数感与空间观念共生-北师大版小学数学五年级上册第一、二单元知识清单与教学实施指南

数感与空间观念共生——北师大版小学数学五年级上册第一、二单元知识清单与教学实施指南

一、第一单元《小数除法》知识清点与教学实施过程

（一）单元核心素养定位与教学内容全景分析

本单元属于“数与代数”领域，是学生在掌握了整数四则运算、小数的意义和性质以及简单的小数加减法基础上进行学习的。本单元的教学核心在于实现从整数除法运算思维向小数除法运算思维的跨越，不仅要求学生掌握算法，更关键的是深刻理解算理，即为什么要“商的小数点要和被除数的小数点对齐”以及除到被除数末尾有余数时为什么要“添0继续除”。这不仅是计算技能的习得，更是学生数感、运算能力和推理意识发展的关键期。本单元的知识脉络呈现出极强的逻辑递进关系：由除数是整数的小数除法【基础】出发，逐步过渡到除数是小数的小数除法【重要】，最后归结于小数的混合运算和循环小数等概念的认知【高频考点】。

（二）具体知识点与教学实施深度解析

1.精打细算——除数是整数的小数除法（一）

【基础】【重中之重】

教学实施过程启动于真实问题情境的创设。教师不应直接呈现算式，而应利用“购买牛奶”的生活场景，呈现甲商店5包牛奶11.5元，乙商店6包牛奶12.6元的信息，抛出核心问题：“哪家商店的牛奶更便宜？”这一驱动性问题自然引出“单价=总价÷数量”的数量关系，从而列出算式11.5÷5和12.6÷6。紧接着，教学进入核心环节——算法与算理的探索。首先鼓励学生进行估算，培养数感，预判结果在2元多一点。随后，组织小组合作探究“如何精确计算11.5÷5”。学生基于已有经验，会产生多种策略：一是将11.5元转化为115角，用整数除法算出23角，再转化为2.3元【难点转化策略】；二是利用直观图或数的组成进行拆分。此时，教师需引导各小组展示算法，并在对比中聚焦于竖式计算。竖式教学的【难点】在于理解“商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐”。教师应借助元、角、分的模型或计数单位（小数的意义）进行直观演示：先用11÷5，商2，余数1（表示1个一或1元）；余下的1与被除数十分位上的5合起来是15，这个15表示15个0.1（或15角）；15个0.1除以5，得到3个0.1（即0.3），所以3必须写在十分位上，为了表示出2和3之间的数位关系，必须在它们之间点上小数点。由此，学生深刻领悟到商的小数点与被除数的小数点对齐的本质是相同数位对齐。在此基础上，学生独立完成12.6÷6的计算，实现算法的迁移巩固【重要】。

2.打扫卫生——除数是整数的小数除法（二）

【高频考点】【难点突破】

本课时的核心在于处理“除到被除数的末尾仍有余数，需要添0继续除”的情况，这是学生计算中极易出错的地方。教学实施时，承接上一课时的问题情境，呈现“买笤帚”的场景：老师花了18.9元买了6把笤帚，每把多少元？列出算式18.9÷6。学生尝试用竖式计算，当计算到18÷6=3，余下0.9时，计算进程受阻。教师抓住这一认知冲突，提出启发性问题：“余下的9是9个0.1，还能继续往下分吗？为什么？怎么分？”引导学生基于小数的基本性质（小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变）进行思考，将0.9看作90个0.01，再除以6，得到15个0.01，即0.15。在竖式上，这一过程体现为在余数9后面添上一个0，变成90个百分之一继续除。商的小数点依然要与被除数的小数点对齐。教学不仅要让学生“会算”，更要让他们“会讲”每一步的意思。随后，通过“霸王龙玩具每盒12个，共24.6元，每个多少元？”的变式练习，巩固这一算法。此环节需特别强调【易错点】：商的中间不够除时，要用0占位；除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面；除到最后一位还有余数时，一定要添0继续除，直到除尽或达到要求的精确度为止。

