山西省太原市山西大学附中2025-2026学年高三月考数学试题（1月）（含答案）

/2025-2026学年山西大学附中高三（上）月考数学试卷（1月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.等差数列{an}中，a6=3A.3 B.6 C.9 D.122.已知抛物线y2=2px(pA.(1,0) B.(0,1) C.(2,0) D.(0,2)3.从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件A：“第一次抽到的数字是奇数”，事件B：“第二次抽到的数字是偶数”，则P(B|A.12 B.37 C.134.边长为2的等边三角形ABC的外心为O，则OA⋅AB=A.−2 B.2 C.23 5.正三棱柱ABC−A1B1C1中，ABA.−154 B.−14 6.任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)A.22025(3+i) B.7.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，△PF1A.2 B.23 C.8.关于x的方程x(eax+A.0≤a<1e B.a≤1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中，正确的有(

)A.“a>b”是“1b>1a”的必要不充分条件

B.若a>b>c>0，则b+ca10.已知(2x−1)A.a0=1 B.a3=494

C.a1+a311.已知正项数列{an}满足aA.a2026=14053 B.存在n∈N∗，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={x|x+12x−113.据调查，某高校大学生每个月的生活费X(单位：元)服从正态分布X～N(2000,σ2)，又P(2000<X<2500)=0.3，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取14.若△ABC中，∠B=2π3，BC>AB，点D满足AD=2DC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S且满足S=3[a2−(b−c)2]4．

(1)求角A的大小；

16.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠BAD=π2，PA=AD=3，AB=2，BC=4，E为线段PA上一点，且满足PE=12EA，记平面BCE∩平面PAD=17.(本小题15分)

函数f(x)=sinx．

(1)令F(x)=f(x)+f′(x18.(本小题17分)

平面直角坐标系xOy中，A1(2,λ)，A2(2(1−λ),0)，B1(0,1)，B2(0,−1)，其中0<λ<1，直线A1B1与直线A2B2交于点Q，Q的轨迹为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一部分．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(−4,0)作斜率为k(k>0)的直线19.(本小题17分)

元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：

游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷n次(n≥2且n∈N)后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖；

游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得1分，未命中记得−1分，当累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到−3分，游戏立即结束，无法获奖．

现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立.已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为13；乙同学参加游戏二，每次命中率为p(0<p<1)．

(1)当n=4时，记甲同学投掷次数为X，求X的分布列及期望；

(2)当n=k(k≥2且k∈N)时，求甲同学获奖的概率(参考答案1.B

2.C

3.A

4.A

5.D

6.C

7.C

8.D

9.BD

10.ACD

11.ABD

12.{x13.8

14.(315.解：(1)由余弦定理知a2−(b−c)2=a2−b2−c2+2bc=2bc−2bccosA，

又由于S=12bcsinA，

那么2bcsinA=3(2bc−2bccosA)，

化简为16.解：(1)证明：因为AD//BC，

且AD⊂平面PAD，

BC⊄平面PAD，

所以BC//平面PAD，

又因为BC⊂平面BCE，

平面BCE∩平面PAD=l，

所以BC//l．

(2)由题可知，PA，AB，AD两两相互垂直，

以A为原点建立空间直角坐标系，连接EF，BF，如图所示，

由PE=12EA，得PE=1，AE=2，

由(1)可知EF/​/AD，EF=13AD=1，

所以B(2,0,0)，F(0,1,2)，P(0,0,3)，C(2,4,0)，D(0,3,0)，

所以BF=(−2,1,2)，PD=(0,3,−3)，CD=(−2,−1,0)，

17.解：(1)函数f(x)=sinx，则f′(x)=cosx，

所以F(x)=sinx+cosx−a=2sin(x+π4)−a．

由F(x)=0，得sin(x+π4)=a2，

函数F(x)存在唯一零点，则函数y=sin(x+π4)与y=a2的图象只有一个交点，

因为x∈[−π2,π2]，所以x+π4∈[−π4,3π4]，

18.解：(1)因为A1(2,λ)，A2(2(1−λ),0)，B1(0,1)，B2(0,−1)，

所以直线A1B1：y−1λ−1=x2，直线A2B2：y+11=x2(1−λ)，

两式相乘得y2−1λ−1=x24(1−λ)，化简得：x24+y2=1，

即椭圆E的方程为x24+y2=1；

(2)(i)设直线l的方程为x=ty−4，记A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x=ty−4x24+y2=1，化简得(t2+4)y2−8ty+12=0，

则Δ=64t2−48(t2+4)>0，即t219.解：(1)由题可知：X的取值可能为2，3，4，

P(X=2)=13×13=19X234

P1420所以E(X)=19×2+427×3+2027×4=9827；

(2)记事件A：甲同学获奖，显然，k≥2，

设Y表示甲投掷的次数，若甲投掷i(2≤i≤k)次并获奖，

则P(Y=i)=Ci−11(23)i−2(13)2=14(i−1)(