2026届广东省河源市高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2026届广东省河源市高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，，是平面内共线的三个不同的点，点是，，所在直线外任意-点，且满足，若点在线段的延长线上，则（）A．， B．， C． D．2．无穷数列1,3,6,10，…的通项公式为（）A． B．C． D．3．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A． B． C． D．4．已知等差数列的前项和为，若，则（）A．18 B．13 C．9 D．75．四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（）A． B． C． D．6．已知函数，则（）A． B． C． D．7．设为直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则8．已知中，，，点是的中点，是边上一点，则的最小值是（）A． B． C． D．9．已知：平面内不再同一条直线上的四点、、、满足，若，则（）A．1 B．2 C． D．10．已知分别是的边的中点，则①；②；③中正确等式的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的定义域为_____________．12．过点，且与直线垂直的直线方程为．13．将一个圆锥截成圆台，已知截得的圆台的上、下底面面积之比是1:4，截去的小圆锥母线长为2，则截得的圆台的母线长为________.14．已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．15．设数列的前项和为满足：，则_________.16．若三角形ABC的三个角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为角A，B，C的对边，三角形ABC的面积，则b的最小值是________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）若的面积为，，求的值．18．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，Sn＝1Sn﹣1+n（n≥1）（1）求出a1，a3的值，并证明：数列{an+1}为等比数列；（1）设bn＝log1（a3n+1），数列{}的前n项和为Tn，求证：1≤18Tn＜1．19．设数列是等差数列，其前n项和为；数列是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，．（1）求数列和数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．20．已知数列满足：，，.（1）求、、；（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；（3）求和.21．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

由题可得：，将代入整理得：，利用点在线段的延长线上可得：，问题得解.【详解】由题可得：，所以可化为：整理得：，即：又点在线段的延长线上，所以与反向，所以，故选A【点睛】本题主要考查了平面向量中三点共线的推论，还考查了向量的减法及数乘向量的应用，考查了转化思想，属于中档题．2、C【解析】试题分析：由累加法得:,分别相加得,,故选C.考点：数列的通项公式.3、C【解析】

纵竖坐标不变，横坐标变为相反数．【详解】点关于平面对称的点的坐标为．故选C．【点睛】本题考查空间直角坐标系，属于基础题．4、B【解析】

利用等差数列通项公式、前项和列方程组，求出，．由此能求出．【详解】解：等差数列的前项和为，，，，解得，．．故选：．【点睛】本题考查等差数列第7项的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5、A【解析】

连接交于点，连接，证明平面，进而可得到即是直线与平面所成角，根据题中数据即可求出结果.【详解】连接交于点，因为平面，底面是正方形，所以，，因此平面；故平面；连接，则即是直线与平面所成角，又因，所以，.所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型.6、A【解析】

由题意结合函数的解析式分别求得的值，然后求解两者之差即可.【详解】由题意可得：，，则.故选：A.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．7、C【解析】

画出长方体，按照选项的内容在长方体中找到相应的情况，即可得到答案【详解】对于选项A，在长方体中，任何一条棱都和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A不正确；对于选项B，若，分别是长方体的上、下底面，在下底面所在平面中任选一条直线，都有，但，所以B不正确；对于选项D，在长方体中，令下底面为，左边侧面为，此时，在右边侧面中取一条对角线，则，但与不垂直，所以D不正确；对于选项C，设平面，且，因为，所以，又，所以，又，所以，所以C正确.【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题8、B【解析】

通过建系以及数量积的坐标运算，从而转化为函数的最值问题．【详解】根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，．设，则，是边上一点，当时，取得最小值，故选．【点睛】本题主要考察解析法在向量中的应用，将平面向量的数量积转化成了函数的最值问题．9、D【解析】

根据向量的加法原理对已知表示式转化为所需向量的运算对照向量的系数求解.【详解】根据向量的加法原理得所以，，解得且故选D.【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.10、C【解析】分别是的边的中点；故①错误，②正确故③正确；所以选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】函数的定义域为故答案为12、【解析】

直线垂直表示斜率乘积为-1，所以可得新直线斜率，代入点即可．【详解】直线的斜率等于-1，所以与之垂直直线斜率，再通过点斜式直线方程：，即．【点睛】此题考查直线垂直，直线垂直表示两直线斜率之积为-1，属于简单题目．13、2【解析】

由截得圆台上，下底面积之比可得上，下底面半径之比，再根据小圆锥的母线即可得圆台母线．【详解】设截得的圆台的母线长为.因为截得的圆台的上、下底面面积之比是1:4，所以截得的圆台的上、下底面半径之比是1:2.因为截去的小圆锥母线长为2，所以，解得.【点睛】本题考查求圆台的母线，属于基础题．14、或【解析】

利用切线长最短时，取最小值找点：即过圆心作直线的垂线，求出垂足点．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程．【详解】设切线长为，则，所以当切线长取最小值时，取最小值，过圆心作直线的垂线，则点为垂足点，此时，直线的方程为，联立，得，点的坐标为.①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，圆心到该直线的距离为，合乎题意；②若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.由题意可得，化简得，解得，此时，所求切线的方程为，即.综上所述，所求切线方程为或，故答案为或．【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题．15、【解析】

利用，求得关于的递推关系式，利用配凑法证得是等比数列，由此求得数列的通项公式，进而求得的表达式，从而求得的值.【详解】当时，.由于，而，故，故答案为：.【点睛】本小题主要考查配凑法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16、【解析】

先求出，再根据面积得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.【详解】由题得,所以.由余弦定理得，当且仅当时取等.所以b的最小值是.故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）根据二倍角和诱导公式可得的值；（2）根据面积公式求，然后利用余弦定理求，最后根据正弦定理求的值.【详解】（1）,，所以原式整理为,解得：（舍）或,;（2），解得，根据余弦定理,,，代入解得：,.【点睛】本题考查了根据正余弦定理解三角形，属于简单题.18、（1）见解析；（1）见解析【解析】

（1）可令求得的值；再由数列的递推式，作差可得，可得数列为首项为1，公比为1的等比数列；（1）由（1）求得，，再由数列的裂项相消求和，可得，再由不等式的性质即可得证．【详解】（1）当时，，即，∴，当时，，即，∴，∵，∴，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴数列是首项为，公比为1的等比数列.（1）由（1）可知，所以，所以，，，,所以,所以,即．【点睛】本题主要考查了数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．19、（1）；；（2）【解析】

(1)根据等比数列与等差数列,分别设公比与公差再用基本量法求解即可.(2)由(1)有再错位相减求解,利用不等式恒成立的方法求解即可.【详解】解：（1）设等比数列的公比为q,由,,可得．∵,可得．故；设等差数列的公差为d,由,得,由,得,∴．故；（2）根据题意知,①②①—②得∴,对任意的恒成立,∴【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本量求解方法以及错位相减和不等式恒成立的问题.属于中档题.20、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】

（1）直接带入递推公式即可（2）证明等于一个常数即可。（3）根据（2）的结果即可求出，从而求出。【详解】（1），，可得；