金太阳2026届高三联考313C数学试题（含答案）

注意事项：2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知两个单位向量a,b互相垂直，则|a—√2bA.√3B.22.设集合A={yly=lg(4—x)},则A∩B=A.(2√2,+∞)B.(2√2,4)C.[3,十∞]D.(3,4)3.若z²=-3+4i,则z的虚部与实部的比值为班5.某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政班位：吨),并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用0.05-这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用水量的临界值(精确到0.1),使得月用水量不超过该0.03-值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的0.02临界值为6,则的取值范围是7.函数的极值点的个数为8.若非负数x,y满足y²—2√x=6√y²—x,则y的最大值为可能为10.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y,f(x+y)+f(x—y)+f(y-x)+f(1A.f(1)=1C.f(2)<4D.f(x)的图象关于点对称11.已知正方形ABCD的边长为2,PA⊥平面ABCD,QB⊥平面ABCD,P,Q在平面ABCDD.四棱锥Q-ABCD的四个侧面所在平面将空间分成14个部分14.来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含15.(13分)L--16.(15分)测结果相互独立.(2)若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率.(3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”,则需花费400元检修费(检修后无损失),若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统?说明你的理由.17.(15分)已知集合{x∈Z|an<x<bn,n∈N*}中元素的个数为cn.(1)若an=-n,bn=3”,求c₂.(3)若,bn+1=2bn+2,且b₁=10,求数列{cn}的前n项和Sn.设抛物线Ω的顶点为坐标原点O,焦点为F,且线段OF的中点为线C,且C的两个焦点均在x轴上.(1)若C过点O,求C的方程；(ii)求C的离心率的取值范围.高三数学参考答案题序123456789答案AADBCABC【评分细则】【1】第1～8题，凡与答案不符的均不得分.【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分.【3】第12题的答案还可以写为{x|0≤x<3}.【4】第13题答对第一空得3分，答对第二空得2分.【5】第14题，其余答案均不得分.1.A【解析】本题考查平面向量的模，考查数学运算的核心素养.2.A【解析】本题考查函数的值域与交集，考查数学运算的核心素养.因为A=R,B=(2√2,+∞),所以A∩B=[2√2,+∞].3.D【解析】本题考查复数的概念与运算，考查数学运算的核心素养.设z=a+bi(a,b∈R),则z²=a²—b²+2abi=-3+4i,则解得或故z的虚部与实部的比值4.B【解析】本题考查立体几何与余弦定理的综合，考查直观想象与数学运算的核心素养.连接GF,设正四面体ABCD的棱长为4,则CE=2,CF=CG=3,则△CFG为正三角形，所以FG=CF=3,由余弦定理得EF=EG=5.C【解析】本题考查频率分布直方图和百分位数，考查应用意识与数据处理能力.由频率分布直方图可知，前五组的频率之和为5×(0.01+0.02+0.03+0.05+0.03)=0.7,前六组的频率之和为5×0.03+0.7=0.85,设该市月用水量的临界值为x。吨，则xo∈[25,30),由(x。—25)×0.03=0.1,得xo≈28.3,故该市月用水量的临界值为28.3吨.6.A【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.,所以的取值范围由f'(x)=32x⁴—24x³+2x=2x(16x调递增.因为y²-2√x=6√y²-x,所以a²+b²-2a=6b,则(a-1)²+(b-3)²=10(a≥0,b≥0),则点(a,b)的轨迹为圆(a—√x=a=2,√y²-x=b=6,即x=4,y=2√10,所以y的最大值为—3x—5,消去f(一x),得3f(x)+f(1)=9x—5.再令x=1,得4f(1)=4,即f正确.11.ACD【解析】本题考查立体几何初步，考查数学运算、直观想象的核心素养及空间想象能力.将四棱锥P-ABCD补成一个正方体(图略),则四棱锥P-ABCD的外接球为该正方体的外接球，因为点Q是该正方体的一个顶四棱锥Q-ABCD的体积,侧面积S₁=S△QAB+S△QBc+S△αD+S△QDA=2+2+2√2+2√2=4+4√2,表面积D'S=S₁+4=8+4√2,则四棱锥Q-ABCD内切球的半径,则该内连接PQ,易证PQ//AB//CD,PQ=AB=CD,则四边形CDPQF,则E,F分别为PB,PC的中H,连接EF,GH,FG,FH,则四棱锥P-ABCD和四棱锥Q-ABCD的公共部分为几何体ABCDFE,其体积为四棱锥 三个过同一点的平面将空间分成8个部分，一个过该点的且不与这三个平面重合的平面将穿过其中的6个部分，则四棱锥Q-ABCD(图中黑色的四条粗线所在直线可以视为这个四棱锥的四条侧棱所在直线)的四个侧面所在平面将空间分成8+6=14个部分，D正确.