函数及性质（知识清单）-2026届高三数学一轮复习

函数及性质

一、函数解析式的求法

1、已知f(x)的解析式，求f[g(X))的解析式。

解法：直接把f(X)中得X换成g(X)并化简。

2、已知f[g(x)〕的解析式，求f(x)的解析式。

解法：

①换元法：设g(x)=t,解出X,代入原式得f[g(x)]=f(t),化简得f(x)=f(t)0

②凑配法：在千[g(x))的表达式中把每一个含有X的项都凑配成g(x)的形式，再把g

(X)换成X即得f(K)得解析式。

③待定系数法：如果已知函数的类型，求解析式可设出函数的形式，采用待定系数法求解。

3、若已知关于f(x)和的一次方程，求f(x)解析式。解法：设x=2代入原式，

所得式子与原式联立解关于千(X)和/(2)的二元一次方程组，解出千(X)。

⑷利用函数的性质求解析式。

二、函数定义域的求法

1、若解析式是关于X的整式，则定义域为全体实数。

2、若解析式是关于X的分式，则定义域为分母不为零的所有实数。

3、若解析式是关于x的偶次根式，则定义域为使得被开方数为非负的所有实数。

4、若解析式中上述几种情况有两种或两种以上，则使得每一部分有意义，然后取交集。

5、若与实际相结合，除解析式有意义外，还要与实际结合。

6、对数函数的定义域为真数大于零的所有实数；指数函数的定义域为所有实数；(指数为黎

时底数不为零)正余弦函数的定义域为所有实数；正切函数的定义域为

卜/XH+g卜攵GR:余切函数的定义域为{A7xwkx}'k€R

7、已知f(x)的定义域为A,求f〔g(x)〕的定义域。解法：令g(x)GA,求出x的范

围即可。

8、已知f〔g(x)〕的定义域为A,求f(x)的定义域。解法：由x的范围求出g(x)的范

围即为f(x)的定义域。

三、函数值域的求法

1、观察法：(简单函数，基本初等函数)

2、配方法：(形如y:ax'bx+c或af?(x)+bf(x)+c,a#=0)

3、导数法：(定义在闭区间上的连续函数)

4、均值不等式法：(形如y=x+±,k>0、x>0)

X

5、反函数法：(形如),=竺心)(『=土也)

cx+(icx-a

6、判别式法：(形如)，=*：+3+G,a1、aZ不全为零)

a,x+b2x+c,

7、单调性法：(形如y=or+。+《cx+d(ac>0)

或y=ax+h-\[cx+d(ac<0))

8、换元法：(形如y=ax+b+，cx+d(acv0)

加=ax+b7cx+4(ac>0))

9^图像法：(形如y=|x-a|+|x|)

10、对勾函数法：(形如y=x+白，k>0)

X

11、分离常数法：

12、三角函数法：(y=asinx+b或y=cosx+b,y=asinx+bcosx)

2

13、几何法：形如y=Ja/+'x+G±^/a,x+b2x+c2

例：求函数y=\/X2-2X+2+VX2-10X+34的最小值。

上式表示y是X轴上的点4,0)到点A(1,1)和点B(5,-3)的距离的和，如上图连接AB,则线段

AB与x轴的交点P就是使v最小的点P(x,0),|AB|就是y的最小值.如果在x轴上有另一

点R,则在ARAB中,

IRA|+|RB|>AB.(但AB两点必须在x轴两侧，若在同恻，则找出其中一点关于x轴的对称

点再求)所以上式的最小伍为

乂皿=，(5-1)2+(-3-1『=4应

例：求函数y=VX2-12X+52-VX2-4X+5的最大值。

解：原式可化为y=J(x-6)2+(0_4)_J(x-2)2+(0_以

上式表示y是X轴上的点(x,0)到点A(6,4)和点B(2,1)的距离的差，如上图连接AB,并延长

AB与x轴的交点P就是使v最大的点P(x,0),IAB|就是y的最大值.如果在x轴上有另一

点R,则在ARAB中，IRA-|RB|CAB.(但AB两点必须在x轴同侧，若在两侧，则找出其中

一点关于x轴的对称点再求)所以上式的最大值为

yg=J(6-2)+(4-lf=5

四、函数的单调性的求法

1、定义法。

2、导数法。

3、图像法。

4、定理法(复合函数的单调性同增异减)

