数学物理方法复习提纲总结

复变函数论复变函数：若在复数平面上存在一个点集E，对于E中的每一点z，按照一定的规律，有一个或多个复数值wE点集E叫作函数的定义域

f(z)，令：wf(z)uiv，并将zxiy代入，则有：zxiy

w

f(z)u(x,y)iv(x,y)初等复变函数：

wf(z)uiv指数函数：ezexiyexeiyex(cosyisiny)三角函数：

sinz

1eizeiz2i

tanzsinzz

zzsinz因为sin(zzcos(zz，所以zz具有实周期zz为无界函数。z2)z2z2si1z

)si

coz

co

siz2

si2zco2z1双曲线函数：sz1ezez，2

z1ezez2

shz对数函数：

wuivLnzlnziArgz

eLnzelnzeiArgz

（为复常数）一般指数函数：zezLn

ezlneziArg

（为复常数）复变函数的导数：w

f(z)是在区域E上定义的单值函数，对于E上的某点z，如

f(zz)f(z)存在，则称函数w

f(z)在点z处可导，此极限叫作z0z0 函数w

f(z)在点z处的导数，表示为:

f(zz)f(z)df(z)

f(z)z0z0 复变函数可导的充要条件：wf(z)u(xyiv(xy可导的充要条件是偏导数第1页 共18页u(x,y)，u(x,y)，v(x,y)，v(x,y)存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即：x y x yu(x,y)v(x,y)，u(x,y)v(x,y)解析函数(f(zz0f(z)z0f(zEf(zEf(zE内的一个解析函数。注：f(z)在某点z0解析在该点可导该点连续该点有极限区域解析性质。解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数.设给定二元调和函数u(x,yf(z)u-黎曼条件可求出相应的虚部，进而确定这个解析函数。设二元函数v(x,y)的全微分式为：dvvdxvdy考虑柯西-黎曼条件可得：dvudxudyv(x,y)的三种计算方法：

凑全微分显式法：把dvdxdy凑成全微分的显式，求出v(xy。不定积分法

例题.已知解析函数f(z)的实部u(x,y)x2y2，求虚部和这个解析函数容易验证u(x,y)x2

y

为调和函数：

2u(x,y)x2

2u(x,y)y2

220由柯西-黎曼条件可得：v(x,y)u(x,y)2y

v(x,y)u(x,y)2x所以有：dvvdxvdy2ydx2xdy曲线积分法：第2页 共18页图1取如图1所示的积分路径，可求出积分(x,0)v2ydx2xdy(0,0)

(x,y)22xdyC(x,0)

(x,y)22xdyC2xyC(x,0)其中C为积分常数。dvdxdy22xdyd(2xy)所以有;

v2xyC

v(x,y)2x，v(x,y)2y把x视为参数，v(x,y)2x对y积分可得：v2xdy(x)2xy(x)y对v2xy(x)求偏导数

v2y(x)x与v(xy)2y向比较可得：(x0(x)Cx所以由v2xdy(x)2xy(xv2xyC所以有：f(z)u(x,y)iv(x,y)(x2y2)i(2xyC)z2iCx

zz2

zzy 代入上式求出2i复变函数积分:复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分：lf(z)zlu(,y)v(,y(xy)lu(,y)xv(,y)yilv(,y)xu(,y)若曲线l由参数方程xx(t)，yy(t)，t1tt2给出则有dzdxidyz(t)dtx(t)dtiy(t)dt，可得积分的计算公式第3页 共18页f(z)zu(x,y)v(x,y(xy)t2[xt,yt][xt,ytzt)l l t2{u[x(t),y(t)]iv[x(t),y(t)]}[x(t)iy(t)]dtt1t2[xt,yt]xt)[xt,yt]yttit2[xt,yt]xt)[xt,yt]yt高阶导数公式f(zEElEE内的任zf(z可以求导任意多次，第n阶导数可表示为：f(n)(z)n!

f) dilz)n1上式可看作在柯西公式f(z)1f)dzn次导，其中等式右边在积分号内对f()z关于z求n次导。

lz幂级数：

cnn0

(zz0

)nc

(z

)cn

(zz0

)n0其中：系数cn和固定点z0都是复常数，z是一个复变量0幂级数收敛半径的比值判别法（达朗贝尔判别法：

cn R幂级数收敛半径的根式判别法（柯西判别法：

ncn1nRlimnnn

c1奇点法：幂级数中心z0到最近奇点的距离即为收敛圆的半径R收敛圆：zz0Rf(zEz0EE内的n圆C:zz0n

R中，f(z)可以展开为泰勒级数：f(z)n0

cn(zz0

)n 1n0

f(n)(z

)(zz0)0Rz0E将函数展开为泰勒级数的方法0直接计算系数

1f(n)(z

：例题.

