初中数学七年级（五四学制）上册轴对称与坐标变化复习知识清单

初中数学七年级（五四学制）上册轴对称与坐标变化复习知识清单

一、核心概念与基本原理：搭建数与形的桥梁

本部分为整个专题的基石，【基础】要求全体学生必须熟练掌握。

（一）平面直角坐标系中点的坐标对称规律

这是本专题的核心内容，也是所有考题的源头。【非常重要】【高频考点】

1、关于x轴对称：两个点关于x轴对称时，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数。即点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为P‘（a，-b）。可以理解为：镜面是x轴，反射改变的是垂直方向（y轴）的坐标。

2、关于y轴对称：两个点关于y轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数。即点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标为P’（-a，b）。可以理解为：镜面是y轴，反射改变的是水平方向（x轴）的坐标。

3、关于原点对称：这是中心对称而非轴对称，但常与本专题结合考查。两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。即点P（a，b）关于原点对称的点的坐标为P‘（-a，-b）。

4、记忆口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号；关于原点对称，横纵坐标都变号。

（二）轴对称与坐标变化的互逆关系

图形通过轴对称变换得到新图形，其本质是图形上每一个关键点的坐标都按照上述规律发生了变化；反之，若一个图形上所有点的坐标都发生了某种有规律的对称变化，则原图形必然进行了相应的轴对称变换。【重要】这种关系体现了数形结合思想的核心——点的坐标变化直接决定了图形的位置变化。

二、基本题型与解题策略：掌握通性通法

本部分旨在将核心概念应用于具体问题，【重要】是连接基础与能力的桥梁。

（一）题型一：求一个点关于坐标轴的对称点坐标

1、考查方式：直接给出点的坐标，要求写出关于x轴或y轴对称的点的坐标。

2、解题步骤：

（1）识别对称轴：明确是关于x轴还是y轴对称。

（2）应用规律：根据“关于谁，谁不变”的原则，确定不变的那个坐标。

（3）确定相反数：将另一个坐标的值变为它的相反数。

（4）写出新坐标。

3、易错点：【难点】混淆x轴和y轴的规律，错误地认为关于x轴对称是横坐标变号。记牢口诀是克服此难点的关键。

（二）题型二：利用对称性求代数式的值

1、考查方式：给出两个点关于x轴或y轴对称，其中包含未知参数，要求求出参数的值或代数式的值。【热点】

2、解题步骤：

（1）根据对称规律列出方程：若两点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数；若关于y轴对称，则纵坐标相等，横坐标互为相反数。

（2）解方程（组）：求出未知参数的具体数值。

（3）代入求值：将求出的参数值代入目标代数式中计算。

3、解答要点：务必分清是哪种对称，列出正确的方程。这是中考中常见的简单题或中档题，重点考查基础知识的掌握和运算能力。

（三）题型三：在坐标系中作一个图形关于坐标轴的轴对称图形

1、考查方式：在给定的网格坐标系中，画出已知三角形或多边形关于x轴或y轴对称的图形。【高频考点】

2、解题步骤：

（1）找关键点：找出原图形中的所有顶点（关键点）。

（2）求对称点：分别求出每个顶点关于给定坐标轴的对称点坐标。

（3）描点：在坐标系中准确描出这些对称点。

（4）连线：按照原图形顶点的连接顺序，用直尺将对称点依次连接起来，得到轴对称图形。

3、易错点：【难点】描点错误，或连线顺序混乱导致图形不正确。作图前最好先在草稿纸上计算出所有对称点的坐标，再逐一描点，确保万无一失。

三、复杂图形变换与综合应用：提升思维层次

本部分考查学生的知识迁移能力和综合运用能力，【重要】是区分学生水平的关键。

（一）连续对称变换

1、问题特征：一个点或图形先关于x轴对称，再关于y轴对称（或连续多次对称），求最终坐标。

2、思维分析：点P（a，b）关于x轴对称得P1（a，-b）；P1关于y轴对称得P2（-a，-b）。观察发现，P2恰好是P关于原点的对称点。由此得出结论：一个点先后关于x轴和y轴进行轴对称变换，等同于关于原点进行中心对称变换。反之亦然。【难点】

3、拓展思考：若对称轴不是坐标轴，而是平行于坐标轴的直线（如直线x=m或直线y=n），其规律将如何变化？这为学有余力的学生提供了探究方向。

（二）轴对称与坐标变化的实际应用

1、问题情境：在平面直角坐标系中，利用轴对称解决路径最短问题（将军饮马模型）。【热点】【非常重要】

2、模型解析：

（1）定线：确定动点所在的直线（通常为x轴或y轴），这条线即为“河”。

（2）求对称：求其中一个定点关于这条“河”（坐标轴）的对称点。

（3）连线段：连接另一个定点和求出的对称点，所得线段与“河”的交点即为所求的点，使得到两定点距离之和最小。

（4）算坐标：利用线段与坐标轴的交点特征或直线解析式，求出该点坐标。

3、解题步骤示例：已知点A（2，3），点B（4，1），在x轴上求一点P，使PA+PB最小。

（1）定线：动点P在x轴上。

（2）求对称：作点B关于x轴的对称点B‘（4，-1）。

（3）连线段：连接AB’，与x轴的交点即为点P。

（4）算坐标：求出直线AB‘的解析式，令y=0，解得x的值，即为点P的横坐标。

（三）与图形面积、周长问题的综合

1、问题特征：在作出轴对称图形后，求新图形的面积或周长，或比较原图与新图面积、周长的关系。

2、解答要点：轴对称变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。因此，关于坐标轴对称的两个图形全等，它们的面积相等，周长相等。这一性质常在填空题或选择题中作为隐含条件考查。【基础】

