复数（讲义江苏专用）-高中数学学业水平考试合格考试总复习（解析版）

专题07复数

目录A

学考要求速览

必备知识梳理

高频考点精讲

考点一：复数的扩充与复数的概念

考点二：复数的四则运算

实战能力训练y

)学考要求速览(

1、在问题情境中了解数系的广充过程，通过方程的解认识复数.

2、理解复数的代数表示，掌握两个复数相等的充要条件及应用.

3、了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.

4、理解共扰复数的概念，并会求共相复数.

5、掌握用向量的模来表示复数的模的方法,会求复数的模，并能解决相关的问题.

6、结合实数的加、减运算法虬熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.

7、理解复数加法、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.

8、掌握丸数代数形式的乘、除运笄法则，能够进行复数的乘、除运算.

9、掌握复数代数形式的四则运算及虚数单位i的寐值的周期性并能进行有关计算.

1、数系的扩充和复数的概念：

1.复数:集合C={a+bi\a,bER}中的数，即形如a+bi(a,beR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，它满足

i2=-1.全体复数所形成的集合C叫做复数集.

2.复数的表示:通常用字母z表示，即z=a+bi{a,bGR),这一表现形式叫做复数的代数形式.

其中a,b分别叫做复数z的实部、虚部.(求复数z的值，也常用待定系数法.)

3.复数相等的充要条件：OQ+bi=c+出=Q=c且匕=d;(a,b,c,deR.

（2）a+bt=0<=>a=0且b=0;（a,bGR）

（3）a+bi>c+di^>b=d=0且a>c.（只有实数才能比较大小）

4.复数z=a+bi的分类:当b=0时,z是实数;当b工0时,z是虚数(当Q=0时,z是纯虚数).

5.复数的几何意义:用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面”轴叫做实轴,y轴叫做虚轴显然，实轴上的点

都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示虚数.

—对应—对应f

z=a+bi(a,bG/?)—Z(a,b)—OZ=(a,b).规定:相等的向量表示同一个复数.

Z（a,b）

6.复数z=a+6的模(或绝对值):向量0?的模r叫做z=a+bi,记作|z|或|a+bi\'\z\=|a+bi\=Va2+b2;

2、复数代数形式的四则运算

1.复数的四则运算法则(规定)：(掌握复数运算与口算的规律)

①(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;满足交换律、结合律.

②(a+bi)一(c+di)=(a-c)+(b-d)i;加法的逆运算.

③(。+6)(。+由)=("一")+(儿+6^》；满足交换律、结合律、分配律.

④(°+4)+(。+由)=子=寓能黑=舞+舞力分母实数化:分子、分母同乘分母的共辄复数.

2.加减法的几何意义:向量加、减法的平行四边形法则.次=(a+c,b+d),讦=(a-c,b-d).①％-z2\

的几何意义是复平面上Z1(a,b),Z2(c,d)两点间的距离，即%-zzl=|花

②复平面上的两点间的距离公式:d=。一向|=J(a-c)2+(b-d)2.

③当|z-zol=r,表示复数z对应点的轨迹是以zo表示的点为圆心,半径为r的圆;单位圆|z|=1.

④当|Z-Z]|=|z-Z2l,表示复数Z对应点的轨迹是以Z1，Z2所表示的点为端点的线段的垂直立分线.

ZiQb）

3.当两个复数的实部相同，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共规复数.

复数z的共枕复数记作z.虚部不等于0的两个共枕复数也叫做共枕虚数.

复数z=a+bi(a,b6R)的共舸复数是=a-bi.

它们在复平面所对应的点关于x轴对称.显然,z=分=z£R,|z|=\z\,z'z=|z|2=|z|2=a2+b2.

高频考点精讲

考点一：复数的扩充与复数的概念

典型例题•

例题1（2024高二上•江苏•学业考试）在复平面内，复数z=l-2i对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】由复数几何意义可得答案.

【详解】z=l-2i在复平面对应的点为（1,-2）,该点在四象限.

故选：D

例题2.（2023高三上•江苏徐州•学业考试）复数z=1-i在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】

根据题意，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】根据复数的几何意义，可得复数z=i-i在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

例题3.（2023高三・江苏•学业考试）已知z=3-i,则|z|=（）

A.3B.4C.A/10D.10

【答案】C

【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.

【详解】因为z=3—i,所以|z|=，32+（-1）2

故选：C.

即时演练・

1.在及平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则更数W对应的点Z1所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】设出复数z的代数形式，利用复数的除法运算求出?即可判断得解.

【详解】由在复平面内，复数Z对应的点Z在第二象限，设2=。+加,。<0/>0,

=显然:>0,_曰>°，

4l414444

所以点Z1©,—》在第一象限，A正确.

故选：A

2.已知复数2=@瑞0M为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为4B.复数z在复平面内对应的点位于第三象限

C.z的共枕复数Z=4-2iD.\z\=2V5

【答案】D

【分析】利用i的周期性先将复数z化简为z=-4+2i即可得到答案.

【详解】因为i2=—l,i4=Li5=i,所以i的周期为4,故

故z的虚部为2,A错误；z在复平面内对应的点为（-4,2）,在第二象限，B错误；z的共

挽复数为彳二一4一23C错误；|z|=/（一4）2+22=2瓜D正确.

故选：D.

【点睛】本题考杳复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共聊复数、复数的几何意义、复数的模等知识,

是一道基础题.

3.复:数3+4i的模为（）

A.3B.4C.5D.7

【答案】C

【分析】根据复:数模的定义计算.