0为中心，将f(z)ez展开为泰勒级数。第4页 共18页nf(z)ezf(n)(z)ezcn

1f(n)(z

0)1ezn!

zz00n!n01z z2 zn znn01

1z

2!

换元法：例题.并指出其收敛半径.

0

1为中心将函数f(z)z1展开成Taylor级数，z11 n1解：利用级数 1n0

，z1来展开f(z)以z0为中心，则有：f(z)z1z121 2 1以

(z)n,

z10 z

z

1(z)

n0f(z)的奇点是z1，从中心z00到z1的距离为1，所以收敛半径R1。在收敛圆内逐项求导法(求积分法)例题.以z0

0f(z)

1z)2

展开为Taylor级数1 n1解：已知 1n0

，z1，等式左边对z求导，右边对z逐项求导可得：(1) 1

nzn1

(n1)zn，z11z

z)2

n1

n0nf(zn

z

R2内解析，则f(z)可在环形区域内任一点zf(z)cn

(zz0)其中展开系数为：

c1

f) dn il

)n1积分路径l为环形区域内绕z0的任一简单闭合曲线。f1(z)cn0

(zz0

2)n称为展开式的正则部分，f2

1 1n1

(zz0

)n称为主要部分。罗朗级数f(z)cn罗朗级数展开方法举例ez

(zz0

)n

zz0

内绝对且一致收敛例题.将函数f(z)z2在以z00为中心的环形区域0

z内展开为罗朗级数。第5页 共18页ez 1

zn

zn2解：f(z)z2

z2n!n!n0

n0

ez znn2在上式中令n2l，再把l写成n可得：f(z)n2z2

(n2)!例题.已知函数f(z)

1z21

1为中心将函数f(z)展开成罗朗级数解：已知f(z) 1z21

1 1 1 12z1 2z1上式中的第二项1

有一个奇点z1，所以在z

1为圆心的圆周z12内，2z11 1

01 1 1 1

1 nz1n可以展开为泰勒级数： 2z1 2z12

1

z1)2

(1)( )42n0421 1 1 1 1 1 1 n 1 nn2f(z)n2

z21

2z1

2z1

2z1

(1)2n02

(z

，0

z12孤立奇点：f(zzz0不可导(或无定义)z0z0外处处可zz0f(z的一个孤立奇点。孤立奇点的分类及其判定可去奇点：zz0

f(z)存在，则称z0为f(z)的可去奇点。极点.0零点：f(zf(z)(zz)m(z)0其中m为正整数，(z)在点z0点解析，且(z0)0，那么z0为f(z)的m阶零点。零点判定定理：如果函数f(z)在z0点解析，那么z0为f(z)的m阶零点f(z0)

f(z)f(m1)(z)0,

f(m)(z)00 0例如：z1为f(z)z30 0极点：如果函数f(z)在其孤立奇点z0邻域内的罗朗级数中的主要部分为有限项f(z)

0c(zz0

)n

cm

c(m1)

c1

cc(zz)0 00 0nnm

0 (zz)m

(zz0

)m1

(zz0)n c(zz)nn zf(z的mf(z)

P(z)

，其中00 (zz)m0第6页 共18页P(z)cm

(zz0

)c1(z

)m1c

(zz0

)m0对于P(z)，有P(z0)0且为z0邻域内的解析函数0本性奇点：f(zz0邻域内的罗朗级数中的主要部分有无限项留数概念(Residue)：z0f(zf(z在环形区域010n形区域内，f(z)可展开成罗朗级数10n

z

R内解析，则在此环f(z)

cnn

(z

)nc

(z

)nc

(zz0

)1c

(z

)1c

(zz0

)nnnnf(z)cnzz0)nn

的(zz0)

