寒假第二周《因式分解》综合题优化练习-2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年八年级数学上册新人教版寒假第二周《因式分解》

综合题优化练习

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列囚式分解正确的是（）

A.

B.o1-2ab+ab~=a（a-h）2

C.a2-2ab-3b2=（a-b）（a+3b）

D.ab~-4ab+4a=a（b-2\

2.将〃也+，汕+〃?c因式分解的结果是（）

A.niabcB.m（a+b+c）C.Ma+b）+mcD.abc

3.下列何者为多项式5x（5x-2）-4（5x-2）2的因式分解（）

A.（5x-2）（25x-8）B.（5x-2）（5x-4）C.（5.r-2）（-15x+8）D.（5x-2）（-2O.r+4）

4.若〃?为任意整数，则（2"?+6『-36的值总能（）

A.被3整除B.被4整除C.被5整除D.被6整除

5.整式4=B=下列结论：①A,8的公因式为x；②A,8的公因式为.”1.判

断正确的是（）

A.①正确，②不正确B.①不正确，②正确

C.①@都正确D.①@都不正确

6.已知“一力二〃-c=2,/+/+/=1,则aZ?+Z;c+ac=（）

A.-22B.-11C.7D.11

7.多项式4,P+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可

以是①一2,②±4x,③—3f,④4犬4中的（）

A.②B.®@C.②®D.①②③④

8.若/+（2/-1）曲+4〃是完全平方式，则实数f的值为（）

A.-B.』或-之C.5D.4

222

9.定义：如果一个正整数能表示成两个正整数〃?，〃的平方差，那么称这个正整数为“智慧

数”.例如16=5、3?,16就是一个“智慧数”，可以利用加2一“2=（加+初加一。进行研究下

列结论:①所有的正奇数都是“智慧数”;②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；

③被4除余2的正整数都不是“智慧数”.其中正确的结论有（）个.

A.0个B.I个C.2个D.3个

10.已知是VA3c的三边长，贝1」（/+〃一°2）2一4/从的取值为（）

A.大于0B.等于0C.小于0D.非负数

二、填空题

11.因式分解：（J一〃=.

12.已知V—y2=8,x—）,=6,则2x+2y的值为.

13.如图，某市有一块面积为（3/-2〃-。平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空

地上修建一个长（。+1）米、宽（。-1）米的矩形花坛（其中。＞1,其余四周全部修建成健身休

闲区，，，邑分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则H邑（填

14.设a、b、c、d为正整数，且/=户,c3=j,c—。=17,则〃一力等于.

15.已知VABC的三边长a,b,c，都是正整数，且满足2a?+36-4a-18）+29=0,则VABC

的周长为一.

三、解答题

16.因式分解:

（1）4/—9;

试卷第2页，共6页

(2)2x2y-8.ry+8y.

17.已知实数a,b,。满足a+Z?+c<0,4a+c=2b.

⑴求证：b<a\

⑵若〃2-44c=1,求b-4d的值.

18.阅读材料：

配方法是数学中一种重要的思想方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变

形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合

非负数的意义来解决一些问题.

例：分解因式工2+4工-5.

解：X24-4X-5=X24-4.V+22-22-5=(X+2)2-9=(X+24-3)(X+2-3)=(X+5)(X-1).

请根据上述材料解决下列问题：

(I)用配方法分解因式：a2+2a-3;

(2)已知V4BC的三边长a,b,c,且满足^+从--助+25=0,求边c的取值范围.

19.将•个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式,分解中的分组分解

法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等.

如，，2+2”分法：

ax+ay+bx+by

=(ax+ay)+(bx+by)

="x+y)+Z?(x+y)

=(x+)，)(〃+/?)

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

(1)分解因式：x2-y2-x-y；

222

⑵分解因式：9相-4x+4xy-y：

(3)分解因式：4a2+4a-4Irb2-b2-4ab2+1.

20.先阅读下面的内容，再解决问题.

例题：若+2〃"7+2〃2-6〃+9=0,求相和〃的值.

