|5|700|0.1||40|10|650|0.2||50|15|600|0.3||...|...|...|...|请建立机器学习模型预测客户的贷款违约概率。2.题目：某电商网站有10000个用户，需要根据用户的浏览历史和购买记录推荐商品。已知部分用户数据如下表所示：|用户ID|浏览历史|购买记录||--|-|-||1|商品A,商品B|商品A||2|商品C,商品D|商品C||3|商品E,商品F|商品E||...|...|...|请建立机器学习模型推荐商品。答案与解析一、线性规划问题1.答案：设玉米种植面积为x亩，蔬菜种植面积为y亩。目标函数为最大化总产值Z：Z=500x+800y约束条件：x+y≤100020x+30y≤30000x≥0,y≥0求解得：x=500亩，y=500亩，最大总产值Z=550000元。解析：通过求解线性规划模型，得到玉米和蔬菜的最佳种植面积分别为500亩，此时总产值最大。2.答案：设A产品生产数量为x件，B产品生产数量为y件。目标函数为最大化利润Z：Z=200x+150y约束条件：x≤5001.5y≤4002x+1.5y≤600x≥0,y≥0求解得：x=200件，y=200件，最大利润Z=70000元。解析：通过求解线性规划模型，得到A、B两种产品的最佳生产数量分别为200件，此时工厂每周利润最大。3.答案：设线路1的公交车数量为x辆，线路2的公交车数量为y辆。目标函数为最大化收入Z：Z=1000x+800y约束条件：x+y=100200x≤25000150y≤25000x≥0,y≥0求解得：x=50辆，y=50辆，最大收入Z=90000元。解析：通过求解线性规划模型，得到线路1和线路2的公交车数量分别为50辆，此时公交公司每天收入最大。二、整数规划问题1.答案：设项目A投资金额为x万元，项目B投资金额为y万元。目标函数为最大化利润Z：Z=0.4x+0.5y约束条件：x+y≤100x≥20y≥30x,y为整数求解得：x=20万元，y=50万元，最大利润Z=34万元。解析：通过求解整数规划模型，得到项目A和项目B的最佳投资金额分别为20万元和50万元，此时公司获利最大。2.答案：设单人间数量为x间，双人间数量为y间。目标函数为最小化住宿费用Z：Z=100x+150y约束条件：2x+4y≥200100x+150y≤20000x,y为整数求解得：x=0间，y=50间，最小住宿费用Z=7500元。解析：通过求解整数规划模型，得到单人间和双人间的最佳数量分别为0间和50间，此时学校每晚住宿费用最低。三、动态规划问题1.答案：设三个车间的总效率为Z。动态规划求解得：Z=20+25+30=75解析：通过动态规划模型，得到三个车间的最佳分配方案为车间1分配机器A，车间2分配机器D，车间3分配机器E，此时总效率最大。2.题目：某城市有五个区，需要修建一条从区1到区5的道路。道路经过区i和区j时，建设成本为(i+j)×100万元。为使道路建设成本最小，应如何选择道路路线？答案：设区1到区5的最小建设成本为Z。动态规划求解得：Z=100+200+300=600万元解析：通过动态规划模型，得到区1到区5的最佳道路路线为区1-区2-区3-区4-区5，此时道路建设成本最小。四、图论与网络流问题1.答案：最小生成树为区1-区2-区4-区6，最小建设成本为50+40+70+50=210万元。解析：通过图论模型，得到最佳道路路线为区1-区2-区4-区6，此时道路建设成本最小。2.答案：最大流为100吨，配送方案为仓库1到销售点2和销售点3分别为50吨和50吨。解析：通过网络流模型，得到最佳货物配送方案为仓库1到销售点2和销售点3分别为50吨和50吨，此时货物配送效率最高。3.答案：最佳交通信号灯安排为路口1-路口2-路口3-路口4-路口5-路口6-路口7，绿灯时间分别为100,120,100,120,120,120,100秒。解析：通过图论模型，得到最佳交通信号灯安排为路口1-路口2-路口3-路口4-路口5-路口6-路口7，此时城市交通效率最高。五、概率统计问题1.答案：需安排4名收银员。解析：通过泊松分布和等待时间计算，得到需安排4名收银员。2.答案：可靠性指标为0.95。解析：通过指数分布和可靠性计算，得到零件的可靠性指标为0.95。3.答案：需将AQI控制在70以下。解析：通过正态分布和概率计算，得到需将AQI控制在70以下。六、微分方程问题1.答案：人口达到500万时所需的时间为约20.3年。解析：通过逻辑斯蒂增长模型，得到人口达到500万时所需的时