2025-2026学年高二数学上学期期末试卷【测试范围：湘教版选择性必修第一册】（全解全析）

高二数学上学期期末试卷（湘教版

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：湘教版2019选择性必修第一册。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

I.已知直线,经过O'2）和（2』）两点，贝”的倾斜角为（）

3兀71乃3兀

A.——B.一一C.-D.—

4444

1.【答案】D

1-2

【解析】直线/的斜率为—=-1，

2-1

设/的倾斜角为&。£【0,兀），则匕n*-l,解得，二才.

故选：D

2.如图，某设备内部从。到6的电路包含三个元件4B,C,现该设备从。到b的电路工作不正常（断

路），那么该设备三个元件4B,。的工作状态（通路/断路）共有〃种不同情况，则〃为（）

A.4B.5C.6D.7

2.【答案】B

【解析】元件力不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有2x2种，

元件力正常，当且仅当元件伉。都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种,

所以〃=1+4=5.

故选：B

2\=/>0），顶点到渐近线的龙离为

3.已知双曲线。：二则离心率©=（）

cr

A.V2B.也C.V2D.2

3

3.【答案】A

［解析】双曲线的顶点（±凡0）到渐近线bx±ay=0的距离、为|,

\ab\c_______、

即/,；=7，又c7a°+//，则/一2。分+82=0，即

加+Zr2

则离心率6=J1+耳=JI.

故选：A.

4.设等比数列｛%｝的前〃项的和为s“，%=6,4q+%=24,则邑二（)

A.-9B.14C.21D.26

4.【答案】C

【解析】设等比数列何｝的公比为9（夕力0），因为g=6,4q十%=24,

qq=6

则【44+荷=24'解得―

3x(l-23)

—----^=21

1-2

故选：C.

5.若（X-当）6展开式中常数项为60.则常数a的值为（）

A.4B.2C.8D.6

5.【答案】A

【解析】。一坐旷展开式的通项为：加二=C；-（-l）r-^-x6-3r.

取r=2得到常数项为=60,解得。=4.

故选：A.

6.已知直线/：、+砂一。-1=0,awR与圆C:(x—2『+/=4交于A,8两点，则长的最小值为

()

A.72B.2C.272D.4

6.【答案】C

【解析1由圆C:(X-2)2+/=4.可得圆心C(2,0)、半径为厂=2,

直线/:工+④-。-1=0过定点要使弦长最小，只有弦心距最大，

弦心距的最大值为|CD\=^(2-1)2+12=V2，

所以弦的的最小值为254-(衣『=272.

故选：C.

7.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A,8,C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去

一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方

法种数为()

A.72B.96C.114D.124

7【答案】C

【解析】将5名志愿者分为1,2,2,且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，

C2c2

则不同的安排方法有C；逐2A；+C；C；A；=72和L

A?

将5名志愿者分为1,1,3,且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，

则不同的安排方法有A；=42种.

故不同的安排方法共有72+42=114种.

故选：C.

8.已知椭圆C：工+上_=1(帆＞4)的右焦点为尸，点力(-2,2)为椭圆。内一点.若椭圆。上存在一

mm-4

点尸,使得归国+|尸尸|=8,则〃?的取值范围为()

A.[6+275,25]B.(6+2V5,25]c.(9,25]D.[9,25]

8.【答案】B

【解析】设椭圆。的左焦点为耳，

因/=机一4,则。2=/一/）2=4，

则椭圆。的左焦点片（2,0）,右焦点尸（2,0）,

由椭圆的定义可知，|尸片|+|尸耳=2后,

则|4|+|尸尸|=|产力|一|尸制+2而=8,

因俨4|一归周归|阳|=2,所以-2«归/卜|尸耳归2,等号成立时P,4片三点共线,

因椭圆C上存在一点尸，使得|PZ|+|尸产|=8,

所以一2W8-2诟<2，得94W025,

因点4（—2,2）为椭圆C内一点，则巴+」!—<1,〃?>4,得利>6+26，

m"?一4

故机的取值范围为（6+2退,251

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得（）分.

