勾股定理课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

课前准备

草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具

美丽的数学心

三星堆青铜神树的直角构件暗藏奥秘，直角三角形三边有怎样的数量关系？今天就让我们一起探索勾股定理的神奇。20.1.1勾股定理及其应用学习目标学习重点掌握勾股定理，会应用勾股定理解决一些几何问题；探索勾股定理的证明过程，学会利用割补法证明勾股定理，感受数形结合思想；尝试多种方法验证勾股定理，体验解决问题的多样性.掌握勾股定理，并解决简单计算问题；勾股定理的多种验证方法.情境导入直角三角形作为一种特殊的三角形，它具有哪些性质呢？

在Rt△ABC中，∠C=90°，

∠A+∠B=90°对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ABCabc知识探究

在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.知识探究

商高所指的面积关系可以用图形表示.

从边的角度看：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.

其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？9＋16＝2532＋42＝52知识探究

如图：每一个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？A1B1A2C1B2C2B3C3A3

以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.知识探究

以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？ABC

由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？知识探究

可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.

思考：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么两直角边与斜边之间有什么关系呢？由此我们猜想：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.abc如何验证呢？知识探究如图：把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2.证法一：abcba2+b2c2ac=ba证法二：

证明：∵S大正方形=c2，

S小正方形=(b-a)2，

S大正方形=4·S三角形+S小正方形

abc赵爽弦图b-a重要公式勾股定理：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

几何语言：在Rt△ABC中，

a2+b2=c2.公式变形：

a、b、c为正数.abcCAB大美数学

赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.例题解析例：如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.巩固练习1.设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c.（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；（3）已知b=15，c=25，求a.巩固练习2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别为12，16，9，12，求最大正方形E的面积.巩固练习3.如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4）.求这两点间的距离.

勾股定理：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，

那么a2+b2=c2.a、b、c为正数公式变形：abc大美数学

我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．在我国勾股定理也叫