圆锥曲线七大斜率模型（学生版）-2026届高考数学二轮复习

第20节圆锥曲线七大斜率模型

（要点提炼:

1、圆锥曲线第三定义

2、中点弦与点差法

3、四点共圆充要条件

4、极点极线斜率等差

5、蝴蝶定义与斜率之商

6、手电筒模型

角度转化

一、知识点梳理

1.圆锥曲线第三定义

平面内动点到两定点4（-。，0），2（。，0）（或4（0,-。），&（0,a”的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹

为椭圆成双曲线.其中两定点为椭圆或双曲线的顶点.当0＜/＜］时为椭圆，当时为双曲线.具体

地，分为以下结论:

（1）48为椭圆0:£+5=1（。＞8＞0）的长轴两端点，P是椭圆上异于A8的任一点，则有

（2）A,8为双曲线0：捺一£=1（。＞0）＞0）的实轴（或虚轴）两端点，尸是椭圆上异于48的任一

L2

点，则有攵4%=/—1=会.（同理可得）

一般地，上述结论还可以进一步推广:

⑶己知人5是椭圆5+5=］（八°,〃＞。）上关于原点对称的两个点'点〃在椭圆上.当即PB

b2

斜率存在时，则有秒=/-1

，A,8是关于原点对称的两点，P是双曲线上异于4B的

一点、,若与%,即坐存在,则有：kpA•kpB=e"—1=~r•

a'

2.点差法

X'v"

设直线j=kx+m与椭圆r+4T=1（。>〃>0）相交于点AB两点，其中设点A（玉，M）,B（x2,y2）t

a"lr

由干A8两点均在椭圆上，代入椭圆的方程可得：

，工+善=1①，目+自=1②，①-②得：匚近+三口=0,进一步，

a"〃ab-a"Z?

2_22_?2_,2r2

则4;/=_K，即（止匹）（2_/）=--则女"勺加二一一-（其中M为A,B中点，。

a~b~A1-x2xl+x2aa~

为原点）.

类似的，若MO。,小）为双曲线92=1弦力8G4B不平行y轴）的中点，则心口.岫河=捺="一>

3.四点共圆充要条件

若两条直线4:y-），o=k.（x-/Xi=1,2）与二次曲线「:o?十勿2+仃+dy+e=0（。工份有四个交点,

则这四个交点共圆的充要条件是人+自=0.

4.极点极线斜率等差

若4。,民。四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点尸，所形成的的四条射线，PA.PC,

PB,PO称为调和线束.对于一组调和线束，本节给出其斜率之间所满足的基本关系，并进一步用此结

论去解决一些与极点极线有关的斜率恒等式.

结论:如图1.若调和线束OC,0B,。。的方程为/,:），=攵/+i=l,2,3,4.

化一43>（%2-&）__1

那么（〃2，乩）=

伏2-々3），（占一左）

5.蝴蝶定义与斜率之商

结论1：A、8分别为椭圆E:「+与的左、右顶点，丁为X轴上一定点。,0）,过“直线交椭

crb~

圆于C,。两点，连接AC,30,那么^:二巴］.

证明：过了作PQ_Lx轴，交椭圆于P,Q交ACBO于M,N,由椭圆对称性可知：

TP=TQ：进而据蝴蝶定理可知：TM=TN,于是可得：

MT

kAC_tanZ.MAT_AT_BT_a_1

麻―tanZNBT~~~AT~^+7,

BT

结论2.设抛物线C:y2=2PMp>0）的弦A3过定点M（〃?,0）（〃?>0）,过点M作非水平线/交C于RQ

两点，若直线AP与x轴交于定点（〃,0）,直线AR8Q的斜率V公存在且非零，则3=竺

k2n

6.手电筒模型

点尸（与,加）

椭IKI双曲线抛物线

式线PAJB

的斜率为占\M_

与k.M：

2

%+网=0kAB2°AttJ3年r切kAH=--=-k^]

ay0，NoNo

k\+k1=A,

(60)

丫2yo2bX。

Hiv。-6J"AM制+争)

则有过定

点

力〃过定点

23-匹

尢k2=\-e%-争一%:

X(X。I

k、•k]—九

Aa2+b1-b~-Aa2(Aa2-b2h2-Aa2}

2

(2*l-e)而2-/X。，：_iJ'。)

1Aah

112*0,则1

(凌晨讲数学)

有过定点

7.角度转化与等角定理

222

椭圆：已知椭圆£+左=1（。>6>0）,点加（\,0）（0<|〃2卜。），设不与x轴垂直的直线/与椭圆相交

于A、B两点,则直线/过定点尸（机,0）的充要条件是x轴是NAMB的角平分线.双曲，抛物线中类似可

得.

二、题型归类

1.圆锥曲线第三定义

例I.(2022年全国甲卷)椭圆。:鸟+工=13＞匕＞0)的左顶点为A,点P,Q均在C上，且关于y轴对

a-b~

称.若直线的斜率之积为!，则C的离心率为()

4

A6R&D1

2223

【变式练习】

【变式1](2019全国2卷)已知点4—2,0),8(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为

-；.记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交。于只。两点，点尸在第•象限，PE_Lx轴，垂足为E,连接QE并延长交

。于点G.