素养.因为1≤2×¹≤4,所以0≤[x]≤2,则x∈(0,32|PB|,所以|PA|=4,|PB|=2,思想.当环节三有3个人时，则有可能是3个女生，或者2个女生和1个男生，或者1个女生和2个男生，则安排好环节三有C³+C₃C+C₃C²=31种方案.剩余4个人，环节一必然有2个人，环节二和环节四各有1个人，则安排好环节一、环节二和环节四有C2C₂=12种方案.所以安排好四个环节共有31×12=372种方案.当环节三只有2个人时，则有可能是2个女生，或者1个女生和1个男生，则安排好环节三有C³+C₃C!=15种方案.剩余5个人，当环节一有2个人时，环节四有2个人，环节二有1个人，此时有C²C3=30种方案；当环节一有3个人时，环节四有1个人，环节二有1个人，此时有C³C₂=20种方案.所以安排好四个环节共有15×(30+20)=750种方案.综上，满足条件的安排方案共有372+750=1122种.易证OB,OC,OG两两垂直…所以AC=(4,0,0),AD=(2,2√3,√2),AG=(2,0,√2)设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则n·AC=4x=0,2x+2√3y+√2z=0…………………令y=1,得n=(0,1,—√6).………………11分连接DG,取AC的中点O,连接OD,OG……………因为O为AC的中点，所以BO⊥AC.因为BD⊥平面ABC,所以BD⊥A₁…………10分又AC∩OD=0,所以GH⊥平面ACD.……………11分12分…………………………13分(2)设恰有2天检测结果与实际不符为事件B,故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486.……7分设使用自动化检测系统时每日总支出(即总损失)为X元.设备故障且被判为故障的概率为0.2×0.9=0.18…………9分设备正常却被判为故障的概率为(1—0.2)×(1—0.9)=0.08……………10分设备故障却被判为正常的概率为0.2×(1—0.9)=0.02…………………11分则E(X)=(0.18+0.08)×400+0.02×2000+100=244………………14分因为244<280,所以应该引进该系统………15分【1】第(1)问中，直接写“所求概率为0.8×0.1+0.2×0.1=0.1设使用自动化检测系统时每日总支出(即总损失)为X元，P(X=500)=0.2×0.9+(1—0.2)×(1—0.9)=P(X=2100)=0.2×(1—0.9)=0.02……………………11分则E(X)=100×0.72+500×0.26+2100×0.02=244…………………14分因为244<280,所以应该引进该系统………15分17.【解析】本题考查数列的新定义与数列的综合，考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.则满足—2<x<9的整数为—1,0,1,…,8,……………1分(2)证明：因为a,b∈Z,所以cn=所以cn+1—cn=(bn+1—an+1—1)—(b„—a—1)=(bn+1—bn)—(an+1—aμ)5因为{an},{b}均为等差数列，所以可设an+1-an=d₁,bn+1—b„=d₂,则(bn+1—b„)—(an+1—a)=d₂—d₁为常数，故{c}也为则数列{b,+2}是首项为b₁+2=12,公比为2的等比数列，当n=2时，5×2²-2=18=c₂,则又5×2¹+¹-2-9=9=S₁,所以S,=5·2”+¹-2n—9.………………15分【评分细则】【1】第(1)问中，直接写“集合{x∈Z|-2<x<9}中元素的个数为9—(-2)-1=10,则c2=为等差数列，所以an+1-a,为常数，bn+1—b为常数，则(b+1—b„)—(an+1-an)也为常又5×2¹+¹-2-9=9=S₁,5×2²+¹-2×2—9=9+18=S₂,所以S=5·2”+¹—2n—9.…………………………15分18.【解析】本题考查函数的零点与导数的应用，考查数学运算、逻辑推理及直观想象的核心素养.则存在m=0,使得曲线y=f(x)在点(m,f(m))处切线的斜率为定值.………………3分………………4分0,得x<0或x>2,则g(x)在(一∞,单调递增.……………………5分…………………………6分且2eˣ¹=ax²,2e²=ax2,等式两边同时取对数并整理得x₁—21nx₁=Ina—In2,x₂一设函数h(x)=x—21nx,则h(x₁)=h(x₂)=lna—1n2,则h(x)在(2,+∞)上单调递增.………………12分要证x₁+x₂+x₃+0>3,只需证x₁+x₂>4,即证x₂>4—x₁,因为4—x₁>2,且在……所以F(x)在(0,2)上单调递减，则F(x)>F(2)=0,即h(x)>h(4—x),故x₁+x₂>4.……………………16分故当f(x)的零点个数最多时，f(x)的零点之和大于3.………………17分【评分细则】因为f'(x)=-3ax²+2eˣ+2x所以f'(0)=0+2+0=2,2分则存在m=0,使得曲线y=f(x)在点(m,f(m))处切线的斜率为定值.………………3分当a>0时，由f(x)=x(-ax²+2eˣ)=0,得x=0…………4分设函数,贝所以Ω的准线方程为x=-4√分H的横坐标为,A,H均在C上，则A的横坐标…………6分设A(p,yo),又A在Ω上，所以y?=2p²,代入C的方程，,解得b²=…………………………8分当时，线段AH中点的横坐标与F的横坐标相等，过A,H,F三点不能作双曲线