四、跨学科视野拓展与项目式学习：培养核心素养

本部分体现课改理念，将数学知识与其他学科及生活实际相联系。

（一）与美术学科的融合——图案设计

在学习了轴对称与坐标变化后，可以设计这样的项目式学习任务：在平面直角坐标系中，利用坐标变化规律，设计一个具有轴对称美的图案。例如，先设计一个基础的“基本图形”，记录其各个顶点的坐标。然后，通过数学计算，找到这个基本图形关于x轴、y轴或某条直线的对称图形的顶点坐标，最终组合成一个完整的、和谐的轴对称图案。这个过程不仅巩固了数学知识，更让学生深刻体会到数学在艺术创作中的工具性价值。

（二）与物理学科的融合——镜面反射

平面直角坐标系中的轴对称，可以类比物理光学中的镜面反射现象。坐标轴可以看作是平面镜，一个点关于坐标轴的对称点，就如同物体在平面镜中所成的像。物体到镜面的距离等于像到镜面的距离（这对应了点与对称点到坐标轴的距离相等）；物像连线与镜面垂直（这对应了关于x轴对称时，横坐标相同，连线垂直于x轴）。这种跨学科的类比，有助于学生构建更加立体、深刻的知识网络。

（三）与地理学科的融合——地理位置定位

在地理学习中，我们使用经纬度来定位。平面直角坐标系可以看作是简化了的局部地图。如果以某条经线（如本初子午线）为y轴，赤道为x轴，那么一个地点关于赤道（x轴）的对称点，就相当于南半球与北半球纬度数值相同、方向相反的地点。这种联系让学生感受到数学坐标系是理解和描述现实世界空间关系的重要模型。

五、规律探索与创新题型：应对新中考

近年来，中考数学越来越注重考查学生的探究能力和创新意识。

（一）点的运动与坐标变换规律

1、题型示例：一个点从原点出发，按照“关于x轴对称→关于y轴对称→关于原点对称→关于x轴对称……”的规律循环变换，求经过若干次变换后点的坐标。

2、解题策略：【难点】寻找循环节。通过动手操作，计算前几次变换后的坐标，观察其变化周期。一旦找到周期（如每4次变换回到自身），就可以用总变换次数除以周期，根据余数确定最终位置。这体现了从特殊到一般的数学思想。

（二）图形变换与坐标关联的开放性探究

1、题型示例：给定一个图形变换（如向右平移2个单位，再关于y轴对称），问最终图形上某点坐标与原坐标的关系。

2、解题策略：设原图形上任意一点坐标为（x，y），根据变换步骤，逐步推导出新坐标的表达式（如先平移得（x+2，y），再关于y轴对称得（-x-2，y））。然后分析这个表达式与原坐标的关系，从而得出整个图形的变化规律。这考查了符号意识和演绎推理能力。

六、高频考点与易错点诊断

（一）高频考点汇总

1、直接写出某点关于x轴或y轴对称的点的坐标。【★】

2、根据两点关于坐标轴对称，列出方程（组）求参数的值。【★★】

3、在网格中按要求画出关于x轴或y轴对称的图形。【★★】

4、结合轴对称变化，求平面直角坐标系中的最短路径问题。【★★★】

5、判定两个图形是否关于坐标轴对称，并说明理由。【★★】

（二）常见失分点与应对策略

1、概念混淆：将关于x轴对称和关于y轴对称的规律记反。

对策：强化记忆口诀“关于谁，谁不变”。可以这样理解：关于x轴对称，镜面是水平的x轴，所以左右（横坐标）不动，上下（纵坐标）颠倒。

2、符号处理错误：求一个数的相反数时出错，尤其是负数的相反数。

对策：加强有理数运算的练习，明确“互为相反数”是指两个数绝对值相等，符号相反。

3、作图不规范：描点不准确，连线不用直尺，导致图形失真。

对策：养成使用绘图工具的习惯，点的位置要精确，连线要平直。

4、综合应用时模型不熟：在最短路径问题中，找不到正确的对称点或连接方式。

对策：深入理解“将军饮马”模型的本质：通过对称，将同侧的两点转化为异侧的两点，利用“两点之间，线段最短”来求解。

七、思想方法提炼与升华

在本专题的学习与复习中，贯穿始终的核心思想方法有：

1、数形结合思想：将抽象的坐标数字变化与直观的图形轴对称位置变化紧密联系起来。点的坐标是“数”，点的位置和图形是“形”，通过对称规律实现二者的相互转化。

2、转化与化归思想：将复杂的图形变换问题转化为点的坐标变化问题；将平面内的最短路径问题转化为线