正方形半角模型

正方形半角模型

——13个结论，学会了，初中几何你就开窍了

《正方形半角模型》是非常经典的几何模型，一直都是出题人比较喜欢的考点。

因为这个模型的结论太多了，大家可以简单了解一下它的发展史：

由最初的三角形可以过渡到四边形，进而也可以和圆结合；

在证明方面由最初的全等三角形慢慢地转向相似的证明，其中结合了大量的倒角

计算；

在复杂度方面，涉及到的辅助线有最开始的截长补短，到后来直接出现的四点共

圆的辅助线构造，相似的构造；

在综合性方面，最开始只是全等的三条线段简单地加减证明，中间会涉及到结合

勾股定的带根号的线段数量关系，或者是含有线段平方的数量关系。

总得下来，就是这么模型真的十分全面，基本上包含了初中几何考点的大部分内

容，对于初三复习的同学，如果可以搞定这个模型，在中考中真的是如虎添翼！因为

这个模型包含了全等、相似、辅助线.四边形、三角形、圆等热门考点，如果可以理

解吸收，那就基本上把几何复习得差不多了，祝大家中考顺利！！！

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正方形半角模型13个结论

如图，己知正方形/I8CD,点E、产分别在BC'、CDh,IlZEJF=45°<.

结论1：BE+DFEF；

证明：延K£A至G,使IK；=DF.

先i正明,MOKAJAG(SAS),

推导出/G—4R/GAE-/EAF75。,

在证明AG/1£至WE(SAS),

即可证明2£+"=即・

结论2：E/1平分，BEF,『力平分//)/芭;

IAD

证明：由结论1可知:AGAE=\FAE,

所以=N?E4,

可证£4平分乙女尸。

同理可证:E4平分ND尸E。

结论32s45&«断““<«!！

证明：由结论1可知:AGAE言AFAE,\ADF=MBG

所以，/卅.+S,W¥=O

结论4：(—g

证明：由结论I可知:BE+DF=EF>

因为Cx"=('£+('产+)，

所以CXH=('E+CF+BE+D-CB=2AB

结论6；BM+DN'=\fN、

证明：如图4,作,40_L4V,AQAN,连接08、0W。

先证明AJONwAJB?(SAS).

推仔IH々ABQ=ZADN-45。.QB-DN

在证明A0IA/WAN4W(SAS),

推到出QM=MV.

在用“阳“中：BM'+QB?=QM"即AL+DV=MU.

证明：通过倒角证明两个角相等，推导出相似。

因为NMBENNAA4=45\ZAMN：ZBME、

所以\BMEs\AMNo

同理，其他结论都可以进行证明。

结论8：EF=0MN、BE4DF='JlMNS'E=W）N、CF=厄BM（见图5）；

证明：连接力。，

因为ZEAC+NC.4F=45°,/DAN+NC/1F=45°,

所以/E4C=/D/N,

因为〃'E=ZADN=45。.

所以&4ECSA4NO,

所以匹=CE

ANDNAD

因为.MMVSAJAE,

所以去篇S

所以EF=y[2MN.BE+DF=五MN,CE=0DN.

同理可证&46MsAJC/,

所以CF=6BM.

mDABN

所以——=—・

DMAB

因为48=/。,

所以.4R:-RN・DA1。

结论10:aN、E、8四点共圆；A.M、F、。四点共圆；C、F、N、M、£四点共圆;

证明：因为结论7已证ABMESMMN

所以乙4NM=/BEM、

所以弦力8所劝留周角相等，

所以4ME、8四点共网，

同理可证4A/、F、D四点共圆:

乂因为力、又E、8四点共网,4BE=90。.

所以/£为圆的直径，

所以/⑷V£=90。，

所以/QVE=/"'£=90。，

所以（'、F、N、M、£四点共做1。

结论11:、AJA"为等腰直角三角形;

证明：因为/、N、£、8四点共圆,4跖=90。.

所以/E为阴的直径.

所以N,4NE=90。，

因为N£4N=45。.

所以AJNE为等腰直角三角形；

同理可证MMF为等腰I'L角三角形。

结论12：CE・CF=2B卜”沪«；

证明：因为

BEDN

所以——=——.

BMDF

由结论8可知CE=叵DNVF=叵BM,

所以CE*CF=2BE・DF•

结论13：当/〃.-时，//取得最小值，SI,取得最小值，又“取得最大值；

A__________________D

证明：构造A4£尸的外接网,网心为O,连结。£、.取E广的中点”,连结

(HKCHC

•・•Z.EAF=45°,

NEOF=90。，

・・・£尸的中点为

OH=HE=HF,

设OH=HE=HFx.

/.OA=OE=OF=>f2x.CH=.v.

:.OA+OH+UC=\[2