高中物理人教版必修二课堂讲义：曲线运动

1.1曲线运动

1.1.1曲线运动

第1课时曲线运动

学习目标核心提炼

1.知道什么是曲线运动。1个条件——物体

2.会确定曲线运动的位移和速度的方向，知道曲线运动是变做曲线运动的条件

速运动。1种方法----运动

3.经历蜡块运动的探究过程，体会研究曲线运动的方法——的合成与分解

运动的合成与分解。2个概念——曲线

4.知道物体做曲线运动的条件。运动的位移、速度

一、曲线运动的位移

1.坐标系的选择：研究物体在同一平面内做曲线运动时，应选择平面直角坐标系。

2.位移的描述：物体运动到某点时，其位移可用它在坐标轴方向的分矢量来表示,

而分矢量可用该点的坐近表示。

思维拓展

如图1所示，

水平抛出的物体在空中运动时轨迹为曲线。

(1)不同时间内的位移方向是否相同？

(2)如何描述物体的位移？

(3)物体在曲线运动中的位移大小和路程有什么关系？

答案(1)不相同。出于物体的轨迹是曲线，不同时间的位移方向发生变化。

⑵从抛出点到该点的有向线段0A,用/表示。由于位移矢量是不断变化的，可

以建立平面直角坐标系，用它在坐标轴方向上的分矢量来代表，即用A点的坐

标心、以表示两个分位移矢量，则位移大小/=弋4+凡

(3)曲线运动中的位移大小总是小于路程。

二、曲线运动的速度

1.速度方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。

2.运动性质：曲线运动是变速运动。

3.速度的描述：速度是矢量，可以用的互垂直的两个方向的分矢量(分速度)表示。

思维拓展

(1)如图2所示，

图2

砂轮上打磨下来的炽热微粒沿什么方向飞出？如何确定物体在某一点的速度方

向？

(2)为什么曲线运动一定是变速运动？

答案(1)从图2可以看出，从砂轮上打磨下来的炽热微粒沿脱落点的切线方向

飞出，所以物体在某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向。

⑵由于曲线运动的速度方向时刻在变化，不论其速度大小是否变化，其速度一

定变化，因此曲线运动一定是变速运动。

三、运动描述的实例

1.装置：在一端封闭、长约1m的玻璃管内注满清水，水中放一个用红蜡做成的

小圆柱体R,将玻璃管口用橡胶塞塞紧。

2.实聆过程

⑴将这个玻璃管倒置(加图3),可以看到蜡块上升的速度大小不变，即蜡块做匀

速直线运动。

图3

⑵再次将玻璃管上下颠倒，在蜡块上升的同时将玻璃管水平向右匀速移动,观

察蜡块的运动情况。

(3)以蜡块开始运动的位置为原点0,水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x

轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图4所示。

①蜡块的位移：

蜡块沿水平方向向右匀速运动：x=v^t；蜡块沿竖直方向向上匀速运动：y=Py/o

②蜡块的速度。=\/加的混,

tan。=小Vx

③蜡块运动的轨迹方程

Vx

思维拓展

在上述培块运动的实例中，若破隔管水平向右移动速度增大，蜡块上升到管顶的

时间会变短吗？

答案不会，水平速度和竖直速度彼此是独立的，水平速度增大时，竖直速度是

不变的，故上升到管顶的时间不变。

四、物体做曲线运动的条件

1.动力学角度：当物体所受合力的方向与它的速度方向丕在同二时，物体

做曲线运动。

2.运动学角度：物体的加速度方向与它的速度方向不在同一条直线上时,物体做

曲线运动。

思维拓展

如图5所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相

切，让钢球从圆弧形滑轨滚下以获得一定的初速度。为便于观察，在离开滑就处

沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线。

图5

试根据上述实验讨论：

（1）将条形磁铁沿直线放置（图甲），当钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动。

钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？

⑵将条形磁铁放在钢城运动路线的旁边（国乙），钢球从滑轨滚下时，观察钢球做

什么运动。钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？

答案（1）钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向相同。

要点D曲线运动的性质

［要点归纳］