解：,**nf+linn+2n~-6/i+9=0»

nr+2mn+n2+n2-67?+9=0»

/.(/??in)2i(n3)，=0,

/.m+n=Ot7?-3=(),

in=—3,〃=3.

(1)若V+2Q，+5y2-4)，+1=0,求x-V的值；

(2)已知a,6,c是等腰△ABC的三条边长，且a,b满足l+b?+58=14a+劭,求VABC的

周长.

21.仔细阅读下面例题，解答问题

例题：已知二次三项式/-4工+/〃有一个因式是(x+3),求另一个因式以及，〃的值.

解：设另一个因式为(x+劝，得£—4X+〃7=(X+3)(X+.，Z)

则x2-4x+m=x2+(//+3)x+3n

〃+3=-4

...V

m=3n

解得〃=-7,m--21

;另一个因式为(x—7),的的值为—21.

问题：

⑴已知二次三项式/+6x+a有一个因式是(x+5),求另一个因式以及”的值：

(2)已知一次三项式2——x—〃有一个因式是(2x+3),求另一个因式以及P的值.

22.阅读下列材料：

材料1：将一个形如V+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足4=〃〃7且〃=〃；+〃，

则可以把V++g因式分解成(X+"7)(X+〃)，

①x2+4x+3=(x+l)(x+3)；

@X2-4X-12=(X-6)(X+2).

材料2：因式分解：(x+y)：+2(x+y)+l.

解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A,则原式=4+2人+1=(人+1)2,

再将还原，得：原式=(x+y+l)2.

上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题:

试卷第4页，共6页

(I)根据材料1,把f-6x+8分解因式.

(2)结合材料1和材料2,完成下面小题：

①分解因式：(》-＞『+4(》一)，)+3：

②分解因式：〃?(m+2)(/+2"-2)-3.

23.我们把多项式a2+2ab+b2和/-2,必+从叫作完全平方式.如果一个多项式不是完

全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，便式子中出现完全平方式，再减去这

个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方

法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或

求代数式的最大值、最小值等.

例如：分解因式/+2工-3=(/+21+1)-4=(%+1)2-4=(.1+1+2)(1+1-2)=

(xI3)(x1).

例如：求多项式21+4X—6的最小值，由2X2+4X-6=2(X2+2X+1-1)-6=2(X+1)2-8PI

知，当x=T时，多项式2/+4X—6有最小值，最小值是-8.

根据阅读材料用配方法解决卜.列问题：

(1)分解因式：irr-Am-5=.

(2)当小力为何值时，多项式/十从-4a+6〃+18有最小值？并求出这个最小值.

(3)当小人为何值时，多项式万一加力+26-4方+27有最小值？并求出这个最小值.

24.【阅读与思考工

整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式以2+&+。(。=0)分解因式呢？

我们已经知道：

2

+q)(a2x+c2)=a/iIJC+aic2x+a^x+ctc2=a}a2x+(^c24-^6))x+qtj.反过来,就得到:

1

a^x+(qq+a2ci)x+clc2Kqx+cJQx+G)-

我们发现,二次三项式加+〃x+c(a，O)的二次项的系数。分解成4%,常数项。分解成c£,

并且把4，%,q,Q如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到4Q+%q，如

果年”外。的值正好等于加+bx+c的一次项系数力，那么加+bx+c就可以分解为

(/x+q)(/x+C2)，其中/，q位于图的上一行，小,位于下一行.

C|

a2c2

图1

像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十

字相乘法

例如，将式子f-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个囚数的枳,

即1=1x1,把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2x(-3)；然后把1,1,2,-3按图

2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1x(-3)+lx2=-1,恰好等于一次项

的系数一1,于是f-4-6就可以分解为('+2)(工一3).

(1)请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：V+x-6=;

【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：

(2)®2x1-5x-l=;®12x2-ll.o'+2y2=；

【探究与拓展】

①类比我们已经知道：(ax+a)(%y+&)=%M>'+a也工+。2a)'+々〃2.

反过来，就得到：%。"-4七+0/1丫+1他.

(3)请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：&2x)^3y+2x+3=

②若。、。均为整数，且“、。满足6^+勖-154=308,求的值.