项的系数c 1 f(z)dz叫作函数f(z)在z点 1的留数（或残数，记作e[f(zz0]1留数定理：设函数f(z)在简单闭合曲线C所围区域E内除有限个孤立奇点z1,z2,zn外处nnE1,z2,znCf(z)zie[f(zzk]k1其中沿曲线C的积分方向为逆时针方向。留数的计算(1)若z0为f(z)的可去奇点，z0为中心的罗朗级数中不含负幂次项，则：Res[f(z),z0]0z0f(zf(zz0lim[(zz0f(z)]zz0若函数f(z)可以表示为f(z)P(z)的特殊形式，其中函数P(z)和Q(z)都在z点解析，点z为Q(z（Q(z

Q(z))0P(z

0)0，点z必为f(z)P(z)的一阶极点，则有0Ref(z

0]lim[(zz

0)f(z)]lim[

0P(z)

Q(z)]P(z0)0 zz0

zz0

Q(z)Q(z)

Q(z) 0zz0z0f(z的mf(z在环形区域0

z

0R内的罗朗级数展开式f(z)

cm

mm

c1

cc(z00

)(zz0)

(z

)m1

(zz0)0可容易得到计算f(z)在点z0的留数的公式：0第7页 共18页f(z),z0]c1

1

m1d m1[(zzd

f(z)](m1)!zz0z0f(z的本性奇点，求留数采用罗朗级数展开法或直接计算围道积分。S(x)ck

ikxl，

ck

1

f(x)e

il

dx，k

2ll对于复数形式的傅里叶级数，尽管f(x)是实变函数，但其傅立叶系数ck却可能是复数。ikxl容易证明：在区间[l,l]上的函数系{el:k0,1,2,}有如下性质：lkxl i

imx

kxlllill

i

0 kmle

l(e

)xe

ldx2l

km函数：如果一个函数在x(,)上满足下列条件：(1)

(x

),,

xx0xx0(2)

b(xx0a0

)dx0,

(a都x0)1，（ax0b)这样的函数(xx0)称为函数。函数等价的泛函定义：若对于任意一个定义在(,)上的连续函数f(x)总有：f(x0)(xx0)f(x)数理方程分离变量法解题的一般步骤代入试探解u(x,t)X(x)T(t)，将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化 为常分方程的定解问题。依据齐次边界条件，确定本征值nXn(x。求解关于T(t的常微分方程的通解(t，把得到的通解与本征函数相乘得到本征解un(x,t)Xn(x)Tn(t)，这时本征解un(x,t)中还包含着任意常数。利用叠加原理，求出定解问题的解u(x,t)un(x,t)。n1应用本征函数的正交性以及初始条件确定任意常数。第8页 共18页例题：求细杆的导热问题，杆长为l，两端保持为摄氏零度，初始温度分布为：ut0

x(lx)。l2解：本题的定解问题为：

ut

22uax2

(0xl,t0)u(x,t)x00,

u(x,t)xl

(t0) u(x,t)

t

x(lx),l2

(0xl)应用分离变量法，设u(x,t)X(x)T(t)，代入到泛定方程和边界条件可得：X(x)X(x)0①X(0)X(l)0② T(t)a2T(t)0①式的本征值n

(n)2l()2

(nXn

sinnxl②式的解为：(t)Bne l()2t n则本题的本征解为un(x,t)Xn(x)Tn(t)Cne 其中待定常数CnAnBn。

xl本题的解u(x,t)表示为本征解un(x,t)的线性叠加： (n)2t nu(,t)un(,t)Cne l sn xn1 n1 lx(lx) n代入初始条件可得：

u(x,0)l2

Cnsin xln1l

2lx(lx)sinnxdx

C2k20 8

(k0,1,2,)Cn l0 l2 C

2k1

3(2k1)3所以问题的解为：u(x,t) 8

sin

(2k

(2k1)22a2l2 tk03(2kl用本征函数展开法求解非齐次方程齐次边界条件和零初始条件（齐次定解条件）下的非齐次方程的定解问题第9页 共18页例．设有如下定解问题t2

Vax2 V

f(x,t)

(0xl,t0) Vt

x

VVttVt

0,

(t0)(0xl)则用本征函数展开法求解的步骤如下：第一步.求解相应齐次边界条件的齐次方程的本征解t2

2V ax

(0xl,t0) V

x0V

xl0

(t0)由分离变量法（参考例1）可得本征解系X n

(x)sinnx,l

(n1,2,)第二步.设非齐次方程的本征解为Vn

(x,t)Tn

(t)Xn

(t)