(i)证明：-PQG是直角三角形;

(ii)求aPQG面积的最大值.

2.中点弦与点差法

例2.(2023年全国乙卷)设A,B为双曲线》2一卷=|上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是

()

A.(1,1)B.(-L2)C.(1,3)D.(-1)

【变式练习】

【变式2】已知椭圆/+齐=1(。＞力＞0),点尸(。力)为椭圆外一点，斜率为的直线与椭圆交于A,B两

点，过点尸作直线PA,即分别交椭圆于C,。两点.当直线C。的斜率为-g时，此椭圆的离心率

为.

3.四点共圆与斜率和为零

例3.（2024年新高考2卷）已知双曲线。：*一丁二〃7（〃00）,点田5,4）在。上，攵为常数，

0<k<\.按照如下方式依次构造点心（〃=2,3,...）,过Ki作斜座为左的直线与C的左支交于点2,t，令匕

为。,“关于y轴的对称点，记pn的坐标为（・力”）.

（1）若k=L求私必；

2

（2）证明：数列卜”-）才是公比为号的等比数列；

（3）设S”为>匕为M.2的面积,证明:对任意的正整数〃，5'=Se

【变式练习】

【变式3】（2021新高考1卷）在平面直角坐标系xoy中，已知点片（一/万,0）,入（JF7,0）,且动点M满

足：\MFl\-\MF2\=2f点M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点了在直线x=T上，过了的两条直线分别交。于A5两点和P,。两点，且满足

\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直线A8与直线尸。的斜率之和.

4.极点极线斜率等差

例4.(2024年甲卷解析几何)设椭圆。：=+与=1(。>〃>0)的右焦点为尸，点知1,-在C上，且

a-b-I2,

轴.

(1)求。的方程；

(2)过点P(4,0)的直线交。于A3两点，N为线段用的中点，直线N3交直线板于点Q.证明:

40JL)，轴.

【变式练习】

,2

广）厂1

---+-------1

【变式4】（江西高考）已知椭圆方程为43.设p是直线x=4上任意一点，AB是经过椭圆右焦点F

的一条弦.记直线以，PF,P4的斜率依次为kl,k2,k3.问：是否存在常数九，使得kl+k3=2、k2.若存在，

求人的值；若不存在，说明理由.

5.蝴蝶定义与斜率之商

例5.（2020年全国一卷）己知4、4分别为椭圆民［+）3=］（〃＞］）的左、右顶点，G为E的上顶

点，AGG3=8,，为直线x=6上的动点，以与£的另一交点为C,P3与E的另一交点为

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CO过定点.

【变式练习】

【变式5】（2022甲卷）设抛物线C:y2=2pM〃>0）的焦点为尸，点。（p,0）,过尸的直线交C于例，

N两点.当直线V。垂直于x轴时，阿耳=3.

（1）求C的方程；

（2）设直线MRND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,A6的倾斜角分别为当。一夕

取得最大值时，求直线A8的方程.

6.手电筒模型

例6.(2022新高考1卷).已知点421)在双曲线C：毛一_=1(«>1)±,直线/交C于0，Q两点,直

a-a--\

线ARAQ的斜率之和为0.

(1)求/的斜率；

(2)若tanNFAQ=20,求△PAQ的面枳.

【变式练习】

三+氐=1(。>/?>0)的离心率为乎，且过点A(2,1).

【变式6】(2020新高考1卷)已知椭圆C

(1)求。的方程：

⑵点M,N在C上,且4W_LAN,AD1MN,。为垂足.证明：存在定点。，使得为定

值.

7.角度转化与等角定理

2

例11.（2018年全国I卷理科）.设椭圆C:5+），2=l的右焦点为尸，过户的直线/与。交于两点,

点时的坐标为（2,0）.

（1）当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，讦明：/OMA=/OMR.

【变式练习】

---J—=1/、

【变式7］已知椭圆0：43,斜率存在且不为零的直线/与椭圆C相交于P,°两点，点M的坐标

为（8°）,若直线“匕MQ的倾斜角互补，求证：直线/过定点.

【过关检测】

1.已知双曲线C：^2-^2=l（fl＞0,比＞0）,过原点。的直线交。于A,8两点（点4在右支上），双曲线右支

上一点P（异于点8）满足或加=0,直线南交x轴于点D,若乙4£＞。=乙4。。，则双曲线。的离心率为（）

ASB.2C.5D.3

22

2.（2024•江苏南京•高二南京市秦淮中学校考期末）已知斜率为k的直线/与椭圆C:三+上=1交于A,8两

43

点，线段AB的中点为M（I,M点7A0）,那么一的取值范围是（)

,11,1D.k<--,或Q'

A.k<——B.——<k<-C.k>—

222222

3.已知椭圆E：二+二=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点

ab~

在椭圆E上.

2)

(I)求椭圆E的方程；

(II)设不过原点。且斜率为'的直线1与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直

2

线0M与椭圆E交于CD,证明:|MA|-|MB|=|MC||MD|.

fC——-yy=1(^>a>0)

4.(23-24高二上.广东深圳.期末)在平面直角坐标系xQ)'中，前点尸在双曲线「匕的一

在

条渐近线上，已知C的焦距为4,且户为0的一个焦点，当归目最小时，,小产的面