试卷第6页，共6页

(2025-2026学年八年级数学上册新人教版寒假第二周《因式分解》综合题优化练习》参考

答案

题号12345678910

答案DBCBBBCBCC

11.a(a-\)

12.号

3

13.<

14.601

15.7

16.(1)3+3)伽-3)

(2)2y(.r-2)2

17.(1)证明：V4n+c=2/7,

/.c=2Z>—4<7,

*.*a+b+c<0,

a+b+2b-4a<0,

3b<3a,

:.b<ci;

(2)解；:b2-4ac=1,c=2b-4a,

b2-4a(2b-4a)=\,

Ab2-Sab+16a2=\,

・•・(力-4af=1,

b—^ci=-1.

18.(1)解：/+2。-3

="+2〃+1-1-3

=(6/+l)2-4

=(fl+l+2)(fl+l-2)

=(a+3)(a—l)；

答案第1页，共6页

(2)解：•.•4十〃2-6。一昉+25=0,

/.-6a+9)+(/?2-助+16)=0,

工(4-3)2+9-4『=0,

."-3=0,Z?—4=0>

a=3｝。=4,

/.4-3<c<4+3,

..・边。的取值范围为1vc<7.

19.(1)解：x2+r-^-y

=(x2-y2)-(x+.y)

二(戈+)，)(1_)，)_(1+>)

=(x+y)(x-y-1)；

⑵解:9m2-4x2+4xy-y2

=9m2-(4x2-4xy+y2)

=(3〃7)2-(2.L»

=(3/7?+2A-y)(3/??-2x+y)；

(3)解：4a2+4a-4a2/72-h2-4ab2+1

=(4«2+4a+\)-^crb2+4时+b2)

=(2a+l『-从(4〃2+4a+l)

=(2tz+l)2-Z?2(2«+l)2

=(2«+l)2(l-Z?2)

=(2a+l『(l+/?)(l-。).

20.(I)Vx2+2xy+5y2-4y+\=(),

x2+2xy+y2+4>,2-4y+1=0,

A(A:Iy)2I(2y1)2=O,

答案第2页，共6页

/.x+y=0,2y-1=0,

•』=」，y='

(2)•・・”2+〃2+58=i4a—6〃，

/.。2-144+49+方2-6力+9=0,

・•・(a-7『+(〃-3『=0,

a-7=0,万-3=0,

:.a=7,力=3,

当。为腰时，7+7>3,符合题意，7+7+3=17；

当〃为腰时，3+3<7,不符合题意.

・•・周长为17.

21.(1)解：设另一个因式为(x+〃),得炉+6%+々=(。+5)(“+〃),

贝|Jx2+6x+a=工2+(〃+5)%+5〃,

〃+5=6

jn=a

n=1

解得：<，

a=5

;另一个因式为x+1,。的值为5；

(2)解：设另一个因式为(x+4),得2f-x-p=(2x+3)a+“),

则2x2-x-p=2x2+(2</+3)x+3^,

2g+3=-l

c/=-2

解得：j,

〃二6

・•・另一个因式为a-2),〃的值为6.

22.解：⑴X2-6X+8=(X-2)(X-4)；

(2)①令A=x-y,

答案第3页，共6页

则原式=T+4A+3=(A+l)(A+3),

所以+4(x-)，)+3=(x_y+])(x-y+3)；

②令4=m?+2m,

则原式=A(A_2)_3

=B2-2B-3

=$+l)-3)，

所以原式=(〃「+2〃?+l)"+2"?-3)

=(/n+l)2(m-l)(m+3).

23.(1)解:nr—4m—5

=(〃/4；??i4)-9

=(/H-2)2-9

=(/??-2+3)(???-2-3)

=("7+1)("Z-5)；

(2)解：“2+//-4"+6方+18

=(6?-4«)+(/?2+6/?)+18

=年一4〃+4-4)+(/>2+心+9-9)+18

=(a-2)2+(/?+3)2+5,

V(a-2)2>0,(Z?+3)2>0,

/.(r7-2)2+(/?+3)24-5>5,

・••当a—2=0,〃+3=0时，4+尸―4a+6b+i8有•最小值，最小值为5.

即。