小学三年级数学上册（北师大版）《搭配中的学问》巅峰复习知识清单

小学三年级数学上册（北师大版）《搭配中的学问》巅峰复习知识清单

一、核心概念与基本原理（【基础】★）

（一）搭配问题的本质

搭配问题是排列组合的初步形态，在数学领域属于组合论的初级范畴。它研究的是完成某一件事，有多少种不同的组合方式。在三年级上册的具体语境中，特指“分步计数原理”的直观应用，即：完成一件事需要两个步骤，第一步有m种不同的方法，第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有m×n种不同的方法。本课所涉及的搭配，强调的是“选一配一”，即从两类不同的物品中各选出一个组成一套。

（二）核心原则：有序思考【核心灵魂】【必考】

这是解决所有搭配问题的金钥匙。有序思考是指按照一定的顺序（如先固定一类，再按顺序搭配另一类）进行思考，确保思维过程条理清晰、逻辑严密。其根本目标是保证结果的完备性和无冗余性。

1.不重复：同一个组合方案不被多次计算或列举。

2.不遗漏：所有可能的组合方案都被全面地找出。

（三）符号化思想【难点突破】【核心素养】

用图形、字母或数字等符号代替具体实物进行思考和表达，是数学抽象能力的初步体现。例如，用A1、A2表示两顶不同的帽子，用B1、B2、B3表示三条不同的裤子。这种思想能简化思维过程，将生活问题转化为纯粹的数学问题，为后续学习代数思想奠基。

二、基本方法体系与解题步骤（【高频考点】）

（一）实物操作法（奠基阶段）

适用情境：初次接触、数量较少时。

操作要点：利用学具卡片（如帽子、裤子图片）进行手动拼摆。摆的过程中，必须建立顺序感。例如，先拿一顶帽子，依次去配所有的裤子，记录一次；再换另一顶帽子，重复上述过程。

易错警示：随意抓取，毫无章法，极易导致重复或遗漏。

（二）图示连线法（核心阶段）【必须掌握】

这是最直观、最常用且最能体现有序思维的解题方法。

1.画图构类：将第一类的所有项目（如帽子）在纸上纵向或横向排开，将第二类的所有项目（如裤子）在另一侧对应排开。

2.建立对应：从第一类的每一个项目出发，分别向第二类的每一个项目画连线。

3.有序计数：按照从上到下或从左到右的顺序数出连线的总条数，即为搭配总数。

解题步骤示范（以2顶帽子、3条裤子为例）：

①在纸上左边画两个圆圈，分别标上“帽子1”、“帽子2”。

②在纸上右边画三个正方形，分别标上“裤子A”、“裤子B”、“裤子C”。

③用直尺从“帽子1”出发，依次连线“裤子A”、“裤子B”、“裤子C”。

④再从“帽子2”出发，依次连线“裤子A”、“裤子B”、“裤子C”。

⑤数一数，一共画了6条线，所以有6种搭配方法。

（三）符号列举法（提升阶段）

适用情境：项目较多或需要简洁表达时。

操作形式：用字母、数字等符号代替实物进行列举。

4.字母连线法：如将两类事物分别用A1、A2…和B1、B2…表示，然后进行有序连线。

5.算式表达法：直接根据乘法原理列出算式。如帽子数×裤子数=搭配总数，即2×3=6（种）。【重要】

（四）解题步骤总结【答题模板】

6.审题定类：仔细阅读题目，明确是哪两类物品在进行搭配？（例如：上衣和裤子、饮料和点心、荤菜和素菜、路径的起点和终点）。

7.计数算类：分别数出第一类物品有几种（m种），第二类物品有几种（n种）。

8.有序搭配：采用连线法或枚举法列出所有可能，验证m×n的结果。

9.列式解答：根据乘法原理列出乘法算式m×n，算出得数，并写出答语。

三、不同情境下的应用模型（【热点题型】）

（一）服装搭配模型

这是最经典的模型。

特征：从m件上衣和n条下装中各选一件。

考向：直接给出上衣和下装的数量，求搭配种数。如：小红有4件上衣和3条裙子，一共有多少种不同的穿法？（答案：4×3=12种）

（二）营养配餐模型【生活化考点】

特征：从m种荤菜和n种素菜中各选一种；或从m种主食和n种炒菜中各选一种。

变形：有时会拓展到饮料与点心的搭配。

解题关键：分清“两类”分别是什么。如：今日荤菜有2种，素菜有3种，要求一荤一素搭配，有多少种盒饭搭配？（答案：2×3=6种）

（三）路线搭配模型【难点模型】

特征：从A地到B地有m条路，从B地到C地有n条路，求从A地经B地到C地共有多少条不同的路线。

本质剖析：尽管情境从“物体”变为“路径”，但其数学结构完全等同于服装搭配。从A到B的选择是第一类（相当于上衣），从B到C的选择是第二类（相当于裤子）。

解答要点：必须明确路径的“分段”性质。先从A到B的每一条路，都要搭配一遍从B到C的所有路。因此，总路线数=m×n。

易错点：学生容易将路线直接相加（m+n），而非相乘。务必通过画图连线理解“配”的过程。

（四）组队/合影模型【拓展应用】

特征：从m个男生和n个女生中各选一人组成一队；或者每个小朋友分别和两个不同的吉祥物拍照。

解题关键：同样适用乘法原理。男生数×女生数，或小朋友人数×吉祥物数量。

四、高阶思维与能力进阶（【难点】【培优】）

（一）乘法原理的初步建模

虽然三年级不要求抽象出“乘法原理”的定义，但必须让学生在大量实践中感悟到：两类事物搭配的总数，就是它们各自个数的乘积。这是从加法思维（列举）向乘法思维（计算）的飞跃，是代数思维的重要启蒙。