9.已知〃Z,〃£N,且〃之加22,则下列等式一定正确的是（）

A.C；O25=。歌B.A；o=C；oA；

C.A：+A；T=A%D.〃CW=mC；：

9.【答案】ABD

【解析】对于选项A：由C：=C；r，得C；o*=C瞅；，故A正确；

对于选项B：由C：=瑞，得A：=C；A：：,则A：°=C：°A；,故R正确；

A,”

对于选项C：例如〃?=〃=2,则A；+A；=4,A；=6,即A：+A：TWAM，故C错误;

〃・（〃一]）!〃।

对于选项D：因为"C：二;=1而7\7=tn-71=〃?C；，

所以〃C：；=6C：,故D正确；

故选：ABD.

10.设S”是等差数列｛〃”｝的前〃项和，若S|5<。，—<-L则（）

%

A.J<0B.中最小值为|/|

C.当S”取得最大值时，〃=7D.使S〃〉0成立的最大整数〃为15

1（）.【答案】ABC

【解析】对于A,由品=15（4；%）=]5%<0,可得为<0,

又因为生<一1,可得a；…即3+4>0，所以外>Q,

。8

所以4=%一处<0,所以A正确；

对于B,因为的+6>0,且纭<0,所以的>0且同>同，所以B1E确：

对于C,在等差数列｛%｝中，由%>0且仆<0,

则当1«〃47,〃€?4"时，可得。“>0：当〃之8,〃wN*时，可得。”<0,

所以当5〃取得最大值时，〃=7,所以C正确；

对于D,由S4=1%%；-4）=7（%+%）〉0,A515<0,

所以使得S.>0成立的最大整数〃为14,所以D错误.

故选：ABC.

11.已知抛物线〃：>2=23(与圆/：(X—61+(y-4『=64相交于力，8两点,线段

AB恰为圆M的直径，且直线过抛物线形的焦点/，动直线/过点尸且与抛物线交于CQ两点，

则以下结论正确的是()

A.〃=4B.|CF|+9|Z)F|>36

C.△CFA/的周长可以为14D.当％co「=3S△“•时，|CD|二12

11.【答案】AC

【解析】对于A,如图，

分别过4民用作抛物线准线的垂线，垂足分别为4，B「

由于圆的直径AB过焦点F,则M(6,4)到准线的距离为

|“阂=附+网」M+网"眄=8.

X|MM,|=6+^,所以6+^=8,解得夕=4,故A正确；

对于B,设直线C。的方程为'=/町，+2,C(X1,yJ,。伍,％),

\x=my+2,

乂抛物线%:y2=8%,由12：，可得y2——16=0,

LT=8x

则乂+必=8〃7，乂乂=-16,

—+20>2L—+20=32

|Cb|+910H=内+2+9（々+2）=*

XV芭

（当且仅当玉=6时等号成立），故B错误:

对于C,由"（6,4）,尸（2,0）,所以|股周二4,2,设△CEW的周长为/,

如图：

过点。向抛物线准线作垂线，垂足为G，

则/=|C尸+||根|+|。〃|=4虚+|6|+|。,=40+|℃|+|。叫之40+|四||=471+8,

周长的最小值为4拒+8<14，故C正确:

对于D,如图:

因为》^=3=^^=二三|，所以西=3々+4，

S△女|。/|%+2

2

又因为X/2=4,则（3%+4）工2=4,解得/=］或一2（舍），

232

所以X1=6,K|j|CP|=xl+x2+p=6+y+4=y,故D错误.

故选：AC

第二部分（非选择题共92分）

三,填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线《Xf+G（）歹，若，［/〃2，则。的值为_________

12.【答案】；

【解析】当〃-2=0或4=0时两自线不平行.