5、性质法:

①若f(x)>、g(X)/则f(x)+g(x)7;

②若千(x),、g(x)\则f(x)+g(x)\：

③若f(x)\、g(x)入则f(x)-g(x)\;

④若f(x)7、g(x)\则f(x)-g(x)K：

⑤若两个正值函数f(X)、g(x)在公共区间上同增(减)，则f(X)-g(X)在公共区

间上是增(减)函数。

⑥若两个负值函数f(X)、g(x)在公共区间上同增(减)，则f(X)-g(X)在公共区

间上是减(增)函数。

⑦奇函数在对称区间上有相同的单调性。

⑧偶函数在对称区间上有相反的单调性。

⑨互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

6、y=x+—,k>0的增区间为(YO,-4］和)减区间为

f,0)和(0,伺

7、设Xi、X26(a,b〕，则

"止"叽00f(x)在以上是增函数。

N一天

.%)一)(左)<(J。j(”在句上是减困数。

X—电

五、函数的奇偶性

1、奇偶函数的定义及图像特征

①若f(X)的定义域关于原点对称且f(-X)=f(x)则函数f(X)为偶函数,

若f(-X)=-f(X)则函数(X)为奇函数。

②奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

2、奇偶函数的性质

①若f(x)为奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0.

②若f(x)为偶函数，«'Jf(x)=f(Ix|),反之亦然。

③在定义域的公共部分

两奇函数的积或商为偶函数。

两偶函数的积或商为偶函数。

两偶函数的和或差为偶函数。

两奇函数的和或差为专函数。

一寄一偶函数的积或商为夺函数。

④对于函数千(x),令h：x)=^[/(A)+/(-x)]

g(x)=g[/(x)-/(f)]则h(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)=h(x)+g(x)。这

说明任意一个函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和。

3、奇偶性的判断方法

①定义法：

②图像法：

③性质法：

④若干(x)=0且定义域关于原点对称，则f(x)即是奇函数又是偶函数。

4、基本初等函数的奇偶怛

①y=kx+b(k=#0)是奇函数的充要条件是b=0.

②y=ax2+bx+c(aWO)是偶函数的充要条件是b=0.

③y=ax(a>0且a*I)是非奇非偶函数。

④y=log/(«>0且a/1)是非奇非偶函数。

⑤y=x+—(k>0)是奇函数。

⑥y=sinx为奇函数、y=cosx为偶函数、y=tanx为奇函数。

六、函数的周期性

1、如果存在一个非零常数T,使得对于函数y=f(x)定义域,内的每一个x都有f(x+T)=f(x)

成立，则函数y二f(x)叫做周期房数，T叫做函数y二f(x)的一个周期。nT(nGZ)都是函

数的周期。

2、若函数y二f(x)满足fCx+a)=-f(x),其中(a>0)2函数y=f(x)得周期为2a。

证明：由f(x+a)=-f(x)可得-f(x+a)=f(x)«

令x=x+a代入原式有f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x)

.*.f(x+2a)=f(x)

3、若函数厅f(x)满足f:x+a)=-7力，则周期为2a。

4、若函数y二f(x)满足f:x+a)=-L-,则周期为2a。

f(x)

5、若函数v=f(x)满足f:x+a)=f(x-a),则周期为2a。

6、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)时，若f(x)为奇函数，则周期为4a、若f(x)为