（二）逆向思维与除法原理【挑战题】

已知总数和其中一类数量，求另一类数量。

题型示例：盒饭采用一荤一素搭配，共有12种不同的搭配方式。已知有3种荤菜，请问有多少种素菜？

解题思路：根据搭配总数=荤菜数×素菜数，那么素菜数=搭配总数÷荤菜数。即12÷3=4（种）。

（三）图形化抽象能力的培养

不仅要能看懂给定的符号图（如教材中笑笑的方法），更要能创造性地用自己喜欢的符号（△、□、○、1、2、3等）来表达搭配过程。这种“创造符号”的过程是创新意识的体现。

（四）结构化思维

面对稍复杂问题（如3顶帽子、4条裤子、2双鞋），能迅速识别出这是三步的搭配，虽然不要求计算，但能建立“先配衣裤，再配鞋”的思维链条，为后续学习做铺垫。

五、易错点深度剖析与避坑指南（【夺分关键】）

（一）混淆“两类”与“多类”

易错表现：题目中同时出现上衣、裤子、帽子，学生不知所措，或将三类强行配对。

应对策略：严格审题，看清题目要求是“一顶帽子+一条裤子”，还是“一件上衣+一条裤子+一定帽子”。本册书只涉及两类，如果出现三类，通常只要求选其中两类。

（二）计算误用加法

易错表现：看到2顶帽子和3条裤子，列出算式2+3=5（种）。

错因分析：混淆了“分类相加”与“分步相乘”的本质。搭配是需要“一步一步”完成的，是组合，不是简单的求和。

避坑口诀：搭配搭配，一步一步，你乘我乘，答案才对。

（三）连线遗漏或重复

易错表现：连线时没有顺序，随便乱连，导致连了这条忘了那条，或者一条线连了两次。

应对策略：强调画线工具（直尺）的使用，并要求每连完一个项目（如帽子1）的所有线后，再换下一个项目（如帽子2）。在数线时，可以按项目分组来数。

（四）忽略题目的具体限制

易错表现：题目要求“一套衣服必须是一件上衣和一条裤子”，但学生可能将同类的两件上衣进行搭配，违背题意。

应对策略：圈画关键词“一套”、“各一种”、“一荤一素”、“一顶帽子和一条裤子”等。

（五）对“0”的忽略（数字搭配拓展）

在后续或拓展练习中，如用数字卡片组成两位数，需注意0不能放在首位。但在本课的纯粹物品搭配中，不涉及此问题，但要为后续学习建立敏感度。

六、跨学科融合与实际应用视野

（一）与美术学科的融合

色彩搭配原理：讲解服装搭配时，可引入美术中的“对比色”、“邻近色”概念，让学生理解为何有些搭配看起来和谐，有些则不然。这能提升学生的审美情趣，使数学学习更具人文色彩。

（二）与综合实践活动的融合

设计一份营养午餐食谱：给定一些食材（含荤素），要求学生设计出一周不重样的、符合营养标准的午餐搭配。这不仅应用了数学的搭配知识，还融合了健康教育。

（三）与信息科技的融合

算法思想启蒙：有序思考本质上是一种最简单的“枚举算法”。可以举例告诉学生，计算机解决复杂问题时，很多时候就是靠这种“笨”但可靠的有序枚举（循环嵌套）来穷举所有可能性，再从中筛选最优解。

七、学业质量评价与考点预测

（一）基础达标（★★★）

题型：填空题、选择题、连线题。

内容：直接给出两类物品的数量或图片，求搭配总数。如：“早餐店有2种饮料和4种点心，选一种饮料和一种点心，有（）种不同的搭配。”

（二）能力应用（★★★★）

题型：解决生活中的实际问题。

内容：给出路线图求最短或不同路线数；给出菜单求配餐方案。如：“从少年宫到图书馆有3条路，从图书馆到科技馆有2条路，小明从少年宫经过图书馆到科技馆，一共有几种不同的走法？请画出示意图。”

（三）思维拓展（★★★★☆）

题型：开放性题目、逆向思维题目。

内容：①已知搭配总数和一类数量，求另一类数量。②“用2顶帽子、3条裤子，你能设计出多少种不同的穿搭参加班级表演？如果要求必须戴帽子，但不能穿红裤子（假设有一条红裤子），那么还有多少种？”（融入限制条件的组合）

（四）核心素养观测点

1.符号意识：能否自觉运用符号表达思维过程。

2.模型意识：能否识别不同情境（服装、路线、配餐）下的共同数学模型。

3.逻辑推理：能否清晰、有条理地阐述自己的搭配过程和计数原理。

八、总复习知识图谱

搭配中的学问

├──核心概念：两类物品、各选其一、组成一套

├──黄金法则：有序思考（不重复、不遗漏）

├──解题方法

│├──初级：实物摆一摆

│├──中级：图示连一连【核心】

│└──高级：符号算一算（m×n）【精髓】

├──经典情境

│├──服装搭配

│├──营养配餐

│└──路线选择

├──数学思想

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