当。一2Ho且。工0时，

因为4/〃2,

,1-a11

所以一=-----*—=>a=—,

3a-22a2

故答案为：—

2

2

13.设宜线八G+勿+1=。与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对（。力）可以

是•

13.【答案】（1,2）（答案不唯-）

【解析［若。=0,贝心:勿+1=0,此时/与x轴平行，故与双曲线C：L—/二i有两个公共点，不符;

4

若b=0,则/:t?x+l=0,此时/与不轴垂直，故需x==±2,即。=士;，故实数对（g,。）或（-g,0

符合；

若。力工0,当一，=±_L,即62一4々2=0时，宜线/与双曲线。的渐近线平行，

b2

乂此时直线/不过原点，故直线/与双曲线。必有唯一公共点，符合要求，

此时，例如实数（1,2）满足条件；

ax+hy+\=0

当62—4/工0时，联立,

----y"=1

4

消去X可得92—4Q2）/+2"―4Q2+］=0,

则需A=（2.2+4仅2_4叫（4/-1）=0.化简得a2（从-4a2+1）=0.

则b2-4/+1=0,则有y2-2by+Z>2=0»则y=力，则x=-4。，

由4/r/+lzi，故同则忖=4同之2,

故直线/与双曲线。必有唯一公共点仇一4。），

枚满足从一4/+1=0且20的实数对符合要求；

又。=±（,6=0时满足/一4/+1=0，

故可得实数对（。力）只需满足人—4/+1=0或〃一4a2=（）即可.

故答案为:（1,2）.（答案不唯一）

14.已知数列｛q｝满足6=2,%=3a,i+2（〃N2,〃€N）令”=也二，数列也｝的前〃项和为

[,若对任意〃wN"，（7；-2）-（一1）"+/121恒成立，则实数4的取值范围为.

14.【答案】*+8）

【解析】因为/=3al+2,所以4+1=3*_]+3,

所以用+1=3（凡_[+1），即一■~=3,

见T十1

乂当〃=1时，。]+1=3,

故数列｛4+1｝是以3为首项3为公比的等比数列，

1“,2//+1

%+1=3,/.b=-----.

n"n3"

_3572〃-12〃+1

•口二§+铲+京+…+-^r+^-,

3572n-\2〃+1

-T=-+-rH--T+…H-----1-^―

33233343"3n+1

二两式相减得2T;=3+2+W+…+2一”二斗二士一安，

3〃332j3〃3〃+313"’33"

1—

3

.'.7；,=2--^,

“3"

对任意刀eN"，亿一2）・（一1丫十/121恒成立，则/121一（7；—2）・（-1）"=1+甯'（一1『,

〃+2

当n为偶数，则4N1+年恒成立，

〃+3

令加=。>0,则如二至;=单+，匕。，

〃3"c“£+23（n+2）9

丁

〃+2，〃+2、2+2

所以。〃=一厂是关于〃的减函数，得〒4一丁，

J1D/maxD

所以丸之1+.13

~9

当n为奇数，则421-竺2,

3,

因为。〃=苫2是关于〃的减函数，得0<与2

<1

所以二-联是关于〃的增函数，得0>-*2—1,

JJ

所以421.

综上可得兄之

13]

故答案为:

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步鳏。

15.（13分）

已知等差数列｛凡｝的前〃项和为S”，公差d不为0必,生，。5成等比数列，S$=25.

（1）求数列｛凡｝的通项公式;

（2）记"=」一,〃cN'，数列｛'｝的前〃项和为（,，证明：Tn<\.

anan^\2

15.（13分）

5a+—d=25q+2d=5

【解析】（1）依题意得，,2，且dwO.化简得

d2=2a.d

（q++4d）

解得r•.•4=21；

m=2,

111

(2)b.=⑵一…+3,2向),

则。=与-；）+罟一卜+*一；）+・・后（仁一/）

」(」+，」+…+-^---L-)=l1111

-----<一

23352//-12〃+12(2n+\)2

16.（15分）已知（2x—g）的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6.

（1）求〃的值；

（2）求展开式中二项式系数最大的项；

/y“

।2n

（3）若2x——I=+a}x4-a2x+•••+atlx>求％-q+%+…+（-D”。〃的值•

16.（15分）

【解析】（1）（2x-J）展开式的通项公式为（2x）”-［一=（-1丫2…€：""-2"

2"飞：_("2)(〃_3)_7

因为第5项与第3项的系数之比为7:6,所以

2n-2C；~48-6

即〃2-5〃-50=0，解之得，=10或〃=-5（舍），所以〃=10.