(t)sinnx，非齐次方程的解可l表示为本征解的线性叠加：V(,t)n1

(,t)n1

(t)sinnxl n第三步.把非齐次方程中的自由项用本征解系x l

(n1,2,)展开f(x,t)

f(t)sinnxn lfn

(t)由本征解sinnx的正交性求出如下lf(t)2lf(x,t)sinnxdxn l0

l

nl第四步.把非齐次方程的解V(,t)nt)snln1

xf(xt)fn(tn1

x代入到定解l问题中的泛定方程可得：nt2n

ax

f(x,t)Tt)snx

a2(n)2

t)snx

f(t)sinnxnnnn1

l n1 l

l n1 l第10页 共18页考虑到本征解sinnx的正交性，由上式可得：lT(t)a2(n)2T(t)f(t)n l n n nl同理，把非齐次方程的解V(,t)nt)snln1

x代入到初始条件可得：V V

0T

()snxT()snx0nnt0 t0

nn1

l n1 lTn(0)Tn(0)0则可得关于Tn(t)的定解问题：

2n2nT(t)a(n

)Tn(t)

fn(t) n()()0上式可由拉普拉斯变换来求解，所得的解如下：T(t)f(t)

t l tf)(t)dn n l 0n l n第五步.把nt)代入V(,t)n(,t)nt)snl

x得到非齐次方程的定解问题的解n1为：

n1V(,t)[l

tf()sinan(t)d]sinnxn1

0n l l由上面的推导可知解满足泛定方程，齐次边界条件和零初始条件。对于齐次边界条件和非零初始条件的非齐次方程的定解问题的求解，可由叠加定理化为齐次边界条件和非零初始条件的齐次方程，以及齐次边界条件和零初始条件的非齐次方程的定解问题的线性叠加。例．已知如下的齐次边界条件和非零初始条件的非齐次方程的定解问题t2

a x

f(x,t)

(0xl,t0)U x0U

xl0

(t0)Ut0

(x),

t

(x),

(0xl)令U(x,t)V(x,t)W(x,t)，由叠加定理可得如下两个关于V(x,t)和W(x,t)的定解问题：第11页 共18页t2

Vax2 V

f(x,t)

(0xl,t0) Vt

x

VVttVt

0,

(t0)(0xl) t2

2W a x2

(0xl,t0)W x0WWWt

xl0

(t0)t0(x),

t0(x),

(0xl)关于V(x,t)和W(x,t)的定解问题的线性叠加即为原来的定解问题。它们的求解可用前面介绍的特征函数展开法以及分离变量法求解。二阶线性常微分方程的标准形式为：d2y(x)dx2

p(x)

dy(x)dx

q(x)y(x)0例如：勒让德方程：

x2

d2dx2

2x

n(n1)0d2 2x dn(ndx2 1x2dx x2) 0x2y(x)xy(x)(x2n2)y(x)0例如：贝塞尔方程：

y(x)1x

y(x)

x2n2x2

y(x)0y(x，p(x和q(x在某个区间[abz平面上进行。不失一般性，我们讨论复变函数w(z)的二阶线性常微分方程d2w(z)dz2

p(z)

dw(z)dz

q(z)w(z)0

(1)w(z0)C0w(z0)下的级数解，其中C0C1为任意给定的复常数。施图姆－刘维尔(SL)本征值问题施图姆－刘维尔(SL)型方程：形式为

dp(xdyq(xy(xy0,(axb的二阶常dx 微分方程称为施图姆－刘维尔(SL)p(x(x为分离变量过程中引入的参数。第12页 共18页ya(xyb(xyc(xy0eax)dx就可以化成施图姆－刘维尔(SL)型方程：d[ea(x)dxy][b(x)ea(x)dx]y[c(x)ea(x)dx]y0dx施图姆－刘维尔(SL)本征值问题：在一定的边界条件下，求解施图姆－刘维尔(SL)型方程的值(本征值)以及相应的非零解(本征函数)。如：在施图姆－刘维尔(SL)方程中：(1)p(x)1x2，q(x)0，(x)，两边界点a1，b和y(1)为有限值，则可构成如下的勒让德方程本征值问题dddx

x2

dy]y0x2dx

d2dx2

2xdx

y0(2)p(x1x2

自然边界条件：y(1)有限，y(1)有限m2mq(x) (x)1，两边界点a1b1，以及自然边界条件1x2y(1)和y(1)为有限值，则可构成如下的连带勒让德方程本征值问题dddx

