2025年福建高数二（专升本）考试试题及答案

2025年福建高数二（专升本）考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)在区间（∞，+∞）内（）

A.没有极值点

B.有一个极小值点

C.有一个极大值点

D.有两个极值点

答案：D

解析：f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，得x=±1。f''(x)=6x，f''(1)=6>0，f''(1)=6<0。所以f(x)在x=1处有一个极小值点，在x=1处有一个极大值点。

2.设函数f(x)=e^x(x2)，求f(x)的极值点及极值。

A.极大值点x=2，极大值f(2)=e^2

B.极小值点x=2，极小值f(2)=e^2

C.极大值点x=2，极大值f(2)=e^2

D.极小值点x=2，极小值f(2)=e^2

答案：A

解析：f'(x)=e^x(x1)，令f'(x)=0，得x=1。f''(x)=e^x(x)，f''(1)=e<0。所以f(x)在x=1处有一个极大值点，极大值f(1)=e^2。

3.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)的单调增区间。

A.[2kππ/2,2kπ+π/2]，k∈Z

B.[2kππ/4,2kπ+π/4]，k∈Z

C.[2kπ+π/4,2kπ+3π/4]，k∈Z

D.[2kπ3π/4,2kπ+π/4]，k∈Z

答案：A

解析：f'(x)=cos(x)sin(x)，令f'(x)>0，得x∈[2kππ/2,2kπ+π/2]，k∈Z。所以f(x)在[2kππ/2,2kπ+π/2]内单调增加。

4.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的拐点。

A.(2,3)

B.(1,4)

C.(3,1)

D.(0,1)

答案：A

解析：f'(x)=3x^212x+9，f''(x)=6x12。令f''(x)=0，得x=2。f''(2)=6<0，所以拐点为(2,f(2))=(2,3)。

5.设函数f(x)=2x^33x^212x+8，求f(x)的渐近线。

A.水平渐近线：y=2

B.垂直渐近线：x=2

C.斜渐近线：y=2x4

D.无渐近线

答案：C

解析：f(x)的斜渐近线为y=kx+b，其中k=lim(x→∞)[f(x)/x]，b=lim(x→∞)[f(x)kx]。计算得k=2，b=4。所以f(x)的斜渐近线为y=2x4。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的顶点坐标为______。

答案：(1,0)

解析：f(x)=(x1)^2，顶点坐标为(1,0)。

7.设函数f(x)=ln(x)，求f(x)的反函数为______。

答案：y=e^x

解析：f(x)=ln(x)的定义域为x>0，值域为y∈R。反函数为y=e^x。

8.设函数f(x)=x^33x^2+3x1，求f(x)的导数为______。

答案：f'(x)=3x^26x+3

解析：f'(x)=(x^3)'(3x^2)'+(3x)'(1)'=3x^26x+3。

9.设函数f(x)=sin(2x)，求f(x)的周期为______。

答案：π

解析：f(x)=sin(2x)的周期为T=2π/2=π。

10.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的n阶导数为______。

答案：f^(n)(x)=(x^2+2nx+n(n1))e^x

解析：利用莱布尼茨公式，f^(n)(x)=(x^2)'e^x+x^2(e^x)^(n)+2nxe^x+n(n1)e^x=(2x+n(n1))e^x+x^2e^x+2ne^x=(x^2+2nx+n(n1))e^x。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间及极值。

解答：

f'(x)=3x^26x，令f'(x)=0，得x=0或x=2。

f''(x)=6x6，f''(0)=6<0，f''(2)=6>0。

所以f(x)在x=0处有极大值f(0)=4，在x=2处有极小值f(2)=0。

f(x)在(∞,0)和(2,+∞)内单调增加，在(0,2)内单调减少。

12.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的凹凸区间及拐点。

解答：

f'(x)=(x^2+2x)e^x，f''(x)=(x^2+4x+2)e^x。

令f''(x)=0，得x=2±√2。

f''(2√2)<0，f''(2+√2)>0。

所以f(x)在(∞,2√2)和(2+√2,+∞)内凹，在(2√2,2+√2)内凸。

拐点为(2√2,f(2√2))和(2+√2,f(2+√2))。

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