偶函数，则周期为2a。

7、若/(x+a)=44把对任意的x£R恒成立，其中(a>0)则

/W-1

f(x)是以2a为周期的周期函数。

8、若〃x+a)=44二1对任意的x£R恒成立，其中(a>0)则

/(-')+I

f(x)是以4a为周期的周期函数。

9、若〃<+")=匕4?对任意的XWR恒成立，其中(a>0)则

f(x)是以4a为周期的周期函数。

10、若〃*+〃)=匕4"对任意的xGR恒成立，其中(a>0)则

1+/(-')

f(x)是以2a为周期的周期函数。

11、若f(x)同时关于x二a与x=b对称(a<b),则f(x)是周期函数，2(b-a)是f(x)的

一个周期。

证明：*/f(x)的对称轴为x=a及x=b

/.f(x)=f(2a-x)>f(x)=f(2b-x)、

即f(2a-x)=f(2b-x)

令x=2a-x代入上式可得：

f(2a-(2a-x)]-f(2b-(2a-x))

/.f(x)=f[2(b-a)+x).*.2(b-a)为函数f(x)的一个周期.

12、若f(x)关于x=a及点(b,c)对称，则函数f(x)的周期为4(b-a).

证明：由f(x)关于x=a对称可得

f(x)=f(2a-x)

设点(x,y)在f(x)上

Vf(x)关于点(b,c)对称

・,•点(x,y)关于点(b,c)的对称点为(2b-x,2c-y)

/.f(x)关于点(b,c)对称的函数为f(2b-x)=2c-y

又・・・f(x)=y

Af(x)+f(2b-x)=2c

又・・・f(x);f(2a-x)

/.f(2a-x)+f(2b-x)=2c

令x=2a-x代入上式可得

f[2a-(2a-x)]+f[2b-(2a-x)]=2c

Af(x)=2c-f(2b-2a+x)(J)

令x=2b-2a+x代入①式可得

f(2b-2a+x)=2c-f(4b-4a+x)②

②代人①可得f(x)=f[4(b-a)+x]

・,.4(b-a)为函数f(x)的一个周期。

13、若f(x)关于点(a,0)及点(b,0)同时对称，则f(x)以2|b-aI为周期.

证明：由f(2a-x)=f(2b-x)得f(x)=f[2(b-a)+x]

14、证明函数F(x)=f(ax+b)(a>0)是以f为最小正周期的周期函数的充要条件是f(x)是以T

为最小正周期的周期函数.

证明：设工为函数f(ax+b)的最小正周期，则

a

设ax+b=t则x二效代入原式得f(t)=F(劲)即f(x)=F(—)

aaa

Af(x)=f(x+T)即T为f(x)的周期.

设T为f(x)的最小正周期.则

f(x+T)=f(x)令x=ax+b则

f(ax+b+T)=f(ax+b)=F(x)①

f(ax+b+T)=f[a(x+-)+b]=F(x+工)②

aa

由上两式可得F(x+1)=F(x)即F(x)是以工为周期。

aa

15、设E(x)与f?(x)定义在公共集合上且分别以L/T2为周期.

—=-(p.q为互质止整数)则九(x).t2(x);ti(x)±t2(x):

T2P

(f?(x)HO)均是以pL为周期的函数.

f2(x)

证明：由n=9得LpEq

T2P

令T=Tip=Lq(T为「与Tz得公倍数)则

fi(x+T)±f2(x+T)=fi(x+Tip)±f2(x+T2q)=fi(x)±f2(x：<

・,.PL为"(X)士f2(X)的周期。

同理得其它两式的周期也为pTi

七、函数的对称性

1、定义在R上的函数f(x),若f(2a-x)=f(x),则对称轴为x=a

2、定义在R上的函数千(x),若f(a+x)=f(a-x),则对称轴为x=a

3、定义在R上的函数千(x),若f(a+x)=f(b-x),则对称轴为x="=a+b

22

4、定义在R上的函数fG),则函数y=(a+x)与y=(b-x)的图像关于x=?对称

5、定义在R上的函数f(x),则函数f(x-m)与f(m-x)(m〉0)的图像关于直线x=m对称.