1.曲线运动的速度方向：曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线

方向。

2.曲线运动是变速运动：由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速

度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定

是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化。

3.运动的五种类型

轨迹特点加速度特点运动性质

加速度为零匀速直线运动

直线加速度不变匀变速直线运动

加速度变化变加速直线运动

加速度不变匀变速曲线运动

曲线

加速度变化变加速曲线运动

［精典示例］

［例1］关于运动的性质，以下说法中正确的是（）

A.曲线运动一定是变速运动

B.变速运动一定是曲线运动

C.曲线运动一定是变加速运动

D.加速度不变的运动一定是直线运动

解析物体做曲线运动时速度方向时刻变化，所以曲线运动一定是变速运动，A

正确；变速运动可能是速度的方向在变化，也可能是速度的大小在变化，所以变

速运动不一定是曲线运动，B错误；曲线运动可能是变加速曲线运动，也可能是

匀变速曲线运动，C错误；加速度不变的运动可能是匀变速直线运动，也可能是

匀变速曲线运动，D错误。

答案A

方法总结|

曲线运动性质的两种判断方法

（1）看物体的合力：若物体的合力为恒力，则它做匀变速曲线运动；若物体的合

力为变力，则它做变加速曲线运动。

（2）看物体的加速度：若物体的加速度不变，则它做匀变速曲线运动；若物体的

加速度变化，则它做变加速曲线运动。

［针对训练1］（多选）关于曲线运动的速度，下列说法正确的是（）

A.速度的大小与方向都在时刻变化

B.速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化

C.速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化

D.质点在某一点的速度方向就是轨迹上该点的切线方向

解析做曲线运动的物体，速度的大小可以不发生变化，但速度的方向一定会发

生变化，故A、B错误，C正确；质点在某一点的速度方向就是轨迹上该点的切

线方向，D正确。

答案CD

要点2曲线运动的动力学特点

［要点归纳1

1.物体做曲线运动的条件

(1)动力学条件：合力与速度方向不共线是物体做曲线运动的充要条件，这包含

三个方面的内容：

①速度不为零；

②合力不为零；

③合力与速度方向不共线。

(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线。

2.物体的运动与合力的关系

(1)合力与运动轨迹的关系：物体运动时其轨迹总偏向合力所指的一侧，或者说

合力总指向运动轨迹的凹侧。

(2)合力与速率变化的关系：

分类速度与合力间的夹角〃运动的性质力的作用效果

直线0=()。加速直线运动只改变速度的大小，不改变

运动0=180。减速直线运动速度的方向

0°<^<90°加速曲线运动既改变速度的大小，乂改变

曲线90°<^<180°减速曲线运动速度的方向

运动速度大小不变的只改变速度的方向，不改变

0=90。

曲线运动速度的大小

［精典示例］

［例2］质点沿如图所示的轨迹从A点运动到3点，已知其速度逐渐减小，图中能

正确表示质点在C点处受力的是()

思路探究

(1)物体做曲线运动时，合力总指向运动轨迹的凶刎。

(2)合力方向与速度方向夹角为针逋时，物体做速率越来越小的曲线运动。

解析根据曲线运动中合力尸应指向轨迹的“凹侧”，可排除A、D项；在B

项中，产的方向与。的方向成锐角，质点从A到B加速，故B错；在C项中，F

的方向与。的方向成钝角，质点从A到8减速，故C正确。

答案C

方法总结|

确定曲线运动轨迹的方法

(1)做曲线运动的物体，运动方向不断改变，其轨迹处在运动方向与合力方向构

成的夹角之间，且偏向合力所指的一侧。

(2)若物体在恒力作用下做曲线运动，物体的运动轨迹越来越接近力的方向，但

不会与力的方向相同。

［针对训练2］(多选)在光滑水平面上有一质量为2kg的物体，受儿个共点力作用

做匀速直线运动。现突然将与速度反方向的2N的力水平旋转90。，则关于物体

运动情况的叙述正确的是()

A.物体做速度大小不变的曲线运动

B.物体做加速度为&m/s?的匀变速曲线运动

C.物体做速度越来越大的曲线运动

D.物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大

解析物体原来所受合力为零，当将与速度反方向的2N的力水.