x2

dy]dx

m21x

yy0x2

d2dx2

2xdx

(

m21x

)y0 y(yn2(3)取p(x)x，q(x) ，(x)x，两边界点a0，bR，以及边界条件y(0)有限，xy(R)0，则可构成如下的贝塞尔方程本征值问题d[dx

dy]n2dx x2

y0

d2dx2

n2x

yxy0 y(y(R)0如果方程(1)p(z和q(zz0z0为方程(1)的常点。方程常点邻域内的级数解：定理：p(z和q(zzz0

R内是单值解析的，则方程(1)在这圆内存在唯一的解析解w(z满足初始条件w(z0)C0w(z0)，其中C0C1为任意给定的复常数。既然方程(1)z0z

R内存在唯一的解析解w(z

w(z)可表示为此邻域第13页 共18页(z)an0

(zz0

)n,

(zz0

R)其中系数a0,a1,a2,待定。例如：勒让德方程

d2dx2

2x1x2

dydx

n(n1x2

y0p(x)

2x1x

，p(x)n(n1)，则x0为其常点，根据常点邻域内级数解的定理，1x2x0y(x)ak0

xk。勒让德(Legendre)方程的导出勒让德方程来源于在球坐标系下用分离变量法求解偏微分方程。图8-1如图8-1为球坐标系的示意图，球坐标与直角坐标的关系为：xrsincos

yrsisi

zrcos三维拉普拉斯方程在球坐标系下的表达式为：2u01

(r

2)

(sin

)

2u0r2r

r2sin

r222应用分离变量法求解，令u(r,,)R(r)()()，代入方程可得：1d(r2dR

)R 1 d(sind)R

d20r2dr r2

r2sind

r2sin2

d2用

乘以上式可得：第14页 共18页1d(r

2dR)

1d(sin

d)

1d20Rdr

r sin

d sin2d21d(r2Rdr r

) 1 1d(sinsind

d) 1 1d2d sin2d22等式左端只与r有关，右端只与，有关，要使等式成立只有左右两端都等于一个常数，令这一常数为n(n1)，则可得：① 1

(r2

)n(n

2d2R

2r

n(n1)R0Rdr dr2 1 1d(sin

d) 1 1d2

n(nsind②sind

d sin2dd2

1d2

(sin

)n(nd

d2其中①式为欧拉型方程，令ret，参考第七章例4可得其通解解为：R(r)ArnAr(n1)1 2d 2 d 1②式中等式左端只与有关，右端只与有关，由周期性条件(2)(d 2 d 12 2 m m0

d2

d2

)

B2sinmsind(sind)n(n1)sin2m22③ d d2 1 d(sind)[n(n m 0sind d sin2上式③称为n阶连带勒让德方程。xcosx1，令)y(x，则可得：ddydx

sindyd dxd 1 d(sind)

d(sin2dy)dx

d[(1x2)dy]sin

d sin

dxd dx 则③式的n阶连带勒让德方程可化为：d[(1x2)dx

dy][n(ndx

m21x2

]y0第15页 共18页亦即：

x2

d2dx2

2xdx

[n(n

m21x2

]y0n其值为有限的解是连带勒让德多项式Pm(x)。n当m0时，在这种条件下u(r,,)与无关，则n阶连带勒让德方程可进一步简化为勒让德方程：(1x2)

d2dx2

2xdx

n(n1)y0总结：球坐标系中三维拉普拉斯方程的解为：u(r,,)R(r)()()m0nm n(An,mnm0nm

rnB

n,m

r(n1))Pm(cos)cosm(Cnm0nmn

n,m

rnD

n,m

r(n1))Pm(cos)sinm勒让德方程和自然边界条件构成的本征值问题在球坐标系中分离变量已得勒让德方程：x2

d2dx2

2xdx

n(ny0

d2dx2

2x1x2

dydx

n(n1x2

y0x勒让德多项式的微分表示（罗德里格斯公式：1 dn 2 n(x)2ndxn(x1)勒让德多项式为勒让德方程x2

d2dx2

2xdx

n(n0满足自然边界条件，即在两端点x1处为有限值的本征解。（拉普拉斯积分1 dn 2

n 1 1 (z21)nPn(x)2nn!dxn(x

1)

i2nC(zx)n1 其中Czzx勒让德多项式的母函数（生成函数）公式：12xzz12xzz2nn