6、定义在R上的函数f(x),若f(2a-x)=-f(x),则图像关于点(a,0)对称

7、若f(a+x)是偶函数，则f(a+x)=f(a-x)«f(x)=f(2a-x).

<=>f(x)关于x=a对称

8、若f(a+x)是奇函数，则f(a-x)=-f(a+x)of(x)关于点(b,0)成中心对称.

(注:若f(a+x)=-f(b-x)则f(x)关于点(竺20)成中心对称.)

2

八、二次函数

1、二次函数的解析式

①一般式:y=ax'+bx+c;(a*0)

②顶点式：y=a(x-h)，k；(a#=0)

③两根式：y=a(x-xj(x-X2);(a手0)

2、二次函数在闭区间上必存在最大值与最小值且最值点在闭区间的左右端点及顶点三处取

得.

3、二次方程ax^+bx+cS)。)根的分布

A>0

①方程有两个均小于常数k的不等实根的充要条件是-上4

2a

f(k)>0

A>0

②方程有两个均大于常数k的不等实根的充要条件是-上乂

2a

f(k)>0

③方程有一个小于常数k和另一个大于常数k的不等实根的充要条件是f(k)(O

A>0

_b_

@方程有位于区间("k2)内的两个不等实根的充要条，牛是

f(k,)>0

f(k,)>0

f(k；)>0

⑤方程有两个不等实根xi<x2且ki<Xl<k2<x2<k3的充要条件是卜卜)<0

g)>0

A=U

⑥在(k1,kJ内有且只有一个实根的充要条件f(kJ•f(k2)〈。或Jb

k1<---<k、

⑦二次函数在某区间上的最值的求法特别是含参数的两类“轴动区间定”和“轴定区间动”

的解法要抓住“三点一轴”数型结合.三点指区间两端点和区间中点，一轴指对称轴.

九、幕函数图像及性质

形如y=x'(a£R)的函数叫做寐函数。

由常函数的图像可得：

原函数的借质随着a的变化而变化，定义域、值域、单调出、奇偶性都在随着a的不同而

不同。

当a>0时，图像都过点（0,0）在区间（0,+8）上为增函数；当a<0时，图像都过（1,1）

点，在区间（0,+8）上为减函数；

十、指数函数图象及性质

形如y=a，（a>0且aH1）函数叫做指数函数.

解析式y=a'(a>1)y=ax(0<a<1)

y/\y▲

图7

一

VT八

r

像

定义域(-8,+OO)(-8,+OO)

值域(0,+8)(0,+8)

单调性单调递增单调递减

奇偶性非奇非偶函教

图像间

在y轴右侧底大图高在y轴右侧底大图高

关系

十一、对数函数图像及性质

形如y=log：（a>0且a/1）的函数叫做对数函数.

解析式y=log/(a>1)y=logZ(0<a<1)

yy

图i卜

——(AX

像

定义域(0,+8)(0,+8)

值域(-OO,+OO)(-8,+OO)

单调性单调递增单调递减

奇偶性非奇非偶函数

图像间

在X轴上方底大图底在X轴下方底大图低

关系

十二，指数与对数公式

n

an€/V*)an=—(a>O./w,neN')

（当n为奇数时）=a

a(a>0)；(Va)n=a

（当n为偶数时）

-a(a<0)

le,,b25

a"=Nob=log/logj-0log/=110gttilog；=I:a=b;lg+lg=1

11

m，m<NNIb*I

loga=nlogalog；=log/Moga

log/=log广-log/

w

log/=.!^.,loga^=-log；,lg2Ho.3010,lg5*0.6990,lnN>lgN,Ig3»0.4771

log：〃

域

值

(-co,-2>/ab](j[2>/ab>+8)R

域

奇

偶奇函数

性

递

增)(-8,0),