平旋转9()。后，其受力如图所示，其中吊=6=2N,尸是凡、

£、’的合力，即尸=2啦N,且大小、方向都不变，是恒力，那么o国~>

物体的加速度为m/s2=y/2m/s?恒定。又因为尸与。夹角0V9()。，

所以物体做速度越来越大、加速度恒为也mH的匀变速曲线运动，故正确答案

是B、C两项。

答案BC

要点3J运动的合成与分解

［要点归纳］

1.概念：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，

参与的几个运动就是分运动。已知分运动求合运动，叫运动的合成；己知合运动

求分运动，叫运动的分解。

2.运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是位移、速度、加速度的合

成与分解，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则。

3.合运动与分运动的关系

等效性各分运动的共同效果与合运动的效果相同

等时性各分运动与合运动同时发生，同时结束，经历的时间相同

独立性各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响

同体性各分运动与合运动是同一物体的运动

［精典示例］

［例3］现在自然灾害日益严重，在救灾过程中有时不得不出动军用直升机为被困

灾民空投物资。直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开飞

机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5m/s。若飞机停

留在离地面10()m高处空投物资，由于水平风的作用，使降落伞和物资获得1m/s

的水平向东的速度。求：

⑴物资在空中运动的时间；

(2)物资落地时速度的大小；

(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离。

思路探究(1)有风的时候，哪个是物资的合运动，哪个是物资的分运动？

(2)水平方向有风和无风时，物资竖直方向的运动是否相同？为什么？

提示(1)物资实际的运动是合运动。分运动是水平方向的匀速直线运动和竖直

方向的匀速直线运动。

(2)相同。因为分运动是独立的，所以水平方向有风和无风时，物资在竖直方向

的运动相同。

解析如图所示，物资的实际运动可以看做是竖直方向的匀速直线p-~~

运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动。\：

(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向|

分运动的时间相等。‘

上Wh100”

所以，一~—qs—20So

UyJ

(2)物资落地时

vy=5m/s,Vx=1m/s,

由平行四边形定则得

欣+.=\12+52m/s=-\/26m/So

(3)物资水平方向的位移大小为

x=Vxt=1X20m=20mo

答案(1)20s(2)^26m/s(3)20m

方法总结I

(1)物资在有风和无风两种情况下下落时，竖直方向的运动规律不变，即各分运

动之间彼此独立，互不影响。

(2)物资落地时的速度指合速度。

［针对训练3］某研究性学习小组进行了如下实验：如图6所示，在一端封闭的光

滑细玻璃管中注满清水，水中放一，个红蜡做成的小圆柱体R(R视为质点)。将玻

璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与轴重合，在R从坐标原点以速度uo

=3cm/s匀速上浮的同时玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。

(1)同学们测出某时刻R的坐标为(4,6),此时R的速度大小为cm/s,R的

2

加速度大小为cin/s0

(2)R在上升过程中运动轨迹的示意图是_____o

解析(1)小圆柱体R在)，轴竖直方向做匀速运动，

有y=vot

则有t=vo=3s=2s,

在x轴水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，

.1o&〃/曰2x2X4??