3.谁打电话的时间长——除数是小数的除法

【核心难点】【必考】

这是本单元最具思维挑战性的内容，其核心是运用“商不变的规律”将除数转化为整数。教学实施过程需引导学生经历“转化”的全过程。创设“国内长途每分钟0.3元，通话花了8.54元，通话时间是多少？”的情境，列出算式8.54÷0.3。面对除数是小数的除法，学生感到陌生。教师引导回顾：“我们刚刚学会了除数是整数的除法，现在除数是小数，能想办法把它变成我们学过的样子吗？”由此，小组展开头脑风暴。学生借助“元、角、分”的单位换算，将0.3元化为3角，8.54元化为85.4角，将算式转化为85.4÷3。教师及时将这一方法上升到数学原理层面，指出这实际上是运用了商不变的规律：被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商不变。紧接着，教学重点放在竖式书写的规范格式上。教师必须板演示范：先划去除数的小数点，使它变成整数；再看除数有几位小数，被除数的小数点就向右移动几位（位数不够时用0补足）；最后按照除数是整数的小数除法进行计算【格式规范是高频失分点】。这一过程必须通过多层次的练习加以巩固，如0.12÷0.24、6.21÷0.03等，特别关注被除数位数不够补0的情形。

4.人民币兑换——积、商的近似值

【重要】【生活应用】

此课时是小数除法与生活实际的深度融合，同时也是求近似数的专项训练。教学实施从“美元兑换人民币”的现实问题入手，出示汇率表。让学生根据“1美元兑换人民币6.31元”这一信息，分别解决“妈妈用600元人民币可兑换多少美元？”和“5000元人民币能兑换多少港元、欧元、新元？”等问题。在计算过程中，学生会发现很多除法算式除不尽，或者结果的小数位数太多，在实际生活中没有意义（如货币的最小单位是“分”，即小数点后两位）。教师顺势引出“求积、商的近似值”的必要性。教学的重点是区分并掌握两种求近似值的情境：一是乘法中，通常先计算出准确积，再根据要求或生活实际取近似值；二是除法中，往往需要除到比要保留的位数多一位，再按“四舍五入”法取近似值【高频考点】。此外，还要引导学生体会“去尾法”和“进一法”的初步思想，为后续解决问题做铺垫，如“每个油壶可装3kg油，10.5kg油需要准备几个油壶？”这样的问题，就不能简单地四舍五入。

5.除得尽吗？——认识循环小数

【基础概念】【难点理解】

教学实施从计算两数相除（如73÷3，9.4÷11）入手，让学生亲历计算过程，发现除不尽，而且商的小数部分不断重复出现某个数字的奇特现象。教师提问：“为什么会出现这种情况？余数和商有什么规律？”引导学生发现余数重复出现时，商就会重复出现，从而引出“循环小数”的概念。教学需精确定义“循环小数”、“循环节”，并教授循环小数的两种简便记法【知识点】。特别要辨析“小数”与“循环小数”的关系，让学生明白循环小数属于无限小数的一种。通过辨析像3.1415926…这样的无限不循环小数，帮助学生构建完整的小数分类体系。同时，结合上一课时所学，练习如何对循环小数取近似值，实现知识的连贯性。

6.调查“生活垃圾”——小数四则混合运算

【综合应用】【必考】

本课时是对本单元所学知识的综合检验与提升。教学实施应摒弃单纯的机械训练，转而依托于解决实际问题，如调查家庭产生的生活垃圾数据，提出“一个人4周可产生30.8kg生活垃圾，那么一个人平均每天产生多少千克生活垃圾？”等问题。在解决问题时，学生需要自主分析数量关系，列出综合算式。教学的重点是引导学生回顾整数四则混合运算的顺序（先乘除，后加减，有括号先算括号里面的），并通过计算验证这些运算顺序在小数范围内同样适用【重要】。通过对比不同解法（如先算4周共有多少天，再求每天的产生量；或先求每周的产生量，再求每天的产生量），让学生体会运算顺序的合理性以及小数混合运算在日常生活中的广泛应用，提升解决问题的能力。

二、第二单元《轴对称和平移》知识清点与教学实施过程

（一）单元核心素养定位与教学内容全景分析

本单元属于“图形与几何”领域的“图形的运动”主题。学生在低年级已经初步感知了生活中的对称现象，本单元是在此基础上的“再认识”。教学的核心目标是从直观感知走向定量刻画与操作表达。学生不仅需要识别轴对称图形，更要能够在方格纸上精确地补全轴对称图形或画出平移后的图形。这一过程是发展学生空间观念、几何直观和推理能力的绝佳载体。本单元的两个核心概念“轴对称”和“平移”既有区别又有联系，它们都是图形变换的重要形式，在图案设计中常常综合运用。