【详解】|3+4i|=V32+42=5

故选：C.

考点二：复数的四则运算

工典型例题二

例题1（2024高二上・江苏•学业考试）棣莫弗公式（cos。+isin0）n=cosnO+isinn0（n6N'）是由法国数

学家棣莫弗发现的.若复数a=cos^+ising则3、=（）

66

【答案】D

【分析】根据棣莫弗公式化简求解.

【详解】由棣莫弗公式，a?=（cos；+isin；）=cos?+isin?=—?+；i.

\66/6622

故选：D.

例题2.（2024高二上.江苏扬州.学业考试）已知复数z=2+i（i是虚数单位），则|z|为（）

A.V5B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】

根据复数模长公式求出答案.

【详解】|2］=两用=花.

故选：A

例题3.（23-24高三上•江苏无锡・期中）已知复数z=2-i,则z（Z+i）的虚部为（）

A.-2B.-1C.6D.2

【答案】D

【分析】利用复数乘法法则计算出z（2+i）=6+2i,从而求出虚部.

［详解］z（z+i）=（2-i）（2+i+i）=（2-i）（2+2i）=4+4i-2i-2i2=6+2i,虚部为2,

故选：D.

即时演练・

1.复数1+2在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.

【详解】i+W=i+岛篙故对应的点为仔后）

故选:D.

2.已知复数Zi=2+3i,Z2=1+i，则Zi4-z2=（）

A.3+2iB.-1+2iC.-1+4iD.34-4i

【答案】D

【分析】根据复数加法运算法则求解•.

【详解】由Zi=2+3i,Z2=1+i,

则Zi+Z2=3+4i,

故选：D

3.设2=，^+八则|z|二（）

A.-B.—C.—D.2

222

【答案】B

【分析】对复数进行运算化简得z=：+、，再进行模的计算，即可得答案;

2

【详解】z=捻+i="？,.•・同=J0+（丁=1

故选：B.

【点睛】本题考查复数模的计算，考考运算求解能力，属于基础题.

1、已知i为虚数单位，（l+ai〕i=5+i,则实数a等于（）

A.-1B.1C.—5D.5

【答案】C

【分析】化简方程可得i-a=5+i,由此可求a.

【详解】因为（1+ai）i=5+i,即i+d=5+i,

可得i—Q=5+i,所以a=-5.

故选：C.

2、已知复数z=2+i（i为虚数单位），贝ijz的实部为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】根据复数z=Q+hi（a,hGR）的实部为Q即可求解.

【详解】因为复数2=。+56/€2的实部为明

所以复数z=2+i的实部为2.

故选：A.

3、计算（1+i）i的值是（）

A.1+iB.-1+iC.1—iD.-1—

【答案】B

【分析】直接根据复数的乘法运算法则计算即可.

【详解】（l+i）i=i+i2=-1+i.

故选：B

4、已知i为虚数单位，则复数z=1+i在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的几何意义求解即可.

【详解】复数z=1+i在复平面内对应的点为（1,1）,位于第一象限.

故选：A.

5、已知i为虚数单位，设复数z1=2+i,z2=l-3i,则Z]-Z2=（）

A.1+4iB.l-2iC.2+4iD.2-2i

【答案】A

【分析】根据复数的减法法则计算即可.

【详解】由Zi=2+i,z2=1-3i»

则Zi-z2=2+i-（1-3i）=14-4i.

故选：A.

6、若1=2+i,则2=()

z

-1,2.c12.

C/丁D.---1

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共折.复数的定义求解.

【详解】由；可得

2+iz=5=(2+i)(2-i)=

故2二:一"

DD

故选：D

7、已知i为虚数单位，则复数z=-2-6i在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】由复数的几何意义求解.

【详解】复数z=-2-6i在复平面内对应的点为(-2,-6),它在第三象限,

故选：C

8、i为虚数单位，计算工等于()

A.1+iB.-1+iC.-1-i

【答案】A

【分析】利用复数的除法法则运算即可.

【详解】2_2(l+i)_2+2i

1-i—(l-i)(l+i)-1+1

故选：A.

9、i为虚数单位，若z-3=i(2z+1),贝”z|=()

A.V2B.y/3C.2D.V5

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算及复数的模求解.

【详解】因为z—3=i(2z+1),

所以z-3=2zi+i,即z==

所以怙1=的丫+(1)2=夜,

故选：A

10、复数(l+i)?=()

A.2-2iB.2+2iC.-2iD.2i

【答案】D

【分析】根据更数乘法计算.

【详解】(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2L

故选：D

11、若复数z=2(i为虚数单位)，则复数z的虚部为()

Z-I

.22,C1・

A.-Bn.-iC.-D.-i

O3o>

【答案】c

【分析】

利用复数的四则运算，结合复数的定义即可得解.

【详解】因为z=W=3=|+/

所以复数Z的虚部为占

故选：C.

12、已知复数z=i(l—i)(i为虚数单位)，则|z|=()

A.-B.—C.V2D.2

22

【答案】c

【分析】计算出z=1+i,利用复数模长公式求出答案.

［详解］z=i(l—i)=i—i2=14-i,故|z|=V1+1=V2.

故选：C

能力强化•

13、已知复数z=l+i2+i3+i4,则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.

【详解】解：因为复数z=1+i2+i3+i4=1+(-1)+(-i)4-1=1-i,

所以z在复平面内对应的点位于第四象限，

故选：D

14、已知