有X=］Q广，解得：a=~p=22cm/s-=2cm/s2,

则此时R的速度大小：

v=Cat)2=^/32+42cm/s=5cm/s。

(2)因合力沿x轴，由合力指向曲线弯曲的内侧来判断轨迹示意图是D。

答案(1)52(2)D

1.(对曲线运动的理解)下列几种说法正确的是()

A.物体受到变力作用，一定做曲线运动

B.物体受到恒力作用，一定做直线运动

C.物体所受的合力方向与速度方向有夹角时，一定做曲线运动

D.如果合力方向与速度方向在同一直线上，则物体的速度方向不改变，只是速率

发生变化

解析物体受到变力作用时，若合力方向与速度方向共线，则物体做直线运动，

A错误；物体受到恒力作用时，若合力方向与速度方向有夹角，则物体做曲线运

动，B错误，C正确；如果合力方向与速度方向相反，则物体的速度成为零后反

向加速运动，D错误。

答案C

2.（对曲线运动条件的理解）质点在某一平面内沿曲线由P运动到Q,如果用

户分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合力。则下列选项中可能正

确的是（）

解析质点做曲线运动时，速度方向是曲线上这一点的切线方向，选项A错误；

质点所受合力和加速度的方向指向运动轨迹的凹测，选项R、C错误，只有选项

D正确。

答案D

3.（对曲线运动条件的理解）如图7所示，在一张白纸上放置一根直尺，沿直尺的

边缘放置•块直角三角板。将三角板沿刻度尺水平向右匀速运动，同时将-支铅

笔从三角板直角边的最下端向上运动，而且向上的速度越来越大，则铅笔在纸上

留下的轨迹可能是（）

解析笔尖参与了向右的匀速直线运动和向上的加速直线运动，加速度方向向

上，合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，笔尖做曲线运动，加速

度的方向指向轨迹的凹侧。故C正确，A、B、D错误。

答案C

4.（运动的合成与分解）2016年8月云南曲靖市水上飞机观光旅游基地将正式开

放，届时游客可以在波光粼粼的水面上自由翱翔。假如水上飞机表演时，飞机的

航线要严格地从东到西，如果飞机的飞行速度（即飞机不受风力影响下的自由飞

行速度）是80km/h,风从南面吹来，风的速度为40km/h,问：

（1）飞机应朝哪个方向飞行？

⑵如果飞行区域长达4gkm,则飞行所需的时间是多少？

解析（1）如图所示，由合速度与分速度的关系可得飞机飞行速度方向与正西方

向的夹角0的正弦值sin。=詈=第*研是风速，办是飞机的飞行速度），得0

V2oUL

=30。，故飞机应朝西偏南30。方向飞行。

（2）飞机的合速度

p=U2COS30°=40\/3km/ho

所需时间，=（=木2h=0.1ho

答案（1）朝西偏南30c方向飞行

（2）0.1h

基础过关

1.在弯道上高速行驶的赛车后轮突然脱离赛车，关于脱离了赛车的后轮的运动情

况，以下说法正确的是（）

A.仍然沿着汽车行驶的弯道运动

B.沿着与弯道垂直的方向飞出

C沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道

D.上述情况都有可能

解析曲线上某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向，所以脱离了赛车的

后轮将沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动而离开弯道，故C正确。

答案c

2.若已知物体运动的初速度内的方向及它受到的恒定的合外力尸的方向，图中〃、

/?、c、d表示物体运动的轨迹，其中正确的是（）

解析合外力/与初速度。。不共线，物体一定做曲线运动，C错误；物体的运

动轨迹向合外力尸方向偏转，且介于产与。o的方向之间，A、D错误，B正确。

答案B

3.（多选）在地面上观察下列物体的运动，其中物体做曲线运动的是（）

A.正在竖直下落的雨滴突然遭遇一阵北风

B.向东运动的质点受到一个向西的力的作用

C.河水匀速流动，正在河里匀加速驶向对岸的汽艇

D.在以速度。前进的列车尾部，以相对列车的速度。水平向后抛出的小球

答案AC

4.（多选）质点在三个恒力四、/2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去Fl,

保持其他力不变，则质点（）

A.一定做匀变速运动

B.一定做直线运动

U一定做非匀变速运动

D.可能做曲线运动