（二）具体知识点与教学实施深度解析

1.轴对称再认识

（1）轴对称（一）——认识轴对称图形与对称轴

【基础】【空间观念】

教学实施应充分激活学生的已有经验。教师可呈现大量生活中的实物图片（蝴蝶、天安门、脸谱等），引导学生观察、分类，唤醒对“对称”的感性认识。接着，教学向数学化迈进：提供一些学过的平面图形（长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等），组织学生通过动手“折一折”来判断它们是否是轴对称图形。这一环节极具探究价值，特别是对于平行四边形，学生通过折叠会发现它无论怎么折两边都不能完全重合，从而深刻理解“平行四边形不是轴对称图形”这一几何事实【难点辨析】。在判断轴对称图形后，紧接着引导学生画出它们的对称轴。这里要强调画法的规范性：用虚线、穿过图形、画直【规范要求】。通过画长方形的对称轴，学生可能会画出两条，教师要引导学生思考“是不是只有两条？”从而完善认知，长方形实际上有两条对称轴，而正方形有四条。

（2）轴对称（二）——补全轴对称图形

【核心技能】【高频考点】

本课时是教学的重中之重，是从“认识”走向“操作”的关键一步。教学实施过程以“画小树”活动为载体，出示轴对称图形的一半（以虚线为对称轴），要求学生画出另一半。学生在尝试中会遇到困难，教师适时提供“找关键点”的策略指导。教学应分为几个层次：第一层，独立尝试，暴露思维，学生可能用目测或描图的方法，但不够精确；第二层，交流讨论，提炼方法，引导优秀学生分享经验，总结出“找——定——连”的三步法，即先找出已知图形每条线段的端点（关键点），再根据对称点到对称轴的距离相等【核心性质】，在对称轴的另一侧找到这些点的对称点，最后按原图形的形状依次连接各个对称点；第三层，规范操作，教师板演，在方格纸上示范如何准确找到关键点的对称点（数格子）；第四层，变式练习，巩固提升，提供不同位置、不同形状的图形（对称轴可能是水平、垂直或斜向的），让学生在不断实践中内化画图方法【重要】。在此过程中，要引导学生感悟“对应”的数学思想。

1.平移再认识

（1）平移——认识平移现象与画平移后的图形

【基础】【动手操作】

教学实施从生活中的平移现象（推拉窗、电梯、传送带）引入，让学生用手势模拟平移，感受平移是物体沿直线运动的特点，明确平移的两个要素：方向和距离【基础概念】。教学的难点和重点落在如何在方格纸上画出按水平或竖直方向平移后的图形。教学策略依然是“化繁为简”，将图形的平移转化为关键点（通常是图形的顶点）的平移。教师可以这样引导：“整个图形移动起来比较复杂，我们能不能只看几个关键的点，它们怎么动，整个图形就怎么动？”组织学生先尝试平移一个简单的三角形。学生在操作中会发现，只要确定了每个顶点平移后的位置，再按顺序连起来，就得到了平移后的图形。在数平移格数时，学生最容易犯的错误是数图形中间的空格，教师需通过对比辨析，强调要数“对应点”之间的格子数，而不是数图形与图形之间的空格数【高频易错点】。

（2）平移（二）——综合运用与复杂图形的平移

【能力提升】

在学生掌握了简单图形平移的基础上，本课时教学致力于提升难度，处理一些特殊情形，如平行四边形、不规则图形的平移。教学重点依然是“关键点”的移动，但图形的复杂程度增加，需要学生更仔细地确定所有关键点的对应点。教师可以引入一些在方格纸上沿斜线方向平移的拓展性问题（尽管课标要求以水平和竖直为主），但主要是为了开阔学生思维。同时，本课时也是复习巩固的好时机，通过一系列有梯度的练习，让学生熟练掌握平移的画法，并能在方格纸上描述一个图形平移的过程（如：向___平移了___格）。

1.欣赏与设计

【综合实践】【审美创造】

这是将所学知识进行创造性应用的高阶环节。教学实施应体现“观察——分析——模仿——创造”的路径。首先，呈现一组精美的图案（如传统剪纸、建筑设计纹样、编织图案等