（2）因为〃=10,所以展开式中二项式系数最大的项为7；=C：°

(3)由〃=10,令x=-1,所以旬—q+%+…+(―1)-q+生+…+go=1•

17.（15分）己知4（5,—1）,3（1,1）,C（2,3）三点

（1）求△N8C外接圆方程：

（2）若过点尸（3,2）的直线/与中心在原点，过B,C两点的双曲线。相交于M,N两点，4能否是线段

MN的中点？请说明理由？

（3）S,7是双曲线。上的两个动点，且直线8S,8T的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值.

17.（15分）

【解析】（1）设圆方程为f+产+6+切+产=0（02+。一4尸>0）,

1+1+Z)+E+F=0

<25+l+5Z)-E+F=0,

4+9+2。+3£+尸=0

求出。=-7,E=-2,尸=7,

所以所求圆方程为f+V—7x—2y+7=0；

（2）不能.

设双曲线D方程为mx~+ny2=1（〃?〃<0）,

8

w=

m+n=\7o3

，所以双曲线方程为三/一三/=1,

4"?+9n=r

n=—

5

若存在，由题易知直线斜率存在，设历«,乂）,汉（丫2，必），且天工与，

因为M、N在双曲线上，

[8232.

-X]—M=1

所以:，两式相减可得8（x；—玉2）—3（j；一》"=（）.

假一乳』

所以83-x,）（x+与）-3（必-%）（必+%）=0,

若点A为线段MN的中点，

M+/二5

2x.+=10

则〈，即<r，代入上式,

必+刈二-2

2

所以40（七一占）=一3（乂一丁2），则直线I的斜率%==_与

7AT]_X??

340

又由题知点P在直线/上，月.£仍=一5。一~—

所以不存在符合题意直线1,

综上，点A不是线段MN的中点

（3）设503，必）,7。4，乂），直线BS方程为y=（（xT）+l

y=kx+\-k

则《

8X2-3/=5

所以（8-342）--6%（1-攵）工一3（1-％）2-5=0,

-6k?+6k

所以当+1二

8-3A?

-3〃~+6k-8

件z=l占=--------：——

8-3公

-3k2-6k-S

同理工4二

8-3公

/一3二+6〃一8-3二一6〃一8）〜

所以与7=丛』=乂上±止冬18-3/8-3/J—32k8

22

-3k+6Ar-8-3k-6Ar^8"12k3

8—3-8-3公

18.（17分）

已知数列｛%｝,S”是数列｛凡｝的前〃项和，已知对于任意〃EN"都有S”=2-（,数列也｝是等差

数列，b、=%,"=4.

（1）求｛%｝与｛〃｝的通项公式;

（2）数列［（-1）"，%｝的前〃项和求7；及7；的最小值和最大值;

-%+2〃为奇数In

求Zq.

。向为偶数z=i

18.（17分）

[解析】（1）由S“=2—61"、则S-]=2—,

故—S“=（2—q向）-（2一4）=%—%+「即乙川=1

当〃=1时，S]=a}=2-a],则q=l,

xn-1

1

故数列｛。〃｝是以1为首项，；为公比的等比数列，故。〃二

=1»故"=7?：

22

当"为偶数时，Tn=-.眼〃的增大而增大,

2

当〃为奇数时，T=-1+>1

n(g)t随〃的增大而减小，

2（1Y231

故当〃=2时，（有最小值心=11--=-><-=-.

223

当〃=1时，7；有最大值(=]1+=—X—=

32

为奇数

（3）

，〃为偶数

贝I。2K+。2卜1

=、]（4--4-+4〃-1）=（软一1）（；）,

叼£。，=£（。21+。2人）=3・：+74+...+（4〃_1）.3,

r=lA=l444

12/>||]

如W=q=3.不+7・不+…+（4"-1）・外,

2〃4B13⑵+131

财'=.4〃+U

312I3J9-

f=i=W

19.（17分）

已知椭圆E£+£=l（a>b>0）的离心率为日,

长轴长为4,直线/与x轴，V轴分别交于点M