解析质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运

动。由题意可知，当突然撤去R时，质点受到的合力大小等于Q的大小，方向

与Q相反，故选项A正确，选项C错误；在撤云B之前，质点保持平衡状态，

有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去人后，质点做匀变速直线运动；

二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去~后，若原来”的方向和速度方向在

同一条直线上，撤去回后，质点将做直线运动。若原来R的方向和速度方向不

在同一条直线上，撤去Fi后，质点做曲线运动，故选项B错误，选项D正确。

答案AD

5.（多选）如图1所示，一个质点沿轨道A3CO运列，图中画出了质点在各处的速

度。和质点所受合力厂的方向，其中可能正确的是（）

图1

A.A位置B.BB.5位置

C.C位置D.D位置

解析做曲线运动的物体所受合力尸WO,A错误；合力产的方向指向曲线轨迹

的凹侧，速度沿切线方向，B、D正确，C错误。

答案BD

6.（多选）一物体在x。），直角坐标平面内运动的轨迹如图2所示，其中初速度方向

沿虚线方向，下列判断正确的是（）

图2

A.物体可能受沿x轴正方向的恒力作用

B.物体可能受沿），轴负方向的恒力作用

C.物体可能受沿虚线方向的恒力作用

D.物体不可能受恒力作用

解析根据物体做曲线运动的条件可知A、B两项都正确。

答案AB

7.（多选）如图3甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其。一,图象如

图3乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x-t图象如图3丙所示。若以地

面为参考系，下列说法正确的是（）

图3

A.猴子的运动轨迹为直线

B.猴子在2s内做匀变速曲线运动

C.r=（）时猴子的速度大小为8m/s

D.猴子在2s内的加速度大小为4m/s2

解析猴子在竖直方向做初速度为8m/s、加速度大小为4m次的匀减速直线运

动，水平方向做速度为4m/s的匀速直线运动，其合运动为曲线运动，故猴子在

2s内做匀变速曲线运动，A错误，B正确；/=0时猴子的速度大小为耳不

m/s=44m/s,C错误；猴子在2s内的加速度大小为4m/s2,D正确。

答案BD

能力提升

8.（多选）一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的X方向和y方向上的分

运动速度随时间变化的规律如图4所示。关于物体的运动，下列说法正确的是

()

A.物体做曲线运动

B.物体做直线运动

C.物体运动的初速度大小为50m/s

D.物体运动的初速度大小为10m/s

解析由。一，图象可以看出，物体在x方向上做匀速直线运动，在)，方向上做

匀变速直线运动，故物体做曲线运动，选项A正确，B错误；物体的初速度大

小为io=43()2+4()2m/s=50m/s,选项C正确，D错误。

答案AC

9.如图5所示，一雨滴正以5m/s的速度倾斜下落，汽车以3m/s的速度水平匀

速前进，坐在汽车里面的人看到雨滴竖直下落，求雨滴下落方向与竖直方向夹角

的正切值？

图5

解析雨滴对地的速度为。=5m/s,雨滴同时参与了水平和竖直方

向上的两个分运动，根据题意知水平分速度与汽车速度相同，P.V

=s=3m/s,所以雨滴速度与竖直方向的夹角。正切值tan0=—=

“_3

yjv2-Vx4。

答案!

10.天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行驶，同时天车上的起吊电动机吊着

货物正在匀速上升，则地面上的人观察到货物运动的轨迹是图()

解析我们站在地面上观察，货物既沿水平方向做匀速运动，又沿竖直方向做匀

速运动，货物水平位移大小为x=。/，竖直位移大小)，=0",轨迹满足方程)=获

x,故轨迹是倾斜直线，C选项正确。

答案C

11.如图6所示，帆板在海面上以速度。朝正西方向运动，帆船以速度。朝正北

方向航行，以帆板为参照物()

图6

A.帆船朝正东方向航行，速度大小为普

B.帆船朝正西方向航行，速度大小为。

C.帆船朝南偏东45。方向航行，速度大小为go

D.帆船朝北偏东45。方向航行，速度大小为pv

解析以帆板为参照物，帆船